保险copula模型的一种重要抽样方法

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英文标题：
《An importance sampling approach for copula models in insurance》
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作者：
Philipp Arbenz, Mathieu Cambou and Marius Hofert
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  An importance sampling approach for sampling copula models is introduced. We propose two algorithms that improve Monte Carlo estimators when the functional of interest depends mainly on the behaviour of the underlying random vector when at least one of the components is large. Such problems often arise from dependence models in finance and insurance. The importance sampling framework we propose is general and can be easily implemented for all classes of copula models from which sampling is feasible. We show how the proposal distribution of the two algorithms can be optimized to reduce the sampling error. In a case study inspired by a typical multivariate insurance application, we obtain variance reduction factors between 10 and 30 in comparison to standard Monte Carlo estimators.
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中文摘要：
介绍了copula模型抽样的一种重要抽样方法。当感兴趣的函数主要取决于基本随机向量的行为时，当至少一个分量较大时，我们提出了两种改进蒙特卡罗估计的算法。这类问题常常出现在金融和保险业的依赖模型中。我们提出的重要性抽样框架是通用的，可以很容易地对所有类别的copula模型实现，从中抽样是可行的。我们展示了如何优化这两种算法的建议分布以减少采样误差。在一个受典型多元保险应用启发的案例研究中，与标准蒙特卡罗估计量相比，我们获得了10到30之间的方差缩减因子。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> An_importance_sampling_approach_for_copula_models_in_insurance.pdf (1.55 MB)

2022-5-24 23:37:54 上传

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关键词：Copula opula 抽样方法 Applications Multivariate

InsurancePhilipp-Arbenz中copula模型的一种重要抽样方法*, Mathieu Cambou+，Marius Hoffert2015年4月7日摘要介绍了copula模型抽样的重要抽样方法。我们提出了两种改进蒙特卡罗估计的算法，当感兴趣的函数主要取决于基本随机向量的行为时，至少有一个分量是大的。这些问题通常来自金融和保险中的依赖模型。我们提出的importancesampling框架是通用的，可以很容易地用于所有类别的copula模型，从中可以进行采样。我们展示了如何优化这两种算法的建议分布以减少采样误差。在一个典型的多变量保险应用启发下的案例研究中，我们获得了10到30个与标准蒙特卡罗估值器相比的方差缩减因子。关键词：Copula，依赖模型，重要性抽样，保险，风险度量，taileven1简介许多保险应用，参见我们的动机第2节，导致计算形式为E[ψ（X）]的函数的问题，其中X=（X，…，Xd）：Ohm → Rdis概率空间上的随机向量(Ohm, F、 P）和ψ：Rd→ R是一个可测量的函数。如果不能假设X的分量是独立的，那么通常用copula来模拟X的分布，例如p[X≤ 十、Xd公司≤ xd]=C（FX（x），FXd（xd）），x∈ Rd，其中FXj（x）=P[Xj≤ x] ，j=1，d、 是边际累积分布函数（cdf）和C:[0，1]d→ [0，1]是一个copula。copula可以将依赖结构从边缘分布中分离出来，这对于构建多元随机模型很有用。我们假设读者对copulas有基本的了解，并参考了McNeil等人。

然而，当至少有一个参数接近1时，E[ψ（U）]主要取决于copula行为，因为在这种情况下，ψ变大。请注意，在此框架中，我们遵循（McNeil et al.，2005，备注2.1）的约定，即外部参照损失和-在精算背景下，这更常见。人们可以同样很好地处理损益随机变量-通过将感兴趣的区域更改为X的分量较小的区域。3重要性抽样重要性抽样背后的思想是从不同于目标分布C的建议分布Fv中抽样。建议分布将更多样本集中在对E[ψ（U）]贡献较大的区域。通过适当的加权方法，可以得到方差较低的无偏估计量。假设所考虑的函数ψ在上述类别中：如果至少有一个参数接近1，则ψ很大。在这种情况下，估计器unin（2.1）的一个缺点是，保险4中copula模型的重要抽样方法通常，对于许多样本Ui，没有一个分量接近1。因此，大多数样本位于低兴趣区域。因此，即使n很大，uncan的估计误差也很大。设V=（V，…，Vd）：Ohm → [0，1]d注意具有分布函数FV的随机向量。我们可以重写积分E[ψ（U）]asE[ψ（U）]=Z[0,1]dψ（U）dC（U）=Z[0,1]dψ（U）dC（U）dFV（U）dFV（U）=Eψ（V）dC（V）dFV（V）, （3.1）式中，dC/DFV表示C相对于FV的Radon-Nikodym导数。Radon-Nikodym导数存在的充要条件是copula C相对于FV是绝对连续的。我们将在本节后面提供有关此问题的更多详细信息。如果C和fV与Lebesgue测度的密度C和fV绝对连续，则Radon–Nikodym导数C/dFVis仅为密度C/fV的比率。i.i.d。

