期权定价问题的初步探讨

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英文标题：
《An elementary approach to the option pricing problem》
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作者：
Nikolaos Halidias
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Our goal here is to discuss the pricing problem of European and American options in discrete time using elementary calculus so as to be an easy reference for first year undergraduate students. Using the binomial model we compute the fair price of European and American options. We explain the notion of Arbitrage and the notion of the fair price of an option using common sense. We give a criterion that the holder can use to decide when it is appropriate to exercise the option. We prove the put-call parity formulas for both European and American options and we discuss the relation between American and European options. We give also the bounds for European and American options. We also discuss the portfolio\'s optimization problem and the fair value in the case where the holder can not produce the opposite portfolio.
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中文摘要：
我们的目标是利用初等微积分来讨论离散时间内欧式和美式期权的定价问题，以便于一年级本科生参考。利用二项式模型，我们计算了欧洲和美国期权的公平价格。我们用常识解释了套利的概念和期权的公平价格的概念。我们给出了持有人可以用来决定何时行使期权的标准。我们证明了欧式和美式期权的看跌期权平价公式，并讨论了美式和欧式期权之间的关系。我们还给出了欧洲和美国选项的界限。我们还讨论了在持有人不能产生相反投资组合的情况下，投资组合的优化问题和公允价值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> An_elementary_approach_to_the_option_pricing_problem.pdf (143.72 KB)

2022-5-23 01:14:51 上传

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关键词：期权定价 Mathematical Quantitative Optimization mathematica

期权定价问题的基本方法Ageankarlovassi大学数学系83200 Samos，Greeceemail：nikoshalidias@hotmail.comApril7，2016年摘要我们的目标是利用初等微积分讨论离散时间内欧洲和美国期权的定价问题，以便为一年级本科生提供一个简单的参考。利用二项式模型，我们计算了欧洲和美国期权的公平价格。我们用常识解释了套利的概念和期权的空中价格的概念。我们给出了持有人可以用来决定何时行使期权的标准。我们证明了欧式和美式期权的看跌期权平价公式，并讨论了美式和欧式期权之间的关系。我们也给出了欧洲和美国选项的界限。我们还讨论了在持有人不能产生相反的保单的情况下，保单的优化问题和公允价值。关键词期权定价，投资组合优化，公允价值。2010年数学学科分类91-01、91G10、91G201简介我们的出发点是论文【1】，作者在论文中介绍了二项式模型，并解释了如何使用它来评估欧洲期权的f航空价格。我们的目标是利用二项式方法和基本微积分来研究离散时间内的期权定价问题，以便于一年级本科生参考。有许多书在更高级的环境中讨论了二项式模型，请参见示例[2]、[3]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]。这里的目的是用初等微积分来解释二项式方法，但不要失去任何数学准确性。我们从一开始就开始讨论，即我们首先描述如何建模资产的移动。

然后，我们描述了如何用规定的最终和中间价值构建投资组合，并讨论了欧洲和美国类型的选择。我们还讨论了套利的作用，并证明了在某些适当的条件下，本项模型不允许套利。我们证明了欧式和美式期权的看跌期权平价公式，并讨论了美式和欧式期权之间的关系。我们也给出了欧洲和美国选项的界限。我们还讨论了在持有人不能产生相反投资组合的情况下，投资组合的优化问题和公允价值。假设我们的市场由一个风险资产（如S）和一个非风险资产（如B）组成，每日利率为r。为简单起见，我们认为只有一个周期，即时间0和时间1。在时间零点，没有人知道风险资产在时间零点的价值，即没有人知道S。我们如何建模？例如，我们可以研究资产在最后一个月（比如一个月）的表现方式，并将获得的u p百分比的平均值表示为u，而获得的下降百分比的平均值表示为d。然后我们可以假设风险y资产在未来将遵循s amepath，因此我们可以在时间零点用图表形式写下USDSN=0 n=12构建一个具有规定最终价值的投资组合，有人可以购买风险资产的a股，并将金额b存入银行，因此构建一个初始价值为V=aS+b的投资组合如果我们的时间段是一天，那么一天后，如果资产价值上升，投资组合的价值将为Vu=a（美国）+b（1+r），如果资产价值下降，则为Vd=a（dS）+b（1+r）。我们可以用示意图的形式写下它：usdsn=0 n=1VVuVdSuppose，现在我们得到了具体的数字A、B，并且我们被要求构建一个文件夹（A、B），这样，在上述假设下，最终的值Vu=A和Vd=B。

