Ninomiya Victoir方案：强收敛、对偶版本和

在多层蒙特卡罗方法中，使用最新网格中修改后的Milstein格式及其对偶版本的算术平均值，以及最粗网格中的修改后的Milstein格式，得出β=2。通过这种方式，Giles和Szpruch在不模拟L’evy区域的情况下，成功地提高了方差收敛速度。准确地说，他们选择Zlas followsZGS=fXGS，1T（4.12）ZlGS=FXGS，2lT+ FXGS，2lT- FXGS，2l-1吨, L∈ {1，…，L}。（4.13）这里，XGS，2lis-th-Giles和Szpruch方案由（3.1）定义，使用时间Stepl=T/2landXGS的网格，2lis-th-Giles和Szpruch方案是通过交换方案中每个连续的成对布朗增量定义的对偶离散化。为了更精确，我们定义了两个网格，一个是带有时间步长的粗网格-1和带有时间步长hl的网格。离散化时间（tk）0≤K≤2l-1和tk公司+0≤K≤2l-1.-1由tk=khl定义-1.K∈0，2l-1., 和tk+=k级+hl公司-1.K∈0，2l-1.- 1.. 然后，在最粗糙的网格上，XGS，2l-1tk+1K∈{0，…，2l-1} 由XGS、2l感应定义-1t=x和XGS，2l-1tk+1=XGS，2l-1tk+bXGS，2l-1千吨hl公司-1+dXj=1σjXGS，2l-1千吨Wj，ctk+1+dXj，m=1σjσmXGS，2l-1千吨Wj，ctk+1Wm，ctk+1- 1{m=j}hl-1.（4.14）其中Wctk+1=Wtk+1- Wtk。同样，在最近的网格上，XGS，2ltk+1K∈{0，…，2l-1} 由XGS感应确定，2lt=x，且XGS，2ltk+=XGS，2ltk+bXGS，2ltkhl+dPj=1σjXGS，2ltkWj，ftk++dPj，m=1σjσmXGS，2ltkWj，ftk+Wm，ftk+- 1{m=j}hlXGS，2ltk+1=XGS，2ltk++bXGS，2ltk+hl+dPj=1σjXGS，2ltk+Wj，ftk+1+dPj，m=1σjσmXGS，2ltk+Wj，ftk+1Wm，ftk+1- 1{m=j}hl（4.15）其中Wftk+=Wtk+- Wtk，Wftk+1=Wftk+1- Wftk+。

对偶格式由相同的迭代方程定义，除了布朗增量Wftk+和Wftk+1已重置XGS，2ltk+=▄XGS，2ltk+bXGS，2ltkhl+dPj=1σjXGS，2ltkWj，ftk+1+dPj，m=1σjσmXGS，2ltkWj，ftk+1Wm，ftk+1- 1{m=j}hlXGS，2ltk+1=XGS，2ltk++bXGS，2ltk+hl+dPj=1σjXGS，2ltk+Wj，ftk++dPj，m=1σjσmXGS，2ltk+Wj，ftk+Wm，ftk+-1{m=j}hl.（4.16）【6】中的定理4.10、引理2.2和引理4.6确保在一些关于f和SDE系数的正则性假设下，β=2。定理4.2假设f∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，R），b，σj∈ C（Rn，Rn），J∈ {1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：P≥ 1.C∈ R*+, L∈ N*, EZlGS公司2p级≤C2PL，其中ZLGS定义为（4.13）。说明l级中三个方案的使用情况∈ {1，…，L*} 我们选择λ=1和λl=5/2，而不是在0级的e上，L∈ {1，…，L*} . 然后，多层蒙特卡罗估计量^YGSMLMC=L*Pl=0M*lZlGS，wher e L*和M*（4.9）和（4.10）分别给出了lare，实现了复杂性O-2.. 在文献[2]中，Debrabant R¨ossler改进了多层蒙特卡罗方法，在最后一层L中使用了一个具有高阶弱收敛性的方案。虽然这种改进的方法达到了相同的复杂性，但它通过减少偏差减少了计算时间。我们可以利用Ninomiya-Victoir格式在最后一个级别L上的弱收敛阶2来遵循这个想法。更准确地说，我们建议选择ZGS=fXGS，1T（4.17）ZlGS=FXGS，2lT+ FXGS，2lT- FXGS，2l-1吨, L∈ {1。

