部分信息下的递归效用最大化

一次ξ*确定后，通过用Xξ求解（2.7）中的第一个方程，获得最优投资组合*（T）=ξ*.3递归效用最大化的对偶方法在本节中，我们施加以下凹性条件：假设3.1函数（y，z）7→ f（ω，t，y，z）对于所有（ω，t）都是凹的∈ Ohm ×[0，T]。我们还需要以下关于u的假设：假设3.2 u：（0，∞) → R是严格递增的，s是三次凹的，连续可微的，并且满足u′（0+）：=limx↓0u′（x）=∞, u′型(∞) := 林克斯→∞u′（x）=0。（3.1）根据假设3.2，假设2.2似乎限制性太强，排除了一些有趣的例子。因此，在下面两节中，对于满足假设3.2的任何给定效用函数u，我们设置u={ξ|ξ∈ LGT，u（ξ）∈ LGTandξ≥ 0}。在本节中，我们假设σ≡ Id，d维单位矩阵。设F（t，β，γ）为F:F（ω，t，β，γ）：=sup（y，z）的FenchelLegendre变换∈R×Rdf（ω，t，y，z）- yβ- z′γ, （β，γ）∈ R×Rd.（3.2）设F的主要效应为DF：={（ω，t，β，γ）∈ Ohm×【0，T】×R×RdF（ω，t，β，γ）<+∞}. 如文献[7]所示，DF的（ω，t）-截面由D（ω，t）Fis表示，包括在有界域B=[-C、 C]d+1 R×Rd，其中C是f的Lipschitz常数。我们通过f，f（ω，t，y，z）=inf（β，γ）的凹度得到了对偶关系∈D（ω，t）FF（ω，t，β，γ）+yβ+z′γ. （3.3）对于每个（ω，t，y，z），该关系中的最大值由一对（β，γ）实现，该对取决于（ω，t）。挫折=（β，γ）（β，γ）是G-逐步可测量的，B-值，EZTF（t，βt，γt）dt<+∞.那么B是一个凸集。

对于任何（β，γ）∈ B、 letfβ，γ（t，y，z）=F（t，βt，γt）+yβt+z′γt，用（yβ，γ，zβ，γ）表示线性BSDE（2.3）的唯一解Fβ，γ。通过与[7]中命题3.4类似的分析，我们得到了Xξ（t）andYξ（t）的以下变分公式。引理3.3在假设2.1和3.1下，对于任何ξ∈ U，q的解（Xξ（·），qξ（·）），（Yξ（·），Zξ（·））。（2.7）可表示为asXξ（t）=^L-1（t）E[^L（t）ξ| Gt]，Yξ（t）=E ss infβ，γ∈通过β，γt，t∈ [0，T]，a.s.，其中^L（T）：=e-Rt^u′（s）dcW（s）-Rt |^u（s）| ds，Yβ，γt=EZTtΓβ，γt，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γt，Tu（ξ）| Gt,β，γt，s=eRst（βr-|γr |）dr+Rstγ′rdcW（r）。特别地，我们有Yξ（0）=inf（β，γ）∈是RTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）.注3.4根据[17]中的定理3.1，我们得到了^L（t）=E[L（t）| Gt]，t∈ 【0，T】，a.s。。引理3.3，A（x）={ξ∈ UE[^L（T）ξ]=x}。因此，我们的问题等价于以下问题m：最大化J（ξ）=infβ，γ∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）s、 t.ξ∈ A（x）。（3.4）投资者可以达到的最大-最小递归效用isV（x）：=supξ∈A（x）infβ，γ∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）. （3.5）主要由其“最小-最大”对应物V（x）：=inf（β，γ）∈Bsupξ∈A（x）EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）. （3.6）如果我们能找到（β，γ，ξ）∈ B×A（x）使得v（x）=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）=那么问题（3.4）的最优解是^ξ。让我们引入单调递减函数I（·）作为边际效用函数u′（·）的逆函数，以及凸对偶u（ζ）：=maxx>0[u（x）- ζx]=u（I（ζ））- ζI（ζ），ζ>0。（3.8）然后，ξ∈ A（x），（β，γ）∈ Bζ>0，EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζξL（T）= EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx。