在时间零点，我们必须向银行存入多少资金b？在时间零点，我们应该购买多少份风险资产？示意图上，我们有以下SUSDSN=0 n=1V=？Vu=平均值=B（a=？，B=？）我们必须求解两个具有两个未知量的方程A（uS）+b（1+r）=A，A（dS）+b（1+r）=b如果S6=0，r 6=-1和u>d。在上述假设下，我们得到系统的解为A=A- B（u- d） S，b=Bu- Ad（u- d） （1+r）因此，我们投资组合的初始值必须为V=aS+b=1+rqA+（1）- q） B类其中q=1+r- 杜邦-D如果将a，b从上面替换为V=aS+bIf b，则会产生此结果≤ 那就意味着我们必须向银行借钱，如果≤ 0表示我们必须出售我们不属于的资产的股份。因此，根据Vwe构建的投资组合（a，b）的最终值为a，b。是否有机会构建最终值为a+ε和b+ε（ε>和ε>0）和初始值为V的投资组合？让我们首先用最终值a+ε和b+εa=a+ε来确定投资组合（a，b）- ε（u- d） S，b=b+εu- εd（u- d） （1+r）请注意，投资组合（a，b）具有初始值，我们还希望投资组合（a，b）具有相同的初始值，但最终值更大。因此，它必须保持ε- ε（u- d） +εu- εd（u- d） （1+r）=0换句话说，它必须保持ε（1+r- d） +ε（u- （1+r））=0（1）3套利和最小初始值是指初始值V=0且最终值U>0Vd的任何投资组合（a、b）≥ 0或Vu≥ 0Vd>0如果某人可以构建这样的投资组合，那么他可以向银行借入/存入b资金，以（一次又一次地）买入/出售资产的a股，最后他以零初始资本和零风险盈利。

当然，在现实世界中并不存在这样的投资组合，所以在我们的数学模型中，我们应该排除这种我们称之为套利的情况。定理1二项式模型不允许套利0<d<1+r<uProof。让我们假设0<d<1+r<u成立。我们构造了一个投资组合（a，b），例如v=aS+b=0，这样b=-像假设Vu=a（uS）+b（1+r）>0Vd=a（dS）+b（1+r）≥ 0我们现在将看到，事实上我们有一个>0。我们可以写evu=auS- aS（1+r）>0因此我们到达ataS（u- （1+r））>0利用u>1+r的事实，我们得到a>0。替换等式b=-aSin不等式Vd≥ 0我们得出结论，d≥ 1+r但这是一个矛盾。使用相同的论证，可以得出结论，如果d<1+r<u），则不会发生Vu≥ 反过来，假设二项式模型不允许套利。考虑初始值V=aS+b=0的所有可能投资组合，如果Vu>0，则Vd<0，否则（a，b）是一个套利机会。通过将Vu>0和-Vd公司≥ 我们得到a>0。利用这些不等式和a>0，我们得到所需的不等式，即d<1+r<u。如果Vu<0，则Vd>0，否则(-A.-b） 是一个套利机会。相同的事件促使我们得出相同的结论。如果Vu=0，则Vd=0，否则（a、b）或(- A.-b） 是一个套利机会。通过这两个等式，我们得出结论，d=1+r=u，这意味着资产的价值保持不变。从现在起，我们将假设0<d<1+r<u，以避免我们模型中的套利。我们已经证明，对于任何A、B，在假设u>d，r 6=-1和S6=0。这称为模型的完整性。

