均值回归与制度转换下的波动率指数期货交易

同样，通过数值求解Ui和Ki满足的变分不等式，可以确定反向长短策略：min{LiUi（t，s），（fi（t，s）+^c）- Ui（t，s）}=0，（2.14）最大值LiKi（t，s），（（fi（t，s）- c）- Ui（t，s））+- Ki（t，s）= 0。（2.15）为了确定进入期货市场的最佳时机，我们解决了变分不等式max{LiPi（t，s），max{Ai（t，s），Bi（t，s）}- Pi（t，s）}=0。（2.16）换句话说，我们必须解决变分不等式（2.12）–（2.15），然后将解作为变分不等式（2.16）的输入。3带区域切换的数值实现通过在所有区域应用有限差分格式，使用预测的连续过松弛（PSOR）方法，可以获得变分不等式s y干的数值解。值函数的结果方程的解是通过连续超松弛（SOR）方法求解的。在确定价值函数数值近似值的每个SOR迭代步骤中，我们模拟取近似函数值和补偿期货价格之间的最大值。期货价格可以通过（2.5）方便地预先计算。在Leung（2010）中可以找到类似的数值格式，其中包含政权切换。我们的数值格式的更多细节如下所述。首先，我们定义了一般的微分算子li{·}：=-r·+·t+Дi（s）·s+σi（s）·s+Xj6=iqij（·j- ·i） ，（3.1）我们参考Wilmott等人的第9章。

（1995）对预计SOR方法进行了详细讨论。然后，变分不等式（2.12）–（2.16）与下面的变分不等式问题具有相同的形式：Ligi（t，s）≤ 0，gi（t，s）≥ 嗨（t，s），（t，s）∈ [0，^T）×R+，（Ligi（T，s））（hi（T，s）- gi（t，s））=0（t，s）∈ [0，^T）×R+，gi（^T，s）=hi（^T，s），s∈ R+。（3.2）这里，gi（t，s）表示函数Vi（t，s），Ji（t，s）的值，-Ui（t，s）、Ki（t，s）或Pi（t，s）。函数hi（t，s）表示fi（t，s）-c、 （六）（t，s）-（fi（t，s）+^c））+，-（fi（t，s）+^c），（fi（t，s）-c）-Ui（t，s））+，或max{Ai（t，s），Bi（t，s）}。期货价格fi（t，s），含^t≤ T，由（2.4）给出。我们现在考虑在时间（δt=^TN）和空间（δs=SmaxM）离散的非均匀网格上，偏微分方程Ligi（t，s）=0的离散化。将s-导数的CrankNicolson方法和t-导数的后向差分应用于求积方程，得出了有限差分方程：-r（gm，ni+gm，n-1i）+gm，ni- gm，n-1iδt+Дmi（gm+1，ni- 转基因的-1，ni2δs+gm+1，n-1i-转基因的-1，n-1i2δs）+（σmi）（gm+1，ni- 2gm，镍+gm-1，ni2（δs）+gm+1，n-1i- 2gm，n-1i+gm-1，n-1i2（δs））+qii（gm，ni+gm，n-1i）+Xj6=iqij（gm，nj+gm，n-1j）=0，（3.3），其中qii=-Pj6=使用iqijis。为方便起见，我们可以使用这些常数的下标符号，例如gm、ni≡ gi（nδt，mδs），hm，ni≡ hi（nδt，mδs），Дmi=Дi（mδs），σmi=σi（mδs）。通过明确对待政权政变条款来实现。更换gm，n-1J与gm，njfor j 6=获得- αmigm-1，n-1i+（1- βmi）gm，n-1i- γmigm+1，n-1i=αmigm-1，ni+（1+βmi）gm，ni+γmigm+1，n+δtXj6=iqijgm，nj，（3.4）其中αmi=δt4δs（σmi）δs- ^1英里,βmi=-δt（r）-qii）+（σmi）（δs）,γmi=δt4δs（σmi）δs+Дmi,（3.5）对于i，j∈ E、 m=1，2。。。，M- 1和n=1，2。。。，N- 1.