（3.9）此外，我们在上述s ome^ξ公式中具有等式∈ A（x），（β，γ）∈ B、 ^ζ>0当且仅当条件se[^ξL（T）]=x，（3.10）^ξ=I^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T, a、 同时满足s.（3.11）。在这种情况下，我们有ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）= EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx.（3.12）引理3.5在假设2.1、3.1和3.2下，假设存在四重（^ξ、^β、^γ、^ζ）∈ （A（x）×B×（0，∞)) 满足（3.10）、（3.11）和ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）, （β，γ）∈ B、 （3.13）那么我们有ξ∈ A（x），（β，γ）∈ B、 E类ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（ξ）≤ EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）. （3.14）即，（ξ，β，γ）是满足（3.7）的鞍点。证明：我们仅证明（3.14）中的Firs t关系。在（3.9）中，设（β，γ）=（β，γ）和ζ=ζ。我们得到了ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（ξ）≤ EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）, ξ∈ A（x），x（3.1 2）。这就完成了证明。让我们介绍一下值函数V（ζ）≡V（ζ；x）：=inf（β，γ）∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T, 0<ζ<∞. （3.15）到（3.9），我们有'V（x）≤ 五、*（x） ，（3.16），其中*（x） ：=infζ>0，（β，γ）∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx= infζ>0[°V（ζ）+ζx]。

（3.17）引理3.6在引理3.5的假设下，以下情况成立：（i）（^β，^γ）达到（3.15）中的最大值，ζ=^ζ。（ii）三重（^ζ、^β、^γ）达到（3.17）中的第一个上限。（iii）ber^ζ数∈ （0，∞) 年达到第二名（3.17）。（iv）（3.16）中不存在“二元性缺口”；也就是说，V*（x） =(R)V（x）=V（x）=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）.证明：（i）根据（3.12）和（3.13），EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T= EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）-^ζx≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）-^ζx≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu^ζL（T）Γβ，γ0，T, （β，γ）∈ B、 其中最后一个不平等是由于（3.9）。（ii）到（3.12）和（3.13），我们已经ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx，（β，γ）∈ Bζ∈ （0，∞)其中，最后一个不等式是（3.9）对ξ=^ξ的应用。（iii）通过（i），（3.12）和（3.13），~V（^ζ）+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx，（β，γ）∈ Bζ∈ （0，∞).所以我们得到了V（^ζ）+^ζx≤ inf（β，γ）∈是RTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx=~V（ζ）+ζx，ζ∈ （0，∞).（iv）根据（ii）和（3.12），V*（x） =EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）=(R)V（x）=V（x）。这就完成了证明。在下面，我们证明了引理3.5中假设的四倍体（^ξ，^β，^γ，^ζ）的存在性。请注意，函数x 7→ x▄u（x）是凸的。

通过与[5]附录B类似的分析，以下引理成立。引理3.7在假设2.1、3.1和3.2下，对于任何给定的ζ>0，存在一对（^β，^γ）=（^βζ，^γζ）∈B达到（3.15）中的最大值。引理3.8在s消费2.1、3.1和3.2下，假设ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T< ∞, ζ>0，（β，γ）∈ B、 然后，对于任何给定的x>0，存在一个数^ζ=^ζx∈ （0，∞) 达到V*（x） =infζ>0[°V（ζ）+ζx]。证明：第1步：通过▄u和引理3.7的凸性，▄V（·）是凸的。固定ζ>0，表示（^β，^γ）=（^βζ，^γζ），如引理3.7所示。对于任何δ>0的情况，我们有▄V（ζ+δ）-V（ζ）δ≤EΓ^β，^γ0，Tu（ζ+δ）^L（T）Γ^β，^γ0，T- Γ^β，^γ0，Tuζ^L（T）Γ^β，^γ0，Tδ≤ E^L（T）~u′（ζ+δ）^L（T）Γ^β，^γ0，T= -E^L（T）I（ζ+δ）^L（T）Γ^β，^γ0，T.然后，通过Levi引理，limδ→0+~V（ζ+δ）-V（ζ）δ≤ -E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T（3.18）和Limδ→0±V（ζ）-V（ζ- δ） δ≥ -E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T. （3.19）由于▄V（·）是凸的，我们得到▄V（·）在（0，∞) 和▄V′（ζ）=-E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T.步骤2：因为u（·）是有界的，所以对于任何ζ∈ （0，∞),^L（T）Γ^β，^γ0，T<+∞, A.s然后，V′(+∞) := limζ→+∞~V′（ζ）=- limζ→∞E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T= 0，~V′（0）：=limζ→0+~V′（ζ）=- limζ→0+E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T= -∞.因此，存在一个达到V的数^ζ*（x） 和▄V′（^ζ）=-十、∈ (-∞, 0）。这就完成了证明。引理3.9在假设2.1、3.1和3.2下，V*（x） =ERTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+引理3.8中的^ζx与引理3.7中的（^β，^γ）=（^β，^γ）=（^β，^γζ）。证据：我们有ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=~V（^ζ）+^ζx≤V（ζ）+ζx≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx, （β，γ）∈ Bζ∈ （0，∞), x>0。这就完成了证明。

