均值回归与制度转换下的波动率指数期货交易

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英文标题：
《Trading VIX Futures under Mean Reversion with Regime Switching》
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作者：
Jiao Li
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper studies the optimal VIX futures trading problems under a regime-switching model. We consider the VIX as mean reversion dynamics with dependence on the regime that switches among a finite number of states. For the trading strategies, we analyze the timings and sequences of the investor\'s market participation, which leads to several corresponding coupled system of variational inequalities. The numerical approach is developed to solve these optimal double stopping problems by using projected-successive-over-relaxation (PSOR) method with Crank-Nicolson scheme. We illustrate the optimal boundaries via numerical examples of two-state Markov chain model. In particular, we examine the impacts of transaction costs and regime-switching timings on the VIX futures trading strategies.
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中文摘要：
本文研究了制度转换模型下的最优波动率期货交易问题。我们将VIX视为依赖于在有限个状态之间切换的区域的平均回复动力学。对于交易策略，我们分析了投资者参与市场的时间和顺序，从而得出了几个相应的耦合变分不等式系统。利用Crank-Nicolson格式的投影连续超松弛（PSOR）方法，给出了求解这些最优双停问题的数值方法。我们通过两状态马尔可夫链模型的数值例子说明了最优边界。特别是，我们研究了交易成本和制度转换时间对波动率指数期货交易策略的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Trading_VIX_Futures_under_Mean_Reversion_with_Regime_Switching.pdf (245.92 KB)

2022-5-25 08:03:46 上传

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关键词：均值回归 指数期货 期货交易 波动率 Quantitative

均值回归与制度转换下的波动率指数期货交易*焦力+2016年6月15日摘要本文研究了一个制度转换模型下的最优波动率指数期货交易问题。我们将VIX视为平均回复动力学，其依赖于在一定数量的状态之间切换的状态。对于交易策略，我们分析了投资者市场参与的时间和顺序，这导致了几个相应的耦合变分不等式系统。利用crank-Nicolson格式的投影连续超松弛（PSOR）方法，发展了求解这些最优双停问题的数值方法。通过两状态马尔可夫链模型的数值例子说明了最优边界。特别是，我们研究了交易成本和制度转换时间对波动率指数期货交易策略的影响。关键词：最优停止、均值回归、期货交易、制度转换、变分不等式JEL分类：C41、G11、G13数学学科分类（2010）：60G40、62L15、91G20、91G80*作者要感谢Tim Leung教授提出了许多有帮助和深刻见解的意见和建议。+APAM系，哥伦比亚大学，纽约，NY 10027；电子邮件：jl4170@columbia.edu.1简介芝加哥期权交易所（CBOE）波动率指数，俗称VIX，是广泛使用的衡量市场波动性的指标。CBOE早在1993年就引入了该方法，其计算基于标准普尔500指数期权的隐含波动率。从经验上看，波动率指数与市场指数呈负相关。一种被广泛接受的解释是，投资者购买标普500的看跌期权是为了防范市场动荡。这增加了波动价格和隐含波动率，从而增加了波动率指数的价值。

因此，VIX也被称为投资者恐惧量表（见Whaley（2000））。虽然波动率指数本身没有交易，但投资者可以通过交易波动率指数期货获得指数敞口。VIX期货是在VIX指数水平上进行现金结算的，于2004年在CBOEFutures交易所进行交易，此后市场一直在不断增长。最近的市场数据表明波动率指数期货市场的流动性和受欢迎程度。2015年，VIX futur es的平均日交易量（ADV）超过200000份合同，共签订5160万份VIX futur再合同。每个波动率指数期货都有一个固定的期限，期限从1个月到9个月不等，但期货持有人不需要在到期日保持头寸，并且可以选择何时平仓。此外，在进入市场之前，投资者可以选择开始多头或空头头寸，然后在交易前的稍后时间平仓。在本文中，我们研究了在Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型下的波动率指数期货交易。许多实证研究都对C-IR动力学进行了很好的研究（参见，例如Gr–ubichler和Longsta off（1996），Wang和Daigler（2011））。Zhang和Zhu（2006）分析了CIR模型的经验有效性，首先根据波动率历史数据估计其参数，并提供了期货定价公式。后来Dotsis等人（2007）将跳跃添加到CI R差异中。然而，Menc'ia和Sentana（2013年）以及Sircar和Papanicolaou（2014年）的研究表明，通过合并制度转换，可以更好地复制VIX隐含效用数据。Leung等人（2016年）展示了波动率指数期货市场中两种不同的期限结构。这些明显不同的制度提供了一个非常有趣的试验场，用于分析不同波动率模型的表现。

