体制转换中的最优资源提取

在不丧失一般性的情况下，我们将U≡ U（s、x、y、i）∩ U（s、x、y、i）。我们将使用符号Es，x，y，y，i[·]来表示E[·| x（s）=x，y（s）=y，y（s）=y，α（s）=i]。对于任何控制u∈ U和t∈ [s，T]，利用Gronwall不等式以及L和Φ关于自变量y的Lipschitz连续性，我们得到了V（s，x，y，i）- V（s、x、y、i）≤ supu公司∈U、 τ∈∧Es，x，y，y，iZτsL（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））- L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+|Φ（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））- Φ（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））|≤ K supτ∈∧Es，x，y，y，iZτs | Y（t）- Y（t）| dt+| Y（τ）- Y（τ）|对于某些K>0≤ KC | y- y |对于某些常数K>0，C>0。（3.6）不等式（3.6）暗示了V（s，x，y，i）相对于y的（一致）连续性。最后，我们展示了V（s，x，y，i）相对于s的连续性。设（Xt，Yt）为（2.3）的解，从t=s开始，x（s）=x，y（s）=y，α（s）=i。设0≤ s≤ s≤ T，我们有j（s，x，y，i；u，τ）- J（s，x，y，i；u，τ）≤ Es、x、y、iZsse公司-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+ZTse-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt-中兴通讯-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt≤ Es、x、y、iZsse公司-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+ZTse-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt-中兴通讯-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt≤ Es、x、y、iZssL（t，X（t），u（t），α（t））dt≤ C（s）- s） 对于某些C>0。（3.7）因此，我们有v（s，x，y，i）- V（s、x、y、i）≤ supu公司∈U、 τ∈∧J（s，x，y，i；u，τ）- J（s，x，y，i；u，τ）|≤ C | s- s |。（3.8）这保证了V相对于s的连续性。线性增长不等式源自值函数相对于x和y的Lipschitz连续性。事实上，存在K，C>0，使得| V（s，x，y，i）|≤ K | x |+| V（s，0，y，i）|，和| V（s，0，y，i）|≤ C | y |+| V（s，0，0，i）|。结合最后两个不等式得出，| V（s，x，y，i）|≤ 最大值（K，C）（| x |+| y |+| V（s，0，0，i）|）≤ C（| x |+| y |+1），对于某些C>最大值（K，C）。这就完成了证明。tuRemark 3.2。

从动态规划原理可知，对于任何Gt停止时间τ，我们有v（s，x，y，i）=supu∈U、 τ∈∧s，TEs，x，y，iZτse-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+e-r（τ-s） V（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））. （3.9）定理3.3。值函数V（s，x，y，i）是方程（2.14）的唯一粘度解。证据我们首先证明V是（2.14）的粘度上解。我们将验证V是否满足其内在质量（2.15）。让我∈ M、 和ψ∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+），使得V（s，x，y，i）- ψ（s，x，y）在邻域N（s，x，y）的（s，x，y）处具有局部极小值。在不丧失一般性的情况下，我们假设v（s，x，y，α）- ψ（s，x，y）=0。我们设定α（s）=α，并定义函数Д（s，x，y，i）=ψ（s，x，y），如果i=α，V（s，x，y，i），如果i 6=α。（3.10）Letγ≥ sbeα（·）从初始状态α（s）=α的第一次跳跃时间，并设θ∈ [s，γ]使得（t，X（t），Y（t））从（s，X，Y）开始，在s中保持在N（s，X，Y）中≤ T≤ θ。此外，α（t）=α，fors≤ T≤ θ。设u（·）为容许控制，使得u（t）=t的u∈ [s，θ]。根据动态规划原理（3.9），我们导出了v（s，x，y，α）≥ Es，x，y，αZθse-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+e-r（θ-s） V（θ，X（θ），Y（θ），α（θ））. （3.11）使用Dynkin公式，我们得到，Es，x，y，α[e-r（θ-s） Д（θ，X（θ），Y（θ），α）]- Д（s，x，y，α）=Es，x，y，αZθse-r（t-s）[-rД（t，X（t），Y（t），α）+（LuД）（t，X（t），Y（t），α）]dt。（3.12）其中（Lu^1）定义如（2.10）所示。注意，（LuИ）（s，x，y，i）=Ai，u（ψ）（s，x，y）+QД（s，x，y，·）（i），其中Ai，u（ψ）由Ai，u（ψ）（s，x，y）给出=ψ（s，x，y）s+σ（s，x，u，i）ψ（s，x，y，i）x+u（s、x、u、i）ψ（s，x，y，i）x+ZRψ（s，x+γ（s，x，u，i，z），y，i）-ψ（s，x，y，i）- 1{| z{1}（z）ψ（s，x，y，i）x·γ（s，x，u，i，z）ν（dz）-Uψ（s，x，y，i）y、 假设（s，x，y）是V（t，x，y，α）的最小值- N（s，x，y）中的ψ（t，x，y）。