我们的主要结果是以下定理。定理3.10在假设2.1、3.1和3.2下，设（^ζ、^β、^γ）为引理3.9，定义^ξ=I^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，Ta、 s。。If^ξ∈ U、 然后（^ζ、^β、^γ、^ξ）满足引理3.5中的所有条件，即（3.10）、（3.11）和（3.13）。证明：请注意，V（^ζ）=inf（β，γ）∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu^ζL（T）Γβ，γ0，T= EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T.应用彭[20]中的极大值原理，我们得到了（^β，^γ）的一个必要条件：F（t，βt，γt）+ptβt+qtγt≥ F（t，βt，γt）+ptβt+qtγt，（β，γ）∈ B、 （3.20）其中（pt，qt）是伴随方程的解-dpt公司=F（t，^βt，^γt）+pt^βt+q′t^γtdt公司- q′tdcW（t），pT=uI（^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T）.（3.21）（β，γ）∈ B、 设（yt，zt）和（▄yt，▄zt）分别为以下两个线性BSDE的唯一解，yt=u（^ξ）+ZTtys^βs+z′s^γs+F（s，^βs，^γs）ds公司-ZTtz′sdcW（s），（3.22）~yt=u（ξ）+ZTt~ysβs+~z′sγs+F（s，βs，γs）ds公司-ZTtz′sdcW（s）。（3.23）通过（3.20）和BSDE的比较定理，我们得到了yt≤ ~yt，t∈ [0，T]，a.s.，尤其是y≤ y.求解上述线性BSDE givesy=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）和▄y=EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）.国有企业ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）, （β，γ）∈ B、 这正是等式（3.13）。引理3.8，V′（^ζ）=-x、 引理3.7，V（^ζ）=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T. （3.24）将（3.24）的两侧区分为^ζ的函数，我们得到^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T^L（T）]=x.（3.25）这就完成了证明。备注3.11值得指出的是，上述理论证明中的伴随过程ptin与等式（3.22）中的最优效用过程ytin一致。4 K-忽略在本节中，我们研究了Chen和Epstein[1]称为K-忽略的一种特殊情况。

在这种情况下，发电机f指定为asf（t，y，z）=-K | z |，K≥ Chen和Epstein将术语K | z |解释为建模模糊性厌恶而非风险厌恶。f（z）=-K | z |是不可区分的。但它是凹的，f（z）=inf |γ|≤K（γz）。那么，我们在上述部分中的结果仍然适用。在本节中，我们假设d=1，σ≡ 1、财富方程与递归效用的推导-dX（t）=-q′（t）u（t）dt- q′（t）dcW（t），X（t）=ξ，-dY（t）=-K | Z（t）| dt- Z′（t）dcW（t），Y（t）=u（ξ）。（4.1）我们的问题公式为：最大化J（ξ）：=Yξ，s.t。ξ∈ U、 X（0）=X，（X（·），q（·）），（Y（·），Z（·））满足等式（4.1）。（4.2）现在引理3.3可以简化为以下引理。ξ引理4.1∈ U、 式（4.1）的解（X（·）、q（·））和（Y（·）、Z（·））可表示为X（t）=L-1（t）E[^L（t）ξ| Gt]，Y（t）=ess infγ∈B（Γ0，γ0，t）-1（t）E[Γ0，γ0，Tu（ξ）| Gt]，其中^L（t）=E-Rt^u（s）dcW（s）-Rt |u（s）| ds，Γ0，γ0，t=eRtγsdcW（s）-Rt |γs | ds，B={γ={γt}t≥0 |γtis G-逐步可测量，|γt |≤ K、 t型∈ [0，T]，a.s.}。对于nyγ∈ B、 Γ0，γ0，tis（G，P）-马丁酒。然后，在GTbydPγdP=Γ0，γ0，TandcWγ（t）=cW（t）上定义一个新的概率测量Pγ-Rtγsds是Pγ下的布朗运动。因此，Y（0）=infγ∈BEγ[u（ξ）]，其中Eγ[·]是关于Pγ的期望算符。我们的问题（4.2）等价于以下问题：最大化J（ξ）=infγ∈BEγu（ξ）s.t.ξ∈ A（x）。（4.3）（3.15）中的辅助对偶问题变为￠V（ζ）≡V（ζ；x）：=infγ∈BEγИu（ζZγ（T）），0<ζ<∞, （4.4）式中Zγ（t）：=^L（t）Γ0，γ0，t，t∈ [0，T]，a.s.和V*（x） ：=infζ>0，γ∈B[Eγ▄u（ζZγ（T））+ζx]=infζ>0[▄V（ζ）+ζx]。（4.5）应用上述步骤，我们可以找到鞍点。