有必要允许波动率指数的关键参数对一般市场走势作出反应。制度转换模型就是这样一种模型，其中模型参数取决于在一定数量的国家之间转换的市场制度。市场机制可以反映市场状况、投资者的总体利益以及其他经济因素。Elliott等人（2008年）在基础资产动态与制度波动相关时，通过部分微分方程（PDE）方法评估衍生工具的风险度量。文献中对导数定价和最优停止问题的状态切换应用进行了充分的研究（参见，例如，郭（2001）、Bu ffongton和Elliott（2002）以及Le和Wang（2010））。此外，我们还介绍了投资者参与交易的最优策略。在第一种策略中，投资者希望在价格足够低时建立多头头寸，然后在价格高时退出。预计第二种战略的情况正好相反。在这两种情况下，交易成本的存在扩大了等待区域，表明投资者希望获得更好的价格。此外，当期货非常接近到期时，等待区域在接近到期时因交易成本而急剧扩大。最后，我们的交易问题方法的主要特点是将这两个相关问题结合起来，分析投资者在多空或多空头寸之间自由选择时的最优策略。

在我们的结果中，我们发现，当投资者有权选择时，她会推迟市场进入，以等待与个别独立问题相比更好的价格。在早期的一项研究中，Brennan和Schwartz（1990）提出了有头寸限制的股指期货的最优策略，其中基本动力学采用了布朗桥过程。Dai等人（2011年）通过允许投资者直接在多头头寸和空头头寸之间切换，扩展了具有额外灵活性的最优策略。在本文中，我们扩展了Leung等人（2016）引入的模型，将制度转换纳入VIX的CIR模型。我们提供了风险中性测度下的期货定价问题与历史测度下的交易问题之间的联系。与toBrennan和Schwartz（1990）和d Dai等人（2011）相比，我们并不先验地假设存在与期货价格可能一致或不一致的突变基础，而是考虑利用期货时间价格差异的长期和短期策略。Leung and Li（2015）、Leung et al.（2015）、Leung et al.（2014）、Leung and Li（2016）、Leung and Shirai（2015）和d Stepanek（2015）等研究了类似的交易策略。此外，战略研究可以自动化。关于算法交易的综合研究，请阅读Cartea等人（2015）。这些想法可以应用于其他衍生品，如asswaps（见Leung and Yamazaki（2013）和Leung and d Liu（2012））。在制度转换的情况下，最优交易策略是从一个多变量不等式系统中确定的，其中m是m市场的可能制度数。

