部分信息下的递归效用最大化

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英文标题：
《Recursive utility maximization under partial information》
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作者：
Shaolin Ji and Xiaomin Shi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper concerns the recursive utility maximization problem under partial information. We first transform our problem under partial information into the one under full information. When the generator of the recursive utility is concave, we adopt the variational formulation of the recursive utility which leads to a stochastic game problem and a characterization of the saddle point of the game is obtained. Then, we study the K-ignorance case and explicit saddle points of several examples are obtained. At last, when the generator of the recursive utility is smooth, we employ the terminal perturbation method to characterize the optimal terminal wealth.
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中文摘要：
本文研究部分信息下的递归效用最大化问题。我们首先将部分信息下的问题转化为完全信息下的问题。当递归效用的生成元是凹的时，我们采用递归效用的变分公式，这将导致一个随机对策问题，并得到对策鞍点的一个特征。然后，我们研究了K-忽略情形，得到了几个例子的显式鞍点。最后，当递归效用的生成元是光滑的时，我们采用终端摄动方法来刻画最优终端财富。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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2022-5-25 07:27:14 上传

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关键词：效用最大化 最大化 maximization Mathematical Quantitative

部分信息下的递归效用最大化*史晓敏+摘要。本文研究了部分信息下的递归效用最大化问题。我们首先将部分信息下的问题转换为完全信息下的问题。当递推效用的生成元是凹的时，我们采用递推效用的变分公式，这导致了一个随机对策问题，并得到了对策鞍点的一个特征。然后，我们研究了K-忽略情形，得到了几个例子的显式鞍点。最后，当递归效用的生成元是光滑的时，我们采用终端摄动法来刻画最优终端财富。关键词。递归效用、部分信息、对偶方法、s addle point数学主题分类。93E20，91A30，90C461简介本文研究了一个在金融市场投资的代理人的问题，以使其终端财富X（T）在有限时间间隔[0，T]上的递归效用最大化，而递归效用的特征是以下反向随机微分方程（BSDEfor short）Y（T）=u（X（T））+ZTtf（s，Y（s）的初始值Y（0），Z（s））ds-ZTtZ（s）dcW（s）。（1.1）市场由无风险a资产和d风险资产组成，后者由d维布朗运动驱动。投资者只能了解利率和风险资产价格的历史，而无法直接观察到升值率和驱动布朗运动。也就是说，当投资者选择自己的投资组合时，不能使用布朗运动产生的过滤。这在真正的金融市场中是非常实际的。

所以我们对部分信息下的递归效用最大化问题感兴趣。在完全信息的情况下，在完全或受限的金融市场中，充分理解终端财富预期效用最大化的问题【3】、【1】、【6】。在一个不完全多先验模型中，Quenez[23]研究了资产价格为半鞅的终端财富效用最大化问题。Schied[24]研究了完全市场下的鲁棒效用最大化问题*山东大学金融研究所，济南250100，中国和山东大学数学研究所，济南250100，中国，电子邮件：jsl@sdu.edu.cn.+通讯作者。山东大学金融研究所，济南250100，中国，电子邮件：shixm@mail.sdu.edu.cn.the存在“最不利措施”。至于递归效用优化，El Karoui等人[6]研究了BSDE生成器平滑时递归效用的优化。Epstein和Ji【9】，【10】提出了一个递归效用模型，该模型捕获了决策者对漂移和模糊的模糊性的关注，并研究了G框架下的递归效用优化。但上述所有工作都不包含部分信息。在部分信息情况下，Lakner[17]将鞅方法推广到期望效用最大化问题，另见Pha m[21]。Cvitanic等人[2]最大化了部分信息下的草书使用率。但是，Cvitanic等人[2]中的ge-Nerator f并不依赖于z。Miao[18]研究了部分信息下递归多先验效用最大化问题的一个特例，其中增值率被假定为一个f-可测、不可观测的随机变量，且分布已知。

实际上，他们是在贝叶斯框架下研究这个问题的，并没有给出明确的解决方案。在本文中，我们首先将部分信息下的投资组合选择问题转化为完全信息下的投资组合选择问题，其中未知的升值率被其滤波估计所取代，布朗运动被创新过程所取代。然后，建立了完全信息下的公共关系问题的向后公式，其中以终端we alth作为控制变量，而不是投资组合过程。该反向公式基于BSDE的存在唯一性定理，并在[6]和[13]中介绍。当（1.1）的生成元f是凹的时，我们采用递归效用的变分公式，这导致了一个随机对策问题。受Cvitanicand Karatzas[4]中发展的凸对偶方法的启发，我们将原始的“sup-inf”问题转化为一组分解因子和等效概率测度上的对偶极小化问题。本文给出了该对策鞍点的一个刻划。此外，还给出了几个经典例子的显式鞍点。当BSDE的生成元f是光滑的时，我们应用Ji和Zhou[12]以及Ji和Peng[1 1]提出的终端概率方法来刻画投资者的最优终端财富。一旦获得了最优终端财富，最优投资组合过程的确定就是一个本文不涉及的马丁·盖勒表示问题。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了部分信息下的递归效用最大化问题，将原问题简化为完全信息下的问题，并给出了反向公式。第3节讨论了非光滑发电机的情况。