样本{Vi:i=1，…，n}对于V，我们可以确定重要性抽样估计量bun=nnXi=1ψ（Vi）w（Vi），（3.2），其中w（Vi）=dC（Vi）/dFV（Vi）是样本权重。然后，我们的目标是找到FV，使得bu的方差小于un的方差。为了确定建议分布FV，我们建议通过采用多变量cdf C[λ]：[0，1]d的加权平均值，采用混合方法→ λ的不同值上的[0，1]。设F∧表示随机变量∧的分布函数：Ohm 7.→ [0，1）。然后，我们确定了C[λ]混合物在分布F∧上的分布FV：FV（u）=ZC[λ]（u）dF∧（λ），u∈ [0，1]d.应将分布C[λ]理解为copula C的扭曲版本，其将在采样空间的特定区域集中样本。然后，这些区域将由λ的值参数化。更准确地说，我们将构造C[λ]，使其仅将质量置于区域[0，1]d \\[0，λ]d中。在续集中，我们将提出C[λ]的两个可能定义，这将定义两个重要采样算法，即第4节中的拒绝采样算法和第5节中的直接采样算法。我们将看到，这种混合方法是自然的，以便允许C相对于FV是绝对连续的。特别是，如果满足以下条件，则任何copula C都可以保证绝对连续性。条件A.随机变量∧满足P[∧=0]>0。为了获得明确的权重函数w（V）和无偏估计量bun，必须满足条件a。这种情况不需要对C进行特殊假设。虽然它看起来很有限制性，但我们将看到，还需要有一个一致的估计量bun。

为此，我们将在以下条件中满足条件A。建议分布FVas a C[λ]混合物的构造直接产生采样方法，因为人们可以通过第一次绘制∧来绘制FVby的实现~ F∧然后V~ C[λ]。因此，可以使用以下算法计算bun：算法3.1。修复n∈ N、 对于i=1，n、 do：1。图纸∧i~ F∧；2、图六~ C[λi]；3、计算w（Vi）；保险中copula模型的一种重要抽样方法5Return bun=n-1Pni=1ψ（Vi）w（Vi）。下面的引理建立了估计量bun的一致性和渐近正态性。引理3.2。假设var[ψ（U）]<∞ 而w（·）≤ B对于某些常数B<∞. 然后是1。bun几乎肯定会将P收敛到u；2、σ=var[ψ（V）w（V）]<∞ 和n1/2（bun- u）在分布上收敛到N（0，σ）。证据1、由于E[ψ（V）w（V）]=E[ψ（U）]，一致性直接来自拉金数定律。2、注意eψ（V）w（V）= Eψ（U）w（U）≤ Eψ（U）B<∞,如果第一个平等是通过改变衡量标准来确定的，请参见（3.1）。我们可以通过中心极限定理立即降低bun的渐近正态性，例如，参见第2节。4见Durrett（2010），第110页。我们稍后将证明，在F∧的一些温和假设下，权函数确实在[0，1]上有界。4对于该算法，我们提出C[λ]表示U的分布，条件是其至少一个分量超过λ：C[λ]（U）=P[U≤ U环球开发商≤ ud | max{U，…，ud}>λ]=P[U≤ U环球开发商≤ ud | U/∈ [0，λ]d]=C（u）- C（min{u，λ}，…，min{ud，λ}）1- C（λ1），其中λ1=λ（1，…，1）=（λ，…，λ）∈ [0，1）d.注意，只有当C（λ1）=0时，C[λ]才是copula，但我们的算法不需要C[λ]是copula。通过在（0，1）上加上∧的质量，我们可以在至少有一个分量较大的copula区域上加上更多的权重。

