模糊性下的道德风险

如【14，15】所述，当一个人处理一个由代理控制的输出波动性的问题时，相对于输出带的线性（在积分意义上）契约及其二次变化hBi起着根本作用。因此，我们希望（并期望）在以下集合中获得最佳合同：=ξ∈eC，ξ=ZTztdBt+ZTγtdhBit+ZTδtdt，（z，γ，δ）∈ HP（R，F）×bHP（R，F）×H（R，F）.在这种情况下，合同ξ显示为受控扩散过程的终值，我们预计风险分担问题（3.4）可以使用随机控制理论中的技术来解决。这样的一般解决方案再次超出了本文的范围，但我们将通过完全解决最简单的可能情况来说明我们的方法（对于这种情况，证明已经远远不是微不足道的）。3.2非学习模型的应用在本节中，我们将说明前面在示例2.1中介绍的“非学习”模型中的解释。我们将看到，我们实际上可以进一步简化上面的seteQ，并引入thesetQ：=nξ∈ C、 ξ=zBT+γhBiT+δ，（z，γ，δ）∈ Ro。请注意，合同假定为C语言，而非ineC语言。这实际上是我们的一个结果，Q欧共体。从现在开始，注意Q中的任何合同ξ都是由相应的三重过程（z，γ，δ）唯一定义的。对于任何三重态（z，γ，δ），我们设置ξz，γ，δ：=zBT+γhBiT+δ。因此，我们旨在解决次优问题FB：=sup（z，γ，δ）∈P（F）supa∈A.infP公司∈PaPEPhUP英国电信- ξz，γ，δi+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξz，γ，δ-ZTk（as）ds.

（3.6）我们坚持这样一个事实，即这种情况不同于最初的Holmstr"om–Milgrom（47）问题，在该问题中，第一个-最好的合同在BT中是线性的，因此更接近于其在[14]中的最新推广，即允许代理人控制产出的波动性，最优合同在其二次变化hBiT中是线性的。尽管如此，在【14】的背景下，道德风险源于输出过程的多维性，而它来自于我们框架中的主体和代理人的最坏情况态度。3.2.1不相交点的退化性PPand PAOur的第一个结果表明，如果主体和代理的模糊集是完全不相交的，则Q中存在契约序列，这样主体可以达到其效用的普遍上界0，同时确保代理仍然收到其保留效用R。定理3.1。（i） 假设αP<αA。然后，考虑合同序列（ξn）n∈N建议使用ξn：=nhBiT-TnαA+δ, δ:= T k（amax）-日志(-R） RA我们有limn→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0，uA（ξn，amax）=R≥ 1.（ii）假设αP>αA.T，考虑合同序列（ξn）n∈N和建议的e或Tamax，ξn：=-nhBiT+TnαA+δ, δ:= T k（amax）-日志(-R） RAwe有限制→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0，uA（ξn，amax）=R≥ 1、在证明这一结果之前，让我们对其进行评论。我们将看到这样的证明：当委托人和代理人的不确定性集完全不相交时，委托人可以在合同中使用二次变化分量，以使出现在指数中的项可以任意大，但代理人在其效用中根本看不到，当它被构造成在最坏的情况下消失时，cas电子概率度量代理。

因此，这是委托人和代理人的最坏情况度量之间的差异，以及他们的不确定性集不相交这一事实的结合，这使得问题恶化。从数学的角度来看，这是一个相当令人惊讶的结果，但从经济学的角度来看，这并不令人惊讶。事实上，首先，在这种情况下，代理人和委托人并不生活在同一个世界，因为他们有完全不同的信仰。此外，他们中没有人从对已实现波动率的观察中学习，也没有人更新自己的信念，这使得这一具体情况相当粗糙。然而，我们仍然相信，它可以作为一个有趣的玩具模型，只要你仔细考虑从中得出的结论。我们稍后将证明，这种现象也总是发生在第二好的情况下。证据（i） 第一种情况：αA>αP。我们的目的是证明合同序列（ξn）是合同的最大化序列，允许委托人在建议额外的效用水平时达到效用0。我们有（ξn，amax）=infP∈PamaxPEP[向上（BT- ξn）]=infP∈PamaxPEPh公司-E-RP（BT-nRTαPsds+TnαA-δ)i=e-RP（TnαA-δ)infP公司∈PamaxPEPh公司-E-RP（RT（αPs）1/2dwaxs+T amax-nRTαsds）i=-E-RP（T amax+TnαA-δ)支持∈PamaxPEP公司E-RPZT（αPs）1/2dwaxs×经验值RPZTαPSD+RPnZTαPSD= - 经验值-卢比amaxT公司- δ+Tn（αA-αP）-RPTαP,我们使用的事实是，对于任何P∈ PamaxP，我们有经验RPZTαPSD+RPnZTαPSD≤ 经验值TRPαP+RPnTαP, P- a、 上面出现的随机指数显然是一个P-任意P的鞅∈ PamaxP，因此s upremum的值是明确的，并可用于测量PαPamax。因此，我们得到uP（ξn，amax）-→ n时为0→ +∞. 自成立以来，FB≤ 0时，我们推断序列（ξn）在n变为+∞.