要在时间设计中向后解决的系统-1i=rni，（3.6），其中右侧isrni=Migni+δtXj6=iqijgnj+αig0，n-1i+g0，ni。。。+ γM-1i...gM，n-1i+gM，ni, （3.7）和MI=1.- βi-γi-αi1- βi-γi-αi1- βi-γi。。。。。。。。。-αM-2i1- βM-2i-γM-2i-αM-1i1- βM-1i, （3.8）英里=1+βiγiαi1+βiγiαi1+βiγiγi。。。。。。。。。αM-2i1+βM-2iγM-2iαM-1i1+βM-1i, （3.9）gni=hg1，ni，g2，ni，转基因的-1，niiT。（3.10）我们注意到，Mi的维数与m无关，m是区域数。因此，模式（3.6）可以并行计算。备注1期货价格函数（2.5）可通过求解线性系统（3.6）来计算，方法是将gm，ni替换为fm，ni，其中fm，ni≡ f（t，s，i），设置r=0。由于投资者可以在到期前的任何时候建立头寸，价值函数gi（t，s）必须满足约束gi（t，s）≥ hi（t，s），s≥ 0，0≤ T≤^T，i∈ E、 （3.11）如果离散方案可以写成GM，ni≥ hm，ni，0≤ M≤ M、 0个≤ N≤ M、 我∈ E、 （3.12）因此，在每个时间步骤n∈ {1，2，…，N- 1} ，我们需要解决Mign公司-1i≥ rni，gn-1i≥ hn公司-1i，（百万）-1i- rni）T（hn-1i- gn公司-1i）=0。（3.13）为了保证约束，我们的算法将约束强制如下-1i，新=最大值gm，n-1i，旧，hm，n-1i. （3.14）投影SOR方法用于求解线性系统。请注意，约束与迭代gm、n同时强制-计算1i，（k+1）；在计算gm+1，n时，会立即感受到约束的影响-1i，（k+1），gm+2，n-1i，（k+1）等。

因此，在每个时间步n，PSOR算法将（在k上）代入方程g1，n-1i，（k+1）=最大值h1，n-1i、g1、n-1i，（k）+ω1- βi[r1，ni- （1）- βi）g1，n-1i，（k）+γig2，n-1i，（k）],g2，n-1i，（k+1）=最大值h2，n-1i、g2、n-1i，（k）+ω1- βi[r2，ni+αig1，n-1i，（k+1）- （1）- βi）g2，n-1i，（k）+γig3，n-1i，（k）],...转基因的-1，n-1i，（k+1）=最大值陛下-1，n-1i，总经理-1，n-1i，（k）+ω1- βM-1i[rM-1，ni+αM-1igM-2，n-1i，（k+1）- （1）- βM-1i）总经理-1，n-1i，（k）],（3.15）其中k是迭代计数器，ω是超松弛参数。迭代格式从初始点gni（0）开始，直到满足收敛条件，如| | gn-1i，（k+1）-gn公司-1i，（k）| |<，其中是公差参数。最佳边界Sf（t）可以通过定位分隔gi（t，s）=hi（t，s）或gi（t，s）>hi（t，s）区域的边界来确定。2 4 6 8 10区域1中的到期时间（月）期货价格2区域2中的期货价格图1：2区域中的期货价格。参数：S=30，σ=5.33，σ=6.42，θ=18.16，θ=40.36，u=4.55，u=4.59，q=-q=0.1，q=-q=0.5.4最优交易策略在本节中，我们提供了数字示例，以进一步解释最优交易策略。制度转换CIR模型能够生成不同期限结构的期货曲线。图1显示了两种不同制度下的期货价格。具有区域切换的CIR模型在区域1（蓝色）生成一条凸曲线，在区域2（红色）生成一条凹曲线。在图2中，weillustrate在两个区域市场的CIR模型下期货交易的时间边界案例。如图2a所示，最佳边界将空间划分为每个区域中三个不相交的区域，这些区域可以指定为长区域（“J”以下的区域）、短区域（“V”以上的区域）和等待区域（“J”和“V”之间的区域）。价值的下标与制度相关。

假设投资者预先承诺采取“多空”策略，如果波动率指数处于长线区域，最好先持有头寸，然后在波动率指数达到最佳边界“J”时退出市场。而如果投资者采取“短线-多头”策略，他将先做空一个期货，然后在图2b中的“K”和“U”方向的白羊座以多头仓位收盘。无论是哪种情况，我们的策略都证实了我们的直觉：“低买高卖”。图2还显示了具有不同交易成本的运营时间边界。在没有交易成本的情况下（见图2左面板），等待区域缩小，因为投资者倾向于提前进入和退出市场，从而导致更快速的交易。在存在交易成本的情况下（参见图2的右面板），在ord er中定义等待区域以节省交易成本。我还应该注意到，随着交易成本的增加，长边界减少，短边界增加，使得投资者交易的频率降低。特别是，即将到期的快速分歧表明，投资者不应在关键时刻之后进入市场。他们的推论是，如果理性投资者没有足够的时间收回至少交易成本，她就永远不会开始持仓。图e 2中的“P”边界表示VIX的最佳值，投资者应在该值处持仓。标有“P=A”（即“P=B”）的边界表示投资者通过持有多头（即空头）期货头寸进入市场的临界值。如果波动率指数位于“P=B”边界以上的区域，投资者应选择“短期第一”策略，而如果波动率指数低于“P=A”边界，则应选择“长期第一”策略。这两个边界之间的区域是投资者应该等待更好的创业机会的区域。