例如，如果F∧是离散的，且P[λ=0]=P[λ=0.9]=0.5，则V的50%样本仅限于位于[0，1]d \\[0，0.9]d，而其他50%样本将位于[0，1]d。请注意，[0，1]d \\[0，0.9]d上的质量将高于50%。另一方面，在P[λ=0]=1 yieldsFV=C.4.1抽样方案分布的情况下，我们现在将描述如何从Fv中提取样本。当FVis通过混合分布定义时，通过绘制第一∧从FVis中提取实现~ F∧然后V~ C[λ]，见算法3.1。不幸的是，对于众所周知的copula类，条件分布C[λ]在分析上是不可处理的。我们只知道一类冲击copula，即Marshall–Olkincopulas，可以直接从条件分布C[λ]中采样。附录A中提供了详细信息和相应的算法。然而，通过rejectionalgorithm，从C[λ]对任意copula C进行采样始终是可能的，该算法易于实现，但由于拒绝步骤可能会很耗时。使用下面的拒绝算法，可以从fv中为任何copula C提取样本。唯一的条件是从F∧和C中提取实现是可行的。没有必要了解C的进一步属性，例如其密度。基本思想是首先从f∧中绘制一个实现∧，然后从C迭代绘制实现，直到获得大于∧的最大分量。保险6算法4.1中copula模型的一种重要抽样方法。绘制FV的一个实现：1。绘制∧~ F∧；2、反复画V~ C直到最大值{V，…，Vd}>λ；返回V。算法4.1的一个缺点是，由于步骤2中的接受条件，通常会丢弃许多C样本。

在实践中，有两个重要原因可以证明这种方法比标准蒙特卡罗方法更合理。首先，如果需要计算边际分位数函数，或者如果ψ没有闭合形式，则ψ的计算在数值上可能比从copula采样更昂贵。其次，在计算机内存中存储大量的U样本可能比生成U样本在数字上更昂贵。例如，这种情况可能出现在估计分配资本时，这需要存储整个多变量样本。特别是在高维问题中，内存约束可能非常令人望而却步。为了举例说明，请考虑以下示例：对于在具有重尾保证金的环境中计算风险资本和风险贡献，10\'000\'000的样本通常不够大，无法产生足够小的估计误差。然而，在具有双精度浮点数的1000维设置中，该样本需要大约80GB的内存，这比当前计算机的平均RAM容量还要多。算法4.1可能需要从U中进行多次实现，以生成V的一次实现。以下引理给出了获得V引理4.2实现的预期U数的表达式。让NV表示模拟FV的一个实现所需的从C绘制的次数。预期图纸数量isE【NV】=Z1- C（λ1）dF∧（λ）。证据从U中抽取的概率~ 满足度max{U，…，Ud}>λ为P[max{U，…，Ud}>λ]=1- C（λ1）。因此，从C[λ]模拟固定λ所需的绘制次数是随参数1几何分布的- C（λ1），期望值为1/[1- C（λ1）]。为了从V模拟，从F∧得出∧。因此，E【NV】通过平均1/【1】给出- C（λ1）]overF∧。使用Fr'echet–H¨offing界限（参见McNeil等人的定理5.7。

（2005）），我们可以给出E[NV]的以下界限，它只依赖于F∧和维数d，与copulaC无关。定理4.3。我们有1.- ∧≤ E[内华达州]≤ E1.- ∧.证据由于上Fr'echet–H¨offing界，我们有C（λ1）≤ 最小值{λ，…，λ}=λ。因此，E【NV】=Z1- C（λ1）dF∧（λ）≤Z1级- λdF∧（λ）=E1.- ∧.类似地，由于较低的Fr'echet–H¨o影响界限：E【NV】≥Z1级- 最大{0，dλ- d+1}dF∧（λ）=Zmax1，d（1- λ）dF∧（λ）≥dE公司1.- ∧. 根据定理4.3，从V得出一个实现所需的从C得出的次数有一个有限的期望当且仅当E[（1- ∧）-1] <∞. 直觉上，这意味着∧的质量不应集中在1附近，以便能够使用算法4.1。我们将在下一节中看到，copula c和F∧的特定选择将允许我们找到E【NV】的分析表达式。保险中copula模型的一种重要抽样方法74.2样本权重的计算本节概述了如何计算算法3.1中使用的权重w（Vi）。我们首先推导出一个有用的表示。定理4.4。Radon–Nikodym导数w（u）=dC（u）/dFV（u）可以写成w（u）=Zmax{u，…，ud}1- C（λ1）dF∧（λ）！-1.证明。根据莱布尼茨积分规则，我们得到dFV（u）=RdC[λ]（u）dF∧（λ）。从C[λ]的定义，我们可以推断出微分C[λ]（u）=（0，u∈ [0，λ]d，dC（u）1-C（λ1），否则。利用这两个恒等式，我们得到了dfv（u）=dC（u）Z1{λ≤ 最大{u，…，ud}}}1- C（λ1）dF∧（λ），得到期望的结果。我们方法的有效性来自于术语dC（u）没有出现在w（u）中这一事实。例如，如果C相对于Lebesgue测度是绝对连续的，则无需评估CDOE的密度来计算w（u）。