在第4节中，我们特别介绍了liz-ein K-无知模型，并给出了几个例子的显式鞍点。在第5节中，我们描述了当生成器f是光滑的时的最优财富。2部分观测下的递归效用最大化问题2。1问题的经典公式我们考虑的金融市场包括无风险资产，为简单起见，假设其价格过程等于1，以及d风险证券（股票），其价格为随机过程Si（t），i=0，1。。。，D由以下SDE管理：dSi（t）=Si（t）ui（t）dt+dXj=1σij（t）dWj（t）, i=1。。。，d、 （2.1）式中，W（·）=（W（·）。。。，Wd（·））′是一个标准的d维布朗运动，定义在过滤的完全概率空间上(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。u′={u′（t）=（u（t），…，ud（t）），t∈ [0，T]}是股票的增值率，它是Ft适应的、有界的，并且d×d矩阵σ（T）=（σij（T））1≤i、 j≤dis库存的分散率。这里和整个pape r′表示转置算子。假设该市场的投资者持续观察资产价格，换言之，投资者可获得的信息用G={Gt}t表示≥0，是价格过程σ（S（u）产生的过滤的P-增强；0≤ U≤ t） 。矩阵分散系数σ（t）假设为可逆的，b一致成立，且ε>0，ρ′σ（t）σ′（t）ρ≥ ε| |ρ| |，ρ∈ Rd，t∈ 【0，T】，a.s。。实际上，σ（t）可以从价格过程的二次变化中获得。所以我们假设w.l.o.g.σ（t）是gt适应的。然而，升值率u′（t）：=（u（t）。。。，投资者无法观察到ud（t）。小投资者的行为不会影响市场价格，可以在t时决定∈ [0，T]他的财富中有多少πi（T）投资于第i只股票，i=1。。。，D

当然，他的决定只能基于可用信息{Gt}Tt=0，即过程π′（·）=（π（·）。。。，πd（·））：[0，T]×Ohm → Rdare{Gt}Tt=0渐进可测且满足ERT | |π（t）| | dt<∞.然后是财富过程X（·）≡ Xx，初始财富X>0的自筹投资者的π（·）满足以下随机微分方程：dX（t）=dXi=1πi（t）dSi（t）Si（t）=π′（t）u（t）dt+π′（t）σ（t）dW（t）。（2.2）由于投资者可获得的唯一信息是G，我们无法使用布朗运动W来定义递归效用。如下所示，在过滤可测空间中，P下存在布朗运动cw(Ohm, G） 这通常被称为创新过程。

递归效用过程Y（t）≡ 投资者的Yx，π（t）由以下反向随机微分方程定义：Y（t）=u（X（t））+ZTtf（s，Y（s），Z（s））ds-ZTtZ（s）dcW（s），（2.3），其中f和u ar e函数满足以下假设。假设2.1（A 1）f：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ 对于任何（y，z），R是G-逐步可测量的∈ R×Rd.（A2）存在常数C≥ 0，以便f（t，y，z）- f（t，y，z）≤ C类(Y- Y+Z- Z), （t，ω，y，y，z，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×R×Rd×Rd.（A3）f（T，·，·），关于T和ERTf（T，0，0）dt是连续的<+∞.假设2.2 u：R+→ R是连续可微的，满足线性增长条件。备注2.3方程（2.3）不是标准的BSDE，因为一般而言，G严格大于（P，G）-布朗运动cw的增强过滤。我们引入以下空间：L(Ohm, GT，P；R） ：=nξ：Ohm → Rξ是GT可测量的，E |ξ|<∞o、 MG（0，T；Rd）：=nφ：[0，T]×Ohm → 研发部（φt）0≤T≤Tis G-进度可测量过程，且| |φ| |=ERT |φ（t）| dt<∞o、 SG（0，T；R）：=nφ：[0，T]×Ohm → R（φt）0≤T≤Tis G-渐进可测量过程，且| |φ| S=E[sup0≤T≤T |φ（T）|]<∞o、 为了更加简单，我们通常会编写LGT、MG和SGT，而不是L(Ohm, GT，P；R） ，MG（0，T；Rd）和SG（0，T；R）。我们将在下一小节中说明，在假设2.1下，对于任何ξ∈ LGT，B SDE（2.3）具有唯一的解决方案（Y（·），Z（·））∈ SG×MG。然后对于每个π∈ MG，X（T）∈ LGT和假设2.2确保变量u（X（T））∈ LGT。