这证实了你的直觉——当波动率低时多头仓位，当波动率高时多头仓位。同样，等待区域在接近到期时显著扩大，以覆盖交易成本。换言之，除非VIX非常低或非常高，否则投资者不会进入市场。一旦投资者完成了进入策略的选择，她可以将退出策略转移到相应的最优边界。例如，如果投资者从憧憬期货开始，那么图2中的最佳边界“V”代表了结束头寸的最佳退出时机。然而，如果投资者的初始仓位是短期仓位，那么她将持有空头仓位，直到波动率达到“U”边界。时间（天）0 5 10 15 20VJV（a）时间（天）0 5 10 15 20KUK（b）时间（天）0 5 10 15 20P=BP=AP=BP=a（c）时间（天）0 5 10 15 20VJVJ（d）时间（天）0 5 10 15 20KUK（e）时间（天）0 5 10 15 20P=BP=AP=b（f）图2：具有两态制度转换模型的期货交易的最佳长短边界。左面板：c=^c=0。右面板：c=^c=0.01。常用参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，σ=6.42，θ=17.58，θ=39.5，￠θ=18.16，￠θ=40.36，u=8.57，u=9，￠u=4.55，￠u=4.59，q=-q=0.1，q=-q=0.5.0 5 10 15 20VJνJVτt（ν）（a）0 5 10 15 20VJJVt（ν）τ（b）0 5 10 15 20VJKUt（τ，ν）ντ（c）图3：两状态状态切换模型下的模拟CIR路径和运动时间。（a） 在区域1中，投资者在ν处进入，在τ处退出；在区域2中，再次在ν处进入，在τ处退出。（b） 投资者在制度2中以ν进入，在τ退出，而在制度1中没有任何调整。（c） 投资者在区域1 b的ν处处于空头位置，但在t（τ，ν）处切换到多头位置，然后在区域2的τ处液化其位置。

参数与图2中的参数相同。时间（天）0 5 10 15 20 VJVSSSSS表1在制度1中制度2长-长-短-长-短-长-短-短-短图4：期货交易的最佳边界和CIR模型中的2状态注册表切换。参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，σ=6.42，θ=17.58，θ=39.5，θ=18.16，θ=40.36，u=8.57，u=9，u=4.55，u=4.59，c=^c=0.01，q=-q=0.1，q=-q=0.5。时间（天）0 5 10 15 20VVJJSSSSSTable 2在制度1中的制度2 Long LongSWait LongSWait Short Wait Short Short ShortFigure 5：期货交易的最佳边界和CIR模型中的2状态注册表切换。参数：^T=，T=，r=0.05，σ=5.33，σ=6.42，θ=35.6，θ=39.5，θ=35.96，θ=40.36，u=8.57，u=9，u=4.55，u=4.59，c=^c=0.01，q=-q=0.1，q=-q=0.5。为了更好地解释我们的策略，这里我们假设一个两态过程，并将这两个状态解释为低平均状态（状态1）和高平均状态（状态2）。政权切换时间表明从低平均政权向高平均政权的转变。如图3A所示，投资者在两种制度下完成了长-低-短-高交易。在低均值制度下，投资者选择在时间ν做多期货头寸，然后在τ平仓。当状态切换到t时，VIX位于高平均状态的长区域。投资者应立即在t（ν）处多头一个头寸，然后根据制度2中的最佳边界在τ处平仓。图3b显示了另一个场景。投资者最好在切换发生之前等待，因为VIX在状态1中处于等待区域。然后投资者最好像前一种情况一样，在ν做多，在τ做空。另一个示例如图3c所示。在区域1中，VIX上升到ν处的短边界“K”。