我们采用带投影连续超松弛（PSOR）的animplicit显式有限差分方法来求解所有制度下的最优交易边界。尽管如上所述，有许多关于带区域切换的最优停止问题的研究，但很少有讨论数值方法和解决方案的。在一项相关研究中，Khaliq和Liu（2009）提出了一种定价机制转换美式期权的方法。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们制定了带有制度转换的最优停止和交易策略。在第三节中，我们开发了一个基于PSOR方法的隐式格式。在第4节中，我们给出了最优交易问题的数值结果，并提供了财务解释。2通过制度转换进行期货交易的最佳时机我们确定了一个能力空间(Ohm, F、 P），其中P是历史度量。设ξ为状态空间为{1，2，…，m}的连续时间不可约有限状态马尔可夫链。ξ的生成矩阵用Q表示，Q具有常数项qiji，j∈ E、 qij的此类th≥ 0表示i 6=j和PJ∈每个i的Eqij=0∈ E、 马尔可夫链代表了金融市场的变化机制，它影响着指数的动态。设B是定义为的标准布朗运动(Ohm, F、 P）并假设它与ξ无关。假设VIX（用S表示）遵循CIR过程状态切换：dSt=u（ξt）（θ（ξt）- St）dt+σ（ξt）pStdBt，（2.1），其中，对于每个i∈ E、 系数u（i）、θ（i）和σ（i）是已知常数，其中u（i）、θ（i）、σ（i）>0。

请注意，u（i）、θ（i）和σ（i）依赖于马尔可夫链，代表均值回复率、长期均值和波动率。为了对未来进行定价，我们假设风险中性波动率动态的重新参数化CIR模型。由于制度转换所描述的额外不确定性，我们注意到引入马尔可夫链会导致市场不完整。因此，等效马丁盖尔测度不是唯一的。Elliott等人（2008年）利用制度转换Esscher变换来确定等价的定价度量。我们在本文中不包含这个论点，而是假设风险中性概率空间(Ohm, F、 Q）给出。因此，在风险中性度量Q下，波动率指数（VIX）遵循dSt=￠u（ξt）（￠θ（ξt）- St）dt+σ（ξt）pStdBQt，（2.2），其中|u（i），|θ（i），σ（i）>0，bq是一个Q-标准布朗运动，它也独立于马尔可夫链。为方便起见，我们可以对这些常数使用SUB cr ipt表示法，例如ui≡ u（i），θi≡ θ（i）和σi≡ σ（i）。在SDE（2.1）和（2.2）中，我们都需要2uiθi≥ σiand2▄ui▄θi≥ σi（Feller条件），因此CIR过程始终严格为正。双布朗运动由DBQT=dBt+u（ξt）（θ（ξt）关联- St）- Иu（ξt）（￠θ（ξt）- St）σ（ξt）√Stdt（2.3），例如测量值的变化，保留了CIR模型，在两个测量值中，参数值不同。我们考虑在S上签订一份到期日为T<∞ 和时间0的期货价格≤ T≤ 当St=s，ξT=i时，T。期货合约的价格由f（T，s，i）=等式{St | St=s，ξT=i}，T给出≤ T、 （2.4）其中eq是关于风险中性度量Q的期望算子。我们可以证明fi（T，s）≡ f（t，s，i），i=1，m、 满足以下偏微分方程（参见，例如Yao等人。

（2006）），金融机构t+～ui（～θi- s）金融机构s+σ为金融机构s+Xj6=iqij（fj-fi）=0，（t，s）∈ [0，T）×R+，fi（T，s）=s，s∈ R+，（2.5），其中qijis是测量Q下的转移概率。我们注意到（2.5）涉及m个互连的偏微分方程，这是由于VIX动力学中引入的区域切换。可以通过有限的差异方法有效计算所有制度下的期货价格；见下文第3节。2.1最优双停法让我们考虑这样一种情况：投资者在到期日为T的期货合约中持有多头头寸。对于期货中的多头头寸，投资者可以持有到到期，但也可以通过在当前市场价格中采取相反的头寸提前平仓。到期时，两个相反的位置会相互抵消。这促使我们研究关闭的最佳时间。如果投资者选择在时间τ关闭多头头寸≤^T，则她将收到到期日期货的市场价值，用f（τ，Sτ，ξτ）表示，减去交易成本c≥ 0、为了最大化预期d贴现价值，根据投资者的历史概率测度P和恒定的主观贴现率r进行评估≥ 0，投资者解决最优停止问题v（t，s，i）=supτ∈Tt，^TEne-r（τ-t） （f（τ，Sτ，ξτ）- c） | St=s，ξt=io，（2.6），其中Tt，^是所有停止时间的集合，取t和d^t，wher e^t之间的值∈ （0，T）是交易截止日期，它可以等于但不超过期货的到期日。在本章中，我们继续使用符号E{·}来表示根据历史概率测度P所采取的预期。价值函数V（T，s，i）表示与i中的长期期货头寸相关的预期流动价值-s状态。