因此，除了引理4.2给出了新的证明外，我们列出了没有证明的结果。引理4.2在假设3.2下，对于任何给定的ζ>0，存在唯一的^γ=^γζ∈ B达到（4.4）中的最大值。证明：集合B′={0，γ0，T |γ∈ B} ，M={Mγ（T）：=Γ0，γ0，T^L（T）|γ∈ B} g（x）=xu（ζx）f或x>0。然后问题（4.4）变为▄V（ζ）=infMγ（T）∈M▄E[Mγ（T）▄u（ζMγ（T））]=infMγ（T）∈ME[g（Mγ（T））]（4.6），其中E[·]是预期操作人员w.r.T。风险中性测量P。根据文献[1]中的定理2.1，我们知道B′在L中是范数闭的(Ohm). 所以B在a.s.收敛下是闭合的，因为B是一致可积的。作为a序列，M在a.s.收敛下是闭合的。考虑一个最小化序列e{Mγn（T）}n≥1对于（4.6），这是→∞~E[g（Mγn（T））]=~V（ζ）。根据Komlos定理，存在一个序列Mγn（T）∈ conv（Mγn（T），Mγn+1（T），…），i、 e.Mγn（T）=PTnk=nλkMγk（T），λk∈ [0，1]和ptnk=nλk=1，使得序列{Mγn（T）}n≥1将a.s.收敛为随机变量M。通过a.s.闭合度M，我们得到了M∈ M、 那就是^γ∈ B、 s.t.M=M^γ（t）。注意，g是一个严格凸连续函数，我们有▄E[g（M）]=▄E[limn→∞g（(R)Mγn（T））]≤ lim信息→∞~E[g（\'Mγn（T））]≤ lim信息→∞λkTnXk=nE[g（Mγk（T））]=lim infn→∞~E[g（Mγn（T））]=~V（ζ）。唯一性来自于g的严格凸性。这就完成了证明。