L- 1} （4.18）ZLGS-内华达州=FXNV、2L、ηT+ FXNV，2L，-ηT+ FXNV、2L、ηT+ FXNV，2L，-ηT-FXGS，2L-1吨.（4.19）此处，XNV，2L，η（分别为XNV，2L，-η） 是Ninomiya Victoirscheme XNV，2L，η（分别为XNV，2L，-η） ，通过交换每对连续的布朗增量获得。理论3。2证明（4.8）最后一级L方差的收敛顺序为2。命题4.3我们假设f∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，R），b∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，Rn），σj∈ C（Rn，Rn），J∈{1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数以及多项式增长的三阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：P≥ 1. C∈ R*+, L∈ N*, EZlGS公司-内华达州2p级≤c2plwhere ZlGS-NVI定义为（4.19）。证明：Let p≥ 1、介绍FXGS，2lT+ FXGS，2lT利用一个凸性不等式，我们得到ZlGS公司-内华达州2p级≤2p级-12便士FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT- FXGS，2lT2p级+FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT- FXGS，2lT2p！+32便士-1.ZlGS公司2p。然而XNV，2l，ηT，XNV，2l，-ηT，XGS，2lT和XNV，2l，ηT，▄XNV，2l，-ηT，~XGS，2lT具有完全相同的分布。

然后，通过接受我们得到的期望ZlGS公司-内华达州2p级≤2p级-12便士-1E“FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT- FXGS，2lT2p#+32p-1E级ZlGS公司2p级.表示“XNV，2l，ηT”=XNV，2l，ηT+XNV，2l，-ηT在[6]的引理2.2中进行二阶泰勒展开，我们得到一个常数C∈ R*+, 这只取决于f和p，所以eZlGS公司-内华达州2p级≤ CE(R)XNV，2l，ηT- XGS，2lT2p级+ EXNV、2l、ηT- XNV，2l，-ηT4p+ EZlGS公司2p级.在E中的时间T引入精确解XXNV、2l、ηT- XNV，2l，-ηT4p, 我们得到了XNV、2l、ηT- XNV，2l，-ηT4p≤ 24便士-1.EXNV、2l、ηT- XT公司4p+ EXT公司- XNV，2l，-ηT4p.自从XNV、2l、ηT、XT和XNV，2l，-ηT，XT具有相同的d分布，我们推断XNV、2l、ηT- XNV，2l，-ηT4p≤ 24pEXNV、2l、ηT- XT公司4p.因此：EZlGS公司-内华达州2p级≤ 24件E(R)XNV，2l，ηT- XGS，2lT2p级+ EXNV、2l、ηT-XT公司4p+ EZlGS公司2p级.然后，我们使用定理2得出结论。3、3.2和4.2。利用e上的伸缩总和可以改变最后一级土地上的约束条件（4.3）：eZL公司= 流行性出血热^XLT- FXL码-1吨i、 （4.20）这里的^X是另一个方案，为了保持一致，（4.7）变成HF^XlT我- Y=cαl+oαl. （4.21）然后我们建议使用估值器^YGS-NVMLMC=L-1Pl=0MlMlPk=1Zl，kGS+MLMLPk=1Zl，kGS-内华达州。当然，这个估计量的偏差是由Ninomiya Victoir方案的偏差给出的。由于它的弱阶数为2，我们希望减少L的值，从而减少计算时间。我们还可以在每个级别使用Ninomiya Victoir方案，并选择ZlNV公司0≤L≤Las f ollowsZNV=fXNV，1，ηT（4.22）奥尔兹涅夫=FXNV，1，ηT+ FXNV，1，-ηT（4.23）和Zlnv=FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT+ FXNV、2l、ηT+ FXNV，2l，-ηT-FXNV，2l-1，ηT+ FXNV，2l-1.-ηT, L∈ {1，…，L}。（4.24）实际上，在（4.24）中，符号的用法是ab，我们对2l维向量（η，…）使用相同的符号η。