在持有fi多头头寸之前，持有零头寸的投资者可以选择最佳时机开始交易，或者根本不进入。这导致我们分析交易问题中固有的时间选择。准确地说，在时间t≤^T，投资者面临最佳进入时机问题j（T，s，i）=supν∈Tt，^TEne-r（ν-t） （V（ν，Sν，ξν）- （f（ν，Sν，ξν）+^c）+St=S，ξt=io，（2.7），其中^c≥ 0是交易成本，可能与c不同。换句话说，投资者寻求最大化与多头寸相关的价值函数V（ν，Sν，ξν）与现行期货价格f（ν，Sν，ξν）之间的预期差异。价值函数J（ν，Sν，ξν）表示期货中嵌入的交易机会的最大预期价值。我们将这种“多头开盘，空头收盘”策略称为多头空头策略。或者，投资者很可能会选择做空期货合约，猜测期货价格将下跌。通过做空期货头寸，投资者可以稍后通过建立多头头寸来平仓，或持有至到期，这将导致现金结算。如果投资者在期货合约中有一个单位空头头寸，那么目标是最小化在到期日/到期日之前平仓的预期贴现成本。最佳定时策略由u（T，s，i）=infτ确定∈Tt，^TEne-r（τ-t） （f（τ，Sτ，ξτ）+^c）| St=S，ξt=io。（2.8）如果投资者从零仓位开始，那么她可以通过solvingK（t，s，i）=supν来决定何时进入市场∈Tt，^TEne-r（ν-t） （（f（ν，Sν，ξν）- c）- U（ν，Sν，ξν））+| St=S，ξt=io。（2.9）我们将这种“短到开盘，长到收盘”策略称为“短到长”策略。当投资者打算进入市场时，她可以先做多或做空。

因此，除了时间选择权之外，投资者还可以在多空和多空策略之间进行选择。因此，投资者解决了市场进入时机问题：P（t，s，i）=sup∈Tt，^TEne-r（-t） 最大值{A（，S，ξ），B（，S，ξ）}St=S，ξt=io，（2.10），有两个由A（，S，ξ）定义的入职替代奖励：=（V（，S，ξ）- （f（，S，ξ）+c）+（长-短），B（，S，ξ）：=（（f（，S，ξ）- c）- U（，S，ξ））+（短-长）。因此，与（2.10）中的最优停止p问题相关的相应输入是通过在上述两个奖励之间取m最大值给出的。2.2变分不等式和最优交易策略根据波动率指数的CIR动态，在（2.6）–（2.10）中定义的价值函数在其各自的延续区域均满足相同的控制微分方程，其价值等于其行使区域的相应奖励。为了求解最优交易策略，我们需要分别研究变分不等式的耦合系统。为此，我们首先定义运算符：Li{·}：=-r·+·t+ui（θi- s）·s+σ为·s+Xj6=iqij（·j- ·i） ，（2.11）对应CIR模型。为方便起见，我们对这些值函数采用下标表示法，例如Vi（t，s）≡ V（t，s，i），Ji（t，s）≡ J（t，s，i），Ui（t，s）≡ U（t，s，i），Ki（t，s）≡ K（t，s，i）和pi（t，s）≡ P（t，s，i）。与长短策略相关的最优出入境问题由以下一对变分不等式求解：max{LiVi（t，s），（fi（t，s）- c）- Vi（t，s）}=0，（2.12）最大值李基（t，s），（Vi（t，s）- （fi（t，s）+^c））+- Ji（t，s）= 0，（2.13）表示（t，s）∈ [0，^T]×R+。