引理4.3在假设3.2下，如果▄E【I（ζZγ（T））】<∞, ζ>0，γ∈ B、 然后，对于任何给定的x>0，都存在一个数^ζ=^ζx∈ （0，∞) 达到V的极限*（x） =infζ>0[°V（ζ）+ζx]。引理4.4在假设3.2下，V*（x） =引理4.3中的E^γИu（^ζZ^γ（T））+具有^ζ=^ζxas的^ζx，以及引理4.2中的^γ=^γ^ζ。定理4.5在假设3.2下，let（^ζ，^γ）与引理4.4中的相同，那么问题（4.3）的最优终端财富是^ξ=I（^ζZ^γ（T）），如果^ξ属于U，则a.s。下面，我们给出一些例子来说明我们的上述分析。示例4.6（恒定绝对风险规避）。假设u（x）=1- E-αx，x∈ R、 α>0，投资者的财富可能为负。该效用函数u不满足假设3.2。但它满足了以下假设：假设4.7 u严格递增，严格凹进，连续可微，和u′(-∞) := 林克斯↓-∞u′（x）=∞, u′型(∞) := 林克斯→∞u′（x）=0。（4.7）注意，根据假设4.7，本节中的结果仍然成立。对于本例，I（ζ）=-αlnζα，ζ>0，且▄u（ζ）=1-ζα+ζαlnζα，ζ>0。那么辅助对偶问题（4.4）的值函数isEγИu（ζZγ（T））=1-ζα+ζαlnζα+ζαИE[ln Zγ（T）]=1-ζα+ζαlnζα+ζ2αИEZT（u（t）+γt）dt，ζ>0。显然，达到问题（4.4）的最小值的^γt（最佳γt）与ζ无关。很容易看出^γt=(-K）∨ (-^u（t））∧ K、 t型∈ 【0，T】，a.s。。问题（4.4）的最优值为▄V（ζ）=1-ζα+ζαlnζα+ζ2αEZT（^u（t）+^γt）dt，引理4.3中的拉格朗日乘数为^ζ≡^ζx=αe-ERT（u（t）+γt）dt-αx=arg minζ>0[￠V（ζ）+ζx]。因此，定理4.5中的最优终端财富为^ξ=-αln^ζZ^γ（T）α。此外，很容易检查（Y（t），Z（t））：=1.-^ζαZ^γ（t），^ζα（u（t）+^γt）Z^γ（t）, T∈ 当ξ=^ξ时，[0，T]唯一地解方程（4.1）中的效用方程。示例4.8（对数效用函数）假设u（x）=ln x，x>0。

在这种情况下，I（ζ）=ζ，且▄u（ζ）=- lnζ- 1，ζ>0。然后，辅助对偶问题（4.4）的值函数isEγОu（ζZγ（t））=Eγ[- ln（ζZγ（T））- 1] =Eγ[- ln Zγ（T）]- lnζ- 1=EγZT（μu（t）+γt）dt- lnζ- 1，ζ>0。因此，最优^γ与ζ无关。考虑以下BSDEyγ（t）=Eγ[ZTt（u（s）+γs）dsGt]=ZTt[（μu（s）+γs）+γszγ（s）]ds-ZTtzγ（s）dcW（s）。Setf（t，zt）=infγ∈B[（u（t）+γt）+γtzt]=K- 2K^u（t）- Kzt+^u（t），如果- 2^u（t）+2K<zt；-zt公司- ^u（t）zt，如果- 2^u（t）- 2公里≤ zt公司≤ -2^u（t）+2K；K+2K^u（t）+Kzt+^u（t），如果zt<-2^u（t）- 2K，t∈ 【0，T】，a.s。。很容易证明f（t，zt）是一致Lipschitz，因此下面的BSDE有一个唯一的解，westill用（yt，zt）表示。yt=ZTtf（s，zs）ds-ZTtzsdcW（s）。（4.8）然后在^γt=arg infγ时获得问题（4.4）的上限∈B[（u（t）+γt）+γtzt]=-KI公司{-2μu（t）+2K<zt}+(-^u（t）-zt）I{-2^u（t）-2公里≤zt公司≤-2μu（t）+2K}+KI{zt<-2^u（t）-2K}，t∈ 【0，T】，a.s。。引理4.3中的拉格朗日乘子为^ζ≡^ζx=x=arg minζ>0[￠V（ζ）+ζx]。定理4.5中的最优终端财富为^ξ=xZ^γ（T）。示例4.9假设升值率u（t）是t的有界确定性函数。在这种情况下，Gt=Ft，t≥ 0，我们声称^γt=(-K）∨ (-u（t））∧ K、 t型∈ [0，T]。（4.9）证明：我们证明上述定义的γ达到（4.4）的上限。表示V（t，x）≡ v（t，x；ζ）：=~E[g（xM^γ（t）M^γ（t））]。那么v（t，x）是偏微分方程的解五、t型+五、xx（ut+^γt）=0。γ∈ B、 将It^o公式应用于v（t，Mγ（t）），我们得到了dv（t，Mγ（t））=[五、t型+五、x（Mγ（t））（u（t）+γt）]dt+五、xMγ（t）（u（t）+γt）dfW（t）=五、x（Mγ（t））[（u（t）+γt）- （u（t）+^γt）]dt+五、xMγ（t）（u（t）+γt）dfW（t）。根据^γt（4.9）的定义，我们有（u（t）+γt）- （u（t）+^γt）≥ 0，t∈ [0，T]。v（t，·）的凸性保证了v（t，Mγ（t））是一个子鞅。