部分信息下的递归效用最大化

因此γ∈ B、 Eγ[~u（ζZγ（T））]=~E[g（Mγ（T））]=~Ev（T，Mγ（T））≥~Ev（0，Mγ（0））=~E[g（M^γ（T））]=E^γ[~u（ζZ^γ（T））]。这就完成了证明。示例4.10假设|u（·）|≤ K、 a.e.，a.s。。那么我们有^γt=-^u（t），t∈ 【0，T】，a.s。。（4.10）注意，当|u（·）|时，u属于B≤ K、 a.e.a.s。。由于g的凸性，我们得到γ∈ B、 ~E[g（Mγ（t））]≥ g（~E（Mγ（T）））=g（1）≡ g（M^γ（T））≡~E[g（M^γ（T））]。在这种情况下，P^γ与GT上的风险中性概率EP一致，从而得出最优的最终财富^ξ=x。这意味着投资者根本不会投资风险资产。5终端摄动法当递归效用（2.3）的生成器是非凹的时，对偶方法不适用。在这种情况下，我们应用终端摄动方法来获得最优终端财富的特征。我们需要以下平滑假设：假设5.1 f在（y，z）中连续可微。Letξ*是（2.8）的最佳终端财富，即Yξ*（0）=supξ∈A（x）Yξ（0）和（x*（·），q*（·），Y*（·），Z*（·））是（2.7）中相应的状态过程。设置“”Ohm := {ω∈ Ohm|ξ*（ω） =0}。通过【11】和【12】中的终端摄动方法，我们得到了以下随机极大值原理。定理5.2在假设2.1、2.2和5.1下，如果ξ*是问题2.8的最优财富，则存在h∈ R、 h类≥ 0和| h |+h=1，使得hm（T）+hu′（ξ*)n（T）≥ 0，a.s.开‘Ohm;hm（T）+hu′（ξ）*)n（T）=0，a.s.开‘Ohmc、 在哪里dm（t）=-^u′（t）σ′-1（t）m（t）dcW（t），m（0）=1；dn（t）=f*Y（t）n（t）dt+f*′Z（t）n（t）dcW（t），n（0）=1，和f*Y（t）：=fY（t，Y*（t） ，Z*（t） ），f*Z（t）：=fZ（t，Y*（t） ，Z*（t） ）。备注5.3注意，在上述定理中，我们不需要u的凹度性质。参考文献【1】Z.Chen，L.Epstein，《连续时间内的模糊性、风险和资产回报》，计量经济学，70（2 002），第1403-1443页。[2] J.Cvitanic，A.Lazarak，M.Quenez，F。

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