，ηl）的独立且同分布的Rademacher随机变量需要在细网格上生成Ninomiya Victoir方案，该方案具有2个步骤和d f或-一维子向量η、 η，ηl-1.用于在2l粗网格上生成Ninomiya Victoir方案-1步骤。2l的提取-二维向量的一维向量旨在减少方差。如前所述，我们获得了相同的速率α和β，但主要缺点是在每个级别l上模拟了六个方案∈ {1，…，L- 1} 而不是三个。推理就像在命题4的p屋顶。3，因为Zlnv=ZlGS-NV+f(R)XNV，2l-1，ηT-FXNV，2l-1，ηT+ FXNV，2l-1.-ηT+FXGS，2l-1吨-F(R)XNV，2l-1，ηT我们得到：命题4.4假设f∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，R），b∈ 具有有界一阶和二阶导数的C（Rn，Rn），σj∈ C（Rn，Rn），J∈{1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数以及多项式增长的三阶导数，并且σjσm，j、 m级∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：P≥ 1. C∈ R*+, L∈ N*, EZlNV公司2p级≤C2PL其中Zlnv由（4.24）定义。4.2多水平Richardson-Romberg外推最近，Lemaire和Pag\'es开发了一种称为多水平RichardsonRomberg外推（ML2R）的新方法。该方法结合了多级蒙特卡罗方法和[10]中介绍的多步骤Richardson-Romberg外推的思想。实际上，多水平Richardson-Romberg外推可以看作是多水平蒙特卡罗估计量的加权版本。采用Lemaire和Pag\'es[7]的符号，多层Richardson-Romberg外推估计量为bu-ilt，如下所示：YML2R=LXl=0WlMlMlXk=0Zlk（4.25），其中Zlk公司0≤L≤五十、 1个≤K≤Mlare独立变量满足（4.2）、（4.3）和偏差误差扩展α∈ R*+, R∈ N*, c′。

，c′R∈ RL∈ N、 流行性出血热XlT公司我- Y=RXj=1c′jhαjl+Ohα（R+1）l（4.26）式中，hl=T/2是时间步长。如前所述，α是离散格式的弱收敛阶。通过引入权重（Wl）0≤L≤五十、 通过取消表达式（4.26）中的连续偏差项，可以得到较小的偏差。在【7】之后，用cml2r表示的^YML2R的计算复杂度定义为CMLMC，但我们不考虑权重（λl）0≤L≤五十、 在某些假设下（更多信息请参见[7]），最佳复杂性C*ML2由文献[7]中的定理3.11给出，该定理指出C*ML2Rdependsonα和Zl的方差收敛率，如前所述由β表示C∈ R+，L∈ N*, 五、Zl公司≤cβl.（4.27）oc*ML2R=O-2.如果β>1，oC*ML2R=O-2日志如果β=1，oC*ML2R=O-2经验-β-1.√αq2 log（2）log如果β<1。有关更多详细信息，请参见[7]和[10]。在[7]中，Lemaire和G.Pag\'es假设：L∈ N*, 五、∈ R+，EFXlT公司- f（XT）≤ Vhβl。我们可以很容易地将证明与假设相适应（4.27）。与多层蒙特卡罗方法类似，当β>1时获得的最佳复杂度与具有独立且相同分布无偏随机变量的简单蒙特卡罗方法相同。以期通过应用定理4来实现这种复杂性。2或位置4。4我们将选择ZlGS公司0≤L≤土地ZlNV公司0≤L≤Lwith ZNV=fXNV，1，ηT. 这里，我们调用了多水平Richardson-Romberg外推刺激器的渐近最优参数：L*=s+ 对数（T）+α对数√1+4α+ 对数（T）-, （4.28）米*l=Q*lN公司*, （4.29）Wl=L*Xj=lwj，（4.30），其中：wj=(-1） L*-J-α（L*-j） （L）*-j+1）jQk=1（1- 2.-kα）L*-jQk=1（1- 2.-kα），（4.31）Q*∝ （1+θ）q*L∝ θ| Wl|-βl+2-β（l-（1）√升+2升-1.L∈ {1，…，L*}L*Pl=0q*l=1，（4.32）N*=1+2α（L*+ （1）V（f（XT））1+θ1+1*Pl=1 | Wl|-βl+2-β（l-（1）√升+2升-1.Q*+L*Pl=1q*l（2l+2l-（1）,（4.33）和θ=T-βrcV（f（XT））。