对于s≤ T≤ θ、 wehaveV（t，X（t），Y（t），α）- ψ（t，X（t），Y（t））≥ V（s，x，y，α）- ψ（s，x，y）=0V（t，x（t），y（t），α）≥ ψ（t，X（t），Y（t））=Д（t，X（t），Y（t），α）。（3.13）利用方程（3.12）和（3.13），我们有，x，y，α[e-r（θ-s） V（θ，X（θ），Y（θ），α）]- V（s，x，y，α）≥ Es，x，y，αZθse-r（t-s）Aαs，u（ψ）（t，X（t），Y（t））+QД（t，X（t），Y（t），·）（α）-rV（t，X（t），Y（t），α）dt。（3.14）此外，我们有qа（t，X（t），Y（t），·）（α）=Xβ6=αqαβа（t，X（t），Y（t），β）- ^1（t，X（t），Y（t），α）≥Xβ6=αqαβV（t，X（t），Y（t），β）- V（t，X（t），Y（t），α）≥ QV（t，X（t），Y（t），·）（α）。（3.15）结合（3.14）和（3.15），我们有，x，y，αe-r（θ-s） [V（θ，X（θ），Y（θ），α）]- V（s，x，y，α）≥ Es，x，y，αZθse-r（t-s）Aαs，u（ψ）（t，X（t），Y（t））+QV（s，X，Y·）（αs）- rV（t，X（t），Y（t），αs）dt。（3.16）由（3.11）和（3.16）得出，x，y，αZθse-r（t-s） θ- sAα，u（ψ）（t，X（t），Y（t））+QV（t，X（t），Y（t），·）（α）-rV（t，X（t），Y（t），α）+L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt公司≤ 0、发送θ→ sleads到- rV（s，x，y，α）+Aα，u（ψ）（s，x，y）+QV（s，x，y，·）（α）+L（s，x，y，u，α）≤ 0。（3.17）由于该不等式适用于任意控制u（t）≡ u在u（s，xs，αs）中，然后取所有值u的上限∈ U我们有rv（s，x，y，α）- supu公司∈UAα，u（ψ）（s，x，y）+QV（s，x，y，·）（α）+L（s，x，y，u，α）！≥ 0。（3.18）此外，根据值函数（2.9）的定义，对于任何控制u∈ U、 V（s，x，y，α）≥ J（s，x，y，α；u，s）=Φ（s，x，y，α）。（3.19）将不等式（3.18）和（3.19）结合起来显然证明了值函数V是（2.16）中定义的粘度上解。现在，让我们证明下解不等式（2.16）。首先，我们想展示一下∈ M、rV（s、x、y、ι）- supu公司∈UAα，u（ψ）（s，x，y）+QV（s，x，y，·）（ι）+L（s，x，y，u，ι）！≤ 0，（3.20），其中（s，x，y）是V（s，x，y，ι）的局部最大值- ψ（s，x，y）。否则，我们假设IneQuality（3.20）不成立。