投资者选择做空一个头寸，她推测价格会下降。然而，系统在时间t（τ，ν）时切换。投资者应立即平仓，并根据最佳边界“J”和“V”开始做多一个头寸。投资者可能需要在换位过程中面临损失。换言之，在有限的时间段内有正的损失概率。我们看到，制度转换时机对投资者的交易决策起着关键作用。制度转换的引入为最优交易策略增加了相当大的复杂性。图3中的最后三个例子是最简单的例子，因为我们假设区域切换只在t发生一次。图4和图5显示了另一种在不指定区域切换时间的情况下理解模型的方法。这里使用的过程仍然有两种状态。最佳边界将空间分为5个区域。表1和表2显示了给定VIX在不同制度下的练习。图4显示了“低平均状态与高平均状态”的情况。这种制度转换案例反映了市场的一些突然变化（如2008年的金融危机），这可能会导致极高的波动性。一旦政权转换，投资者预计将积极持有多头头寸。我们可以看到，在高平均状态下，长区域与“s+s+s”一样大。这表明，投资者必须根据不同的制度调整策略，即使波动率指数仍处于同一地区。图5显示了两种切换方式相对较近的模式。制度2的最优边界高于制度1，这意味着投资者打算在制度1中提前进入和退出市场。此外，在模式1中，等待区域是“S+S”，而在模式2中，等待区域是“S+S”。“S”是两个政权中常见的等待区域。

这意味着投资者可能会更频繁地通过采用两种制度模式而非单一制度模式参与交易。换言之，制度转换的存在将影响投资者的交易策略。从没有头寸的投资者的角度来看，她对确定进入市场的最佳时机很感兴趣。我们研究了最优时机溢价（见Leung和Ludkovski（2011）、Leung和Liu（2012）、Leung和Ludkovski（2012）），它在最优策略中起着至关重要的作用。与立即初始化职位相比，这一溢价体现了等待进入的好处。确切地说，保费定义为asL（t，s，i）：=P（t，s，i）- max{A（t，s，i），B（t，s，i）}。（4.1）正如我们在（4.1）中所看到的，L（t，s，i）的最佳停止时间使建立VIX未来头寸的预期折扣值最大化。图6显示，P在A和B中占主导地位。我们还注意到，在每个制度下，当VIX较低时，P=A，当VIX较高时，P=B。10 20 30 40 500.51.52.53.5PAB（a）10 20 30 40 50PAB（b）图6：在时间0时，根据VIX绘制两种状态下的值函数P、a和b。这些参数与图2.5中的参数相同。结论我们在制度转换模型下扩展了最优波动率指数期货交易问题。该模型允许投资者捕捉市场的结构变化。发展了数值方法来求解这些控制值函数的耦合变分不等式系统。考虑到时间选择以及在多头或空头头寸之间进行选择的选择，我们发现，与事先承诺多头或短头的情况相比，推迟市场进入是最佳选择。通过引入制度转换机制，指出投资者应根据制度转换的时机相应地修改交易策略。

本文介绍的策略和数值方法也可应用于其他衍生品。参考Brennan，M.J.和S chwartz，E。S、 （1990年）。股指期货套利。《商业杂志》，63（1）：S7–S31。Bungton，J.和Elliott，R.J.（2002）。美国政权更迭的选项。《国际理论与应用金融杂志》，5:497–514。Cartea，A.、Jaimungal，S.和Penalva，J.（2015年）。算法和高频交易。剑桥大学出版社，英国坎布里德ge。Dai，M.，Zhong，Y.，和K wok，Y.K.（2011）。仓位限制下股指期货的最优套利策略。期货市场杂志，31（4）：394–406。Dotsis，G.、Psycholyios，D.和Skiadopoulos，G.（2007）。隐含波动率指数连续时间模型的实证比较。《银行与金融杂志》，31（12）：3584–3603。Elliott，R。J、 ，萧铁坤和Chan，L.（2008）。一种基于状态转换的衍生工具风险度量pde方法。《金融年鉴》，4（1）：55–74。Gr–ubichler，A.和Longstaff，F.（1996年）。对波动性的未来和操作进行估值。《银行与金融杂志》，20（6）：985-1001。郭，X.（2001）。具有状态切换的最优停止问题的显式解。《应用概率杂志》，第464-481页。Khaliq，A.Q.和Liu，R.（2009）。具有区域切换的美式期权定价新的数值格式。《国际理论与应用金融杂志》，12（03）：319-340。Le，H.和Wang，C.（2010）。具有状态切换的有限时间最优停止问题。《暹罗控制与优化杂志》，48（8）：5193–5213。Leung，T.（2010）。具有最优多重停止的马尔可夫调制随机控制问题及其在金融中的应用。第49届IEE决策与控制会议（CDC），第559–566页。Leung，T.，Li，J.，L i，X.，和Wang，Z.（2016）。