（4.34）4.3数值试验在本节中，我们给出了数值试验，其中我们比较了多级蒙特卡罗估计量和多级Richardson Romb er g估计量。虽然我们还没有证明Ninomiya Victoir和Giles Szpruch方案的偏差（4.26）的理论扩展，但我们将在多水平Richardson-Romberg估计中使用这些方案（参见[4]和[9]基于Ninomiya Victoir方案的extrapolation方法）。更准确地说，我们比较了以下估计量：o多级蒙特卡罗估计量与Giles-Szpruch方案^YGSMLMC=L*Xl=0米*lM公司*lXk=1Zl，kgs，其中zg和zlgs分别由（4.12）和（4.13）给出。当变为0时。oNinomiya-Victoir方案的多层蒙特卡罗估计^YNVMLMC=L*Xl=0米*lM公司*lXk=1Zl，knv，其中ZNVand zlnv分别由（4.22）或（4.23）和d（4.24）给出Giles-Szpruch格式从0级到1级的多层蒙特卡罗估计*- 最后一级的Ninomiya Victoir和Giles Szpruch方案之间的耦合*^YGS-NVMLMC=L*-1Xl=0M*lM公司*lXk=1Zl，千克+米*L*M*L*Xk=1ZL*,千克-NVwhere ZL公司*GS公司-NVis由（4.19）给出。oGiles-Szpruch方案的多级Richardson-Romberg估计量^YGSML2R=L*Xl=0WlM*lM公司*lXk=1Zl，千克Ninomiya-Victoir方案的多级Richardson-Romberg估计^YNVML2R=L*Xl=0WlM*lM公司*lXk=1Zl，kNV。这里，ZNVis由（4.22）给出。4.3.1 Clark Cameron SDE对于我们的第一次数值试验，我们考虑了带有漂移的Clark Cameron SDE，其定义如下（dUt=StdWtdSt=udt+dWt（4.35），其中u∈ R、 在此2中-多维随机微分方程，微分系数由σ给出我们=s, σ我们=如果t系数为b，则dr我们=u. Stratonovich漂移由σ给出我们=B-σσ+σσ我们=u-0 10 0s+0 00 0=u这些函数是光滑的，并且满足定理2的假设。3、3.2、命题4.3和4.4。

通过简单的计算，Giles-Szpruch格式如下所示：UGStk+1=UGStk+SGStkWtk+1- Wtk公司+Wtk+1-Wtk公司Wtk+1- Wtk公司SGStk+1=SGStk+u（tk+1- tk）+Wtk+1- Wtk公司（4.36）0级的选择将在后面讨论。Ninomiya Victoir方案由UNV，ηtk+1=UNV，ηtk+SNV，ηtkWtk+1- Wtk公司+u（tk+1- tk）Wtk+1- Wtk公司+ 1{ηk+1=1}Wtk+1- Wtk公司Wtk+1- Wtk公司SNV，ηtk+1=SNV，ηtk+u（tk+1-tk）+Wtk+1-Wtk公司.（4.37）在比较这些估计数之前，我们将说明定理2。3、3.2、命题4.3和4.4。为了检查Ninomiya-Victoir格式的强收敛速度，我们将在时间T处，在步骤hl和hl的s模式之间的差异的平方L-范数的期望值处进行检查-1，用相同的布朗路径模拟w。由XNV、2l、ηT表示=UNV，2l，ηT，SNV，2l，ηT和XNV，2l-1，ηT=UNV，2l-1，ηT，SNV，2l-1，ηT, 根据定理2，它如下所示。3 thatEXNV、2l、ηT- XNV，2l-1，ηT≤cl.（4.38）对于模拟，我们选择初始条件U=V=0，最终时间T=1，参数u=1。在图1中，蓝线显示了日志的行为EXNV、2l、ηT- XNV，2l-1，ηT红线显示日志的行为E(R)XNV，2l，ηT- XGS，2l，ηT作为离散化水平l的函数。这些期望值是用标准蒙特卡罗方法估计的，所有l的Ml=10个样本。这种选择确保了置信区间非常紧密，这就是为什么我们的图中没有表示这些期望值。蓝线显示了Ninomiya Victoir方案的强大收敛顺序。正如预期的那样，我们得到了一条斜率为1的线。红线显示了Ninomiya Victoir和theGiles Szpruch方案之间耦合b的强收敛性。从定理3可以看出。2 thatE(R)XNV，2l，ηT- XGS，2lT≤c2l。（4.39）同样，正如预期的那样，我们得到了斜率为2的直线。