投资组合的最小初始值（最终值为A、B）是多少？我们已经证明，如果有人想要构建一个最终值为a+ε和B+ε的投资组合，那么ε，ε应该满足方程（1）。假设我们的模型不允许套利，那么方程（1）保持有效ε=ε=0。因此，如果我们的模型不允许套利，那么我们的投资组合的最小初始值为最终值A、B。4两期b二项模型我们可以将我们的结果扩展到两期二项模型，即SUSDSDSDSUSUUSI如果我们对一期二项模型没有套利，那么对两期（以此类推）二项模型的套利率相同。我们还可以构建一个投资组合，并示意性地使用以下VuVudVdVvVvWithVuU=a（uuS）+b（1+r），Vud=a（udS）+b（1+r），Vdu=a（duS）+b（1+r），Vdd=a（ddS）+b（1+r），假设现在我们得到了特定的数字Auu、Aud、Adu、Add、Au、Ad、AA，并且我们被要求构建最小的投资组合，例如VuU≥ Auu，Vud≥ Aud，Vdu≥ Adu，Vdd≥ 添加，Vu≥ Au，Vd≥ Ad，V≥ 实际上，我们有SUSDSDSDDUSUUSVUU≥ 奥武德≥ AudVdu≥ AduVdd公司≥ AddVu公司≥ AuVd公司≥ Ad（a=？，b=？）（a=？，b=？）五、≥ A（A=？，b=？）我们如何构建这样一个投资组合？我们想要Vu≥ AU也应确保在时间2具有值Auu，Aud。选择，Vu=m max{Au，1+rqAuu+（1- q） 澳元}我们得到了期望的结果。对于Vd也是如此，即Vd=m ax{Ad，1+rqAdu+（1- q） 添加}然后，我们选择V=m ax{A，1+rqVu+（1- q） Vd公司}.

接下来，我们构建投资组合（a，b），（a，b）和（a，b）。很明显，初始值是构建具有特定要求的投资组合的最小值。5欧式和美式期权一种称为欧式看涨期权的合同赋予其持有人权利，但无义务在未来的规定时间内，以规定的价格K，向卖方购买规定的资产。因此，在时间T，期权持有人拥有权益（如有）（ST- K） +这是期权持有人在合同到期时必须支付的金额。很明显，这种合同会给持有人带来初始成本。这份合同的公允价值是多少？在时间T，作者使用V应构建持有人利益的金额（ST-K） +。因此，如果我们考虑我们的模型（例如单期模型），问题是找到V、a、b来构建具有特定最终价值的投资组合。实际上，我们有以下条件，1/2Vu=（uS- K） +=4/3Vd=（dS- K） +=0（a=？，b=？）V=？例如，S=1，u=2，d=1/2，K=2/3。因此，正如我们之前所描述的，这个问题可以得到解决。我们已经看到，如果d<1+r<u，那么以这种方式计算的V是作者为构建消除风险的投资组合而需要的最小金额。请注意，没有一条路可以让写作者通过出售本合同来终止合同或赚钱。此外，老人可以赔钱，但也可以从这份合同中赚钱。任何高于V的价格都将确保对作者有利（无风险）。如果期权持有人即使拥有积极利益也不行使期权，那么情况会怎样？然后，这一利润仍由wr iter承担。这是套利吗？为了判断这是否是套利，我们只计算资产的所有可能路径。

如果对于资产的所有可能路径，持有人可以在wr进行某种方式的行权，那么我们就没有套利。所有这些结果可以推广到两个周期模型，也可以推广到n个周期模型。美式看涨期权合同赋予其持有人在到期日之前的任何时候以规定价格从卖方购买规定资产的权利，但无义务。因此，持有人的利润（如有）为（St- K） +其中≤ T是锻炼时间。问题是这个合同的公平价格是多少。作家应该有足够的钱应付各种情况。考虑到两个周期模型，持有人可以在时间0,1以及时间2行使期权。因此，作者应该构建一个至少在任何时候都有价值的投资组合（St- K） +即持有人的利益（以消除风险）。因此，问题是要指定数字sauu、Aud、Adu、Add、Au、Ad、a，并构建一个投资组合，以便使用dsddsdusudsuusvuu≥ 奥武德≥ AudVdu≥ AduVdd公司≥ AddVu公司≥ AuVd公司≥ Ad（a=？，b=？）（a=？，b=？）五、≥ A（A=？，b=？）因此，我们计算我们所描述的Vas，以及（a，b），（a，b）和（a，b）。使用这笔金额的money，作者将确保自己有足够的资金支付资产的所有可能部分（即，他可以构建一个消除风险的投资组合）。作者没有办法确保利润，因为在每一条路径中，持有人都可以以其利润等于投资组合价值的方式行使权利。Xnholder在时间n表示行使期权的最佳时间是什么时候？如果持有人在时间n行权，则实际收益将为（考虑到他为该期权支付的金额v）Xn- V（1+r）n。在此之前，一个标准是，当Xn>V（1+r）n时，持有者将练习，即。