与其他最重要的采样算法相比，这是一个优势，因为其他最重要的采样算法需要存在C的密度。为了简化符号，设ew（t）：[0，1]→ [0，∞) 定义为新（t）=Zt1- C（λ1）dF∧（λ）-1，使得w（u）=ew（max{u，…，ud}）。引理4.5。在条件A下，ew从上方以P[λ=0]为界-1开[0，1]。证据自C（λ1），λ∈ [0，1]，copula C的对角线部分和分布函数f∧都是递增函数，权重函数ew（t）在[0，1]上递减，因此它的上界为ew（0）=P[λ=0]-1<∞. 因此，条件a不仅有助于获得权重的存在性，而且还能保证它们是有界的。根据引理3.2，这是重要抽样估计量的一致性和渐近正态性所必需的。对于一般的C和F∧，权重函数ew的计算可能会很苛刻。通常，可以使用数值积分格式。为了避免这些问题，我们提出了两个案例，其中电子战的评估是直接的。第4.2.1节说明了F∧离散的情况。在第4.2.2节中，我们假设copula C位于满足对角线上多项式条件的一大类copula中。对于这一类，有一个特定的F∧选择，它会导致ew的分析表达式。4.2.1离散F∧本节表明，在离散F∧的情况下，计算ew（t）很快，并且很容易实现。为此，假设F∧与有限个n∧原子离散：P[λ=xk]=pk，k=1，n∧，n∧Xk=1pk=1，p>0，0=x<···<xn∧<1。保险中copula模型的一种重要抽样方法8注意，条件A是满足的。在这种情况下，ew可以写成一个阶跃函数ew（t）=n∧Xk=11{Xk≤ t} 1个- C（xk1）pk！-1.

（4.1）为了评估ew（t），有必要计算（或近似）k=1时的C（xk1，n∧。对于整个样本，这些值只能计算一次。这种离散F∧的方法可用于任何copula C。对于E[NV]，我们得到显式表达式E[NV]=n∧Xk=1pk[1- C（xk1）]。4.2.2连续F∧对于连续F∧，通常只能通过数值计算权重函数ew。在下文中，我们假设C和F∧都是一种特殊的多项式形式，这导致了一个显式。假设C在其对角线上表现为单项式：C（u1）=uα，0≤ U≤ 1、由于Fr'echet–H¨f界限，α必须满足1≤ α≤ d、 这类copula相当大。下面的列表显示了满足此条件的一些流行copula族Marshall–Olkin copulas，如附录A示例A.2所示。相应指数为α=Pmj=1mini:j∈Ii（sj/esi）。o如Hoffert和Vrins（2013）所述，Sibuya copulas的违约率过程是一个非齐次泊松过程具有Pickands依赖函数a的极值连接函数。相应的指数α=dA（1/d，…，1/d）；有关极值copulas的定义，请参见McNeil等人（2005）的第7节。请注意，例如，此类包含著名的Gumbel copula。除了copula C之外，我们还对F∧：[0，1]→ [0，1]。假设f∧（λ）=（1- γ） +γ1.- （1）- λα）β, β>1，0≤ γ≤ 1、参数α由copula对角线的指数给出，因此不能自由选择。此外，F∧有一个重量为1的原子- γ为零。这种分布与Kumaraswamy（1980）的分布相似。在这种情况下，权重函数可以很容易地计算为w（t）=1.- γ+γβZtαλα-1（1- λα）β-2dλ-1=β- 1β- 1+γ（1- β（1- tα）β-1） 。（4.2）E【NV】=1/ew（1）（c.f。