这些数值结果与定理2是一致的。3和3.2进行了阐述和证明。说明命题4。3和4.4中，我们选择了一个平滑的Payoff函数，满足命题4的假设。3和4.4：f（u，s）=cos（u）。在图2中，上图显示了日志的行为呃ZlGS公司-内华达州我由（4.19）定义，而底图显示的是beh-Aviorf日志呃ZlNV公司我定义见（4.24）。两条线的坡度均为2。通过减小u的值，我们注意到，对于越来越大的l值，可以达到理论收敛速度。对于较小的l值，方差的下降速度快于理论收敛速度。图3显示了ZlNV的这种现象，payoff f（u，s）=u。实际上，通过选择这个payoff，我们可以检查ZlNV公司= 2.-4升uT+uT+ 2.-3升uT+T+ 2.-2lT.（4.40）这一繁琐计算的细节推迟到附录中。前面的公式（4.40）包含高阶项，这掩盖了方差的理论行为。1 2 3 4 5 6 7 8 9升-25-20-15-10-50log2XNV、2l、η-XNV，2l-1，η日志2\'XNV，2l，η-XGS，2l图1：强收敛顺序。作为l（x轴）函数的强误差（y轴对数刻度）。1 2 3 4 5 6 7 8 9l-25-20-15-10-50log2ZlNV公司2.日志2ZlGS公司-内华达州2.图2：方差收敛阶，f（u，s）=cos（u）。二阶矩（y轴对数标度）作为l（x轴）的函数。下图显示了日志的行为呃ZlNV公司我作为l的函数。对于u的大值和l的小值，比率EZl+1NV.呃ZlNV公司iis接近16，这表明前导项为2-4升。渐近地，曲线的斜率为2。

从数值的角度和给出的多层方法的结构来看，这是一个重要的强调点。特别是参数（M）的选择（4.29*l） 0个≤L≤L*在多级Richardson-Rombergestimator中，它基于渐近性质，当第一级的渐近行为失败时，它将不是最优的。1 2 3 4 5 6 7 9 10升-25-20-15-10-50510log2ZlNV公司2.u=0u=5u=10u=15图3：f（u，s）=u的方差收敛阶。二阶矩（y轴对数标度）作为l（x轴）的函数。现在我们给出了实现多级估计器的实用程序。将已经讨论过的元素放在一起，我们使用Ninomia Victoir方案或Giles Szpruch方案对多层MonteCarlo进行计算的算法如下所示。我们首先估计弱误差常数cin（4.7），常数cw来自方差估计（4.8），并检查弱收敛和强收敛的阶数。当满足s模式偏差的渐近行为（4.7）时，一个hasEhZli~c（1- 2α）αl.（4.41），使用具有少量值的回归LEZl公司, 我们估计并检验了弱收敛的阶数α。同样，我们使用（4.8）中的回归估计并检查方差收敛的强阶β为0。然后我们估计VZ使用标准MonteCarlo估值器^V。之后，对于给定的，我们定义*使用（4.9），然后我们设置*=s^Vλqλ^V+L*Xj=1qcλjj（1-β）（4.42）和L∈ {1，…，L*}, M*l=rcλll（β+1）qλ^V+L*Xj=1qcλjj（1-β）. （4.43）当我们使用Ninomiya Victoir方案时，我们可以在ZNV=f之间进行选择XNV，1，ηTandZNV公司=FXNV，1，ηT+ FXNV，1，-ηT. 第二种选择减少了0级ifXNV，1，η的方差，这有效地取决于ds对η的依赖。所以，一般来说，使用ZNV=FXNV，1，ηT+ FXNV，1，-ηT减少了多级蒙特卡罗估计的样本量。