在这种情况下，持卡人将比向银行缴纳零增值税赚更多的钱。如果期权持有人选择在Xn<vn时行使期权，那么作者就有了利益。这是套利吗？不，这并不是一个错误，因为套利的概念独立于持有人的选择。它取决于资产的所有可能路径。例如，考虑一个执行价格为K=5/2、N=3、u=2、d=1/2和r=1/2的美式看涨期权。假设资产在前两个期间沿路径uu移动。持有人应决定是否在时间n=2行使期权。进行计算时，持有人应选择在n=2时行使，因为他的利益是（Suu- K）- V（1+r）=3/2- 0.48（1+1/2）>0还要注意，当时期权的价值是Huu=Vuu=2.44>Xuu=3/2，因此作者也有积极的利益。当然，持有人可以选择等待，如果资产再次上涨，他将获得更大的利润，但如果资产下跌，他将失去所有资金。如果期权持有人可以出售期权，或者他能够出售他在n=2时不拥有的大量资产，那么他应该（此时）决定什么对他更有利。在任何情况下，在时间n=2时，他应该决定下一步行动。我们应该指出，如果对于某些n，我们有VAn=x，并且进一步假设持有人当时没有行使权利，那么作者拥有的资金超过了他真正需要的资金来进行下一步。在这之前，他可以使用这笔额外的钱，并将其余的钱适当地投资于目的地，以消除风险。在这种情况下，让我们将投资组合的价值表示为VACn。他还可以把这笔钱存入银行或投资于股票。

在这种情况下，我们将投资组合的价值表示为Van，因此它持有SthatVacn≤ VAnDenote by Hn以下序列Hn=XN，对于n=n，最大{XN，1+rqHun+1+（1- q） Hdn+1}, 对于n=n- 1.0我们说Hn是时间n时美式期权的公允价值。请注意，VAn≥ Hn。X=11/2X=0X=0X=0Huu=2.44Xuu=3/26看跌期权奇偶性公式、欧洲和美国期权之间的关系以及期权的界限6。1欧洲看跌期权-看涨期权平价考虑具有执行价格K的欧洲看涨期权和相应的欧洲看跌期权。让我们用VE，callnand，VE来表示，在N周期二项模型上的期权价格。以下公式适用于，VE，calln- VE，putn=Sn- K（1+r）N-n、 n=0。。。，九件事，因为n=n，我们有，callN- VE，putN=（序号- K）+- （K）- 序号）+=（序号- K）+- （序号- K）-= 序号- K、 假设该公式适用于某些n。我们将证明它也适用于n- 1，VE，calln-1.- VE，putn-1=1+rq（Vu、E、calln- Vu、E、putn）+（1- q） （Vd、E、calln- Vd、E、putn）=1+rq（uSn-1.- K（1+r）N-n） +（1- q） （dSn-1.- K（1+r）N-n）= 序号-1.- K（1+r）N-n+16.2欧洲和美国选项之间的关系一般来说，很容易看出≤ Hn，n=0。。。NinDect，对于n=n，我们有n=XN=hn，其中XN是持有人在时间n的利润。假设它包含f或一些n，那就是≤ HnWe将证明它也适用于n- 1、我们可以写-1=最大值{Xn-1,1+rqHun+（1- q） Hdn公司}≥ 最大{Xn-1,1+rqVu，En+（1- q） Vd，En}= 最大{Xn-1，VEn-1}≥ VEn公司-1现在考虑这样一种情况，即我们有一个执行价格为K的欧式期权和一个N期模型中相应的美式期权。如果我们谈论看涨期权和≥ 0那么我们将证明ve，calln=Hcalln（当r≥ 0），n=0。。。，我们首先需要证明xn≤ VE，calln，n=0。。。，我们将通过归纳法来证明这一点。对于n=n，很明显，我们假设它对somen成立，我们将证明它对n也成立- 1.