因此，在假设2.1和2.2下，与该终值相关的递归效用过程得到了很好的定义。在满足假设2.2和初始禀赋x的效用函数下，具有破产禁令的递归效用最大化问题被表述为：投资者选择一个组合策略，使Yx，π（0），s.t最大化。X（t）≥ 0，t∈ [0，T]，a.s.，π（·）∈ MG，（X（·），π（·））满足式（2.2），（Y（·），Z（·））满足式（2.3），（2.4），其中X（t）≥ 0表示无需破产。定义2.4如果π（·），则称投资组合π（·）是可接受的∈ MG和相应的财富流程esX（t）≥ 0，t∈ 【0，T】，a.s。。假设初始财富x>0，用a（x）表示投资者可行的投资组合策略集，that isA（x）=nπ：π∈ MG，Xx，π（t）≥ 0，dP dt a.s.o.2.2全信息下问题的简化定义风险溢价过程η（t）=σ（t）-1u（t）。因为我们已经计算了过程u（·），σ（·）是一致有界的，所以过程l（t）：=exp(-Ztη′（s）dW（s）-Zt |η（s）| ds）是一个（P，F）鞅。因此，概率度量由ep（a）=E[L（T）IA]定义，A.∈ FT，当redePdP=L（T）时。eP在金融市场中通常被称为风险中性概率。过程fw（t）：=W（t）+Ztη（s）ds，0≤ T≤ 这是Girsanov定理下的布朗运动。然后我们可以重写股票价格过程（2.1）asdSi（t）=Si（t）dXj=1σij（t）dfWj（t）, i=1。。。，d、 注意，σ（t）被假定为有界的、可逆的和Gt自适应的。因此，过滤G与参考文献[22]中orem V.3.7增加的水自然过滤相一致。设η（t）：=E[η（t）| Gt]是ηw.r.t的条件期望的可测量版本。过滤G.设置u：u（t）=E[u（t）| Gt]。然后^u（t）=σ（t）^η（t），因为σ是G适应的。我们介绍了processcW（t）：=fW（t）-Zt^η（s）ds=W（t）+Zt（η（s）- ^η（s））ds，t≥ 0

（2.5）根据Kallianpur【14】中的定理8.1.3和备注8.1.1，{cW（t），t≥ 0}是（G，P）-布朗运动，这就是所谓的创新过程。然后，我们可以在一个全观测模型中描述股票价格过程和财富过程的动力学：dSi（t）=Si（t）ui（t）dt+dXj=1σij（t）dcWj（t）, i=1。。。，d、 dX（t）=π′（t）u（t）dt+π′（t）σ（t）dcW（t）。现在，我们模型中的所有系数都是可见的。所以我们在一个完全观测模型中，我们的问题（2.4）可以重新表述为最大Yx，π（0），s.t。X（t）≥ 0T∈ [0，T]a.s.，π（·）∈ MG、（X（·）、π（·））满足式（2.2），（Y（·）、Z（·））满足式（2.3）。（2.6）2.3问题的反向公式在本小节中，我们首先表明BSDE（2.3）在一些温和的条件下具有唯一的解决方案，然后给出了问题（2.6）的等效反向公式。引理2.5在假设2.1下，对于ξ∈ LG，存在唯一的解决方案（Y，Z）∈ SG×MG至BSDE（2.3）。由于一般而言，G严格大于（P，G）-布朗运动cw的强化过滤，方程（2.3）不是标准的BSDE。幸运的是，根据[14]中的定理8.3.1，每个平方可积Gt鞅M（t）可以表示为asM（t）=M（0）+ZtZ′（s）dcW（s），其中Z（·）∈ 毫克。因此，应用类似于[19]的分析，很容易证明这个引理。设q（·）：=σ（·）′π（·）。由于σ（·）是可逆的，因此可以将q（·）视为控制变量，而不是fπ（·）。根据BSDE（2.3）的存在唯一性结果，选择q（·）等价于选择终端财富X（T）。

如果我们将终端财富作为控制变量，财富方程和回收效用过程可以写成：-dX（t）=-q′-1（t）u（t）dt- q′（t）dcW（t），X（t）=ξ，-dY（t）=f（t，Y（t），Z（t））dt- Z′（t）dcW（t），Y（t）=u（ξ），（2.7），其中“控制”是从以下集合中选择的终端财富ξ：={ξξ∈ LGT，ξ≥ 0}。从现在起，我们用（Xξ（·）、qξ（·）、Yξ（·）、Zξ（·））表示（2.7）的解。我们还用Xξ和Yξ分别表示Xξ（0）和安迪ξ（0）。正如BSDE（2.3）对物权的比较所暗示的，非负终端财富，（ξ=X（T）≥ 0）保持财富过程始终为非负。这就产生了以下优化问题：最大化J（ξ）：=Yξ，s.t。ξ∈ U、 Xξ=X，（Xξ（·），qξ（·）），（Yξ（·），Zξ（·））满足等式（2.7）。（2.8）定义2.6随机变量ξ∈ 当且仅当xξ（0）=x时，U称为初始财富x的可行ξ。我们将用A（x）表示初始财富x的所有可行ξ的集合。很明显，原始问题（2.4）和（2.6）等同于辅助问题（2.8）。因此，在此之后，我们专注于解决（2.8）。无te，ξ成为控制变量。这种方法的优点是，（2.4）中的状态约束变成了（2.8）中的控制约束，而控制理论中众所周知，控制约束比状态约束更容易处理。这种方法的cos t是原始初始条件Xξ（0）=X现在成为约束。可行ξ*∈ 如果A（x）在A（x）上达到J（ξ）的最大值，则称A（x）为最优。