对于任何n∈ N, ξ是可接受的，即ξnsatis fiesinfp∈PamaxAEPhUAξn- Kamax）T我≥ R、 n个∈ N.的确，infP∈PamaxAEP[UA（ξn- T k（amax））]=infP∈PamaxAEP公司[- 经验值(-RA（ξn- T k（amax））]=infP∈PamaxAEP公司- 经验值-RA公司nZTαPsds-TnαA+δ- T k（amax）= - 经验值-RA公司δ- T k（amax）-TnαA支持∈PamaxAEP公司经验值-RAnZTαPsds= -E-RA（δ-T k（amax））=R.（ii）第二种情况：αA<αP。证明类似，因此我们省略了它。3.2.2具有交叉不确定性集的最优合同我们现在应用方法1研究非退化情况。我们介绍以下地图，定义为任意（a、z、γ、δ、αP、αa）∈ A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，将在以下情况中发挥重要作用（A，z，γ，δ，αP，αA）：=ΓP（A，z，γ，δ，αP）+ρΓA（A，z，γ，δ，αA），（3.7），其中ΓP（A，z，γ，δ，αP）：=- 经验值卢比δ- （1）- z） ZTasds公司+RP（1- z） +γαPT,ΓA（A，z，γ，δ，αA）：=- 经验值RA公司ZTk（as）ds- zZTasds- δ+拉兹-γαAT.让我们定义Adet子集 一系列具有确定性的行为。我们定义了任何（a、z、γ、αP、αa）∈A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，G（A，z，γ，αP，αA）：=- ρRPRA+RPRA+RPRPRARP-RARA+RPERARPA+RPRT（k（as）-as）ds×eRARPRA+RP（γT（αP-αA）+T（αPRP（1-z） +αARAz））。当αP=αA时，注意到G（A，z，γ，αP，αA）不依赖于γ，我们将简单地写出G（A，z，αP）：=G（A，z，γ，αP，αP）。为了减少后期的计算，我们将集合Q划分为Qγ：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ<-RP（1- z）,Q |γ|：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1- z） <γ<RAz,Qd：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1- z） =γ,Qu：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ=RAz,Qγ：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ>RAz,并确定任何（a，ξ）∈ A×CeuP，FB（A，ξ）：=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds.以下引理计算了委托人的效用euP，FB（a，ξ），以获得任何合同ξ中建议的效率水平∈ Q、 它的证据被归入附录。引理3.1。我们有Q欧共体。

此外，fix一些∈ A和一些ξ∈ Q、 带ξ≡ （z，γ，δ）。（i） Ifξ∈ Qγ，然后euP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。（ii）a）如果ξ∈ Qd，则对于任何P∈ PaP，EP[向上（BT- ξ） ]=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ，特别是对于任何αP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）∈ [αP，αP]。b） Ifξ∈ Q |γ|，然后euP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。c） Ifξ∈ Qu，那么对于任何P∈ PaA，EPUA公司ξ-ZTk（as）ds= infP公司∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds,尤其是euP，F B（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa），对于任何αa∈ [αA，αA]。（iii）如果ξ∈ Qγ，然后euP，F B（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。下一个引理计算F相对于δ的上确界。它的证据也被归入附录。引理3.2。对于任何（a，z，γ，αP，αa）∈ A×R×R×[αP，αP]×[αA，αA]我们有supδ∈RF（a，z，γ，δ，αP，αa）=F（a，z，γ，δ（z，γ，αP，αA），αP，αA）=G（A，z，γ，αP，αA），其中δ（z，γ，αP，αA）：=RA+RP日志ρRARP+ZT（（RP（1- z）- RAz）as+RAk（as））ds-RP（RP（1- z） +γ）αPT+RA拉兹- γαAT.下一个引理给出了一个固定的拉格朗日乘子ρ的最优契约和效用，以及主问题Q划分的每个子集。引理3.3。