换句话说，我们假设我们可以找到一个状态α∈ M、 值（s，x，y）和函数φ∈ C1,2（[0，T]×R×R+），使得V（T，x，y，α）- φ（t，x，y）在（s，x，y）处有一个本地最大值∈ [0，T]×R×R+，我们有rv（s，x，y，α）- supu公司∈UAα，u（ψ）（s，x，y）+QV（s，x，y，·）（α）+L（s，x，y，u，α）！≥ δ。（3.21）对于某些常数δ>0。让我们假设V（s，x，y，α），但不失一般性- φ（s，x，y）=0。我们定义ψ（s，x，y，i）=φ（s，x，y），如果i=α，V（s，x，y，i），如果i 6=α。（3.22）设γ为α（·）从状态α的第一个跳跃时间，设θ∈ [s，γ]使得（t，X（t），Y（t））从（s，X，Y）开始，在s中保持在N（s，X，Y）中≤ T≤ θ。自θ起≤ γ我们有α（t）=α，fors≤ T≤ θ。此外，由于V（s，x，y，α）- φ（s，x，y）=0，在N（s，x，y）N（θ，x（θ），y（θ），α（θ））中的（s，x，y）处达到最大值≤ s的φ（θ，X（θ），Y（θ））≤ θ≤ θ。因此，我们也有v（θ，X（θ），Y（θ），α（θ））≤ ψ（θ，X（θ），Y（θ），α（θ））表示s≤ θ≤ θ。（3.23）利用动态规划原理（3.9），可以清楚地看到，对于任何容许控制u（·）和停止时间τ，s<τ≤ θ、 我们有j（s，x，y，α；u，τ）≤ Es，x，y，αZτse-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+e-r（τ-s） V（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））≤ Es，x，y，αZτse-r（t-s） L（t，X（t），u（t），α（t））dt+e-r（τ-s） ψ（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））.注意qψ（t，X（t），Y（t），·）（α）=Xβ6=αqαβ（V（t，X（t），Y（t），β）- φ（t，X（t），Y（t）））≤Xβ6=αqαβ（V（t，X（t），Y（t），β）- V（t，X（t），Y（t），α））≤ QV（t，X（t），Y（t），·）（α）。（3.24）利用不等式（3.21），我们得到了j（s，x，y，α；u，τ）≤ Es，x，y，αZτse-r（t-s）- δ+rV（t，X（t），Y（t），α）- Aα，u（φ）（t，X（t），Y（t））-QV（t，X（t），Y（t），·）（α）dt+e-r（τ-s） ψ（τ，X（τ），Y（τ），α）.

（3.25）Dynkin公式（3.22）和（3.24）暗示了es，x，y，αe-r（τ-s） ψ（τ，X（τ），Y（τ），α）=Es，X，Y，αZτse-r（t-s） “Aα，u（φ）（t，X（t），Y（t））+Qψ（t，X（t），Y（t），·）（α）-rψ（t，X（t），Y（t），α）dt+ψ（s，x，y，α）≤ Es，x，y，αZτse-r（t-s） “Aα，u（φ）（t，X（t），Y（t））+QV（t，X（t），Y（t），·）（α）-rV（t，X（t），Y（t），α）dt+V（s，x，y，α）。（3.26）组合（3.25）和（3.26）我们有j（s，x，y，α；u，τ）≤ Es，x，y，α-Zτse-r（t-s） δdt+ V（s，x，y，α）。（3.27）很容易看出，量γ=Es，x，y，αZτse-r（t-s） δdt> 0，因此取最大总体容许控制u（·）≡ u和停止时间τ∈ ∧在（3.27）上，我们得到v（s，x，y，α）≤ -γ+V（s，x，y，α），（3.28），这是一个矛盾。这证明了不等式（3.20）是满足的。显然，我们推导出了次解不等式（2.16）。因此，V是（2.14）的粘度溶液。通过应用Jensen-Ishilemma的非局部扩展，可以获得Biswas et al.（2010）中粘度解的唯一性。有关非局部算子最大值原理推导的更多信息，还可以参考toBarles和Imbert（2008）。星期三。1最优提取和停止策略在本节中，我们证明了这类特殊控制问题的验证定理。尽管这个结果在控制理论中很标准，但我们在这里提供了一个验证定理的证明，因为我们没有找到具有类似结果的参考文献。此外，这一结果将为我们数值确定最优提取和停止策略提供依据。设P1,2,1，+（W（s，x，y，i））和P1,2,1，-（W（s，x，y，i））分别是抛物线超射流和W（s，x，y，i）的子射流，以及\'P1,2,1+（W（s，x，y，i）），\'P1,2,1-（W（s，x，y，i））它们各自的闭合。定理3.4。

让W为每个i∈ M、 W（·，·，·，i）∈ 满足假设（2.6）和（2.7），并假设W是HJB方程（2.14）的粘度解。此外，letD={（t，x，y，i）∈ [0，T]×R×R+×M，Φ（T，x，y，i）<W（T，x，y，i）}。集合D称为连续区域。然后，1。适用于所有u∈ U（s，x，y，i）和停止时间τ∈ s、 Twe haveW（s、x、y、i）≥ J（s，x，y，i；u，τ）。（3.29）2。如果存在容许控制u*（·）∈ U（s，x，y，i）和路径（x*（·），Y*（·））使得（p（t），q（t），ρ（t），M（t））∈\'P1,2,1+（W（t，X*（t） ，Y*（t） ，α（t））∪\'P1,2,1-（W（t，X*（t） ，Y*（t） ，i），a.e.t∈[s，T]和（T，X*（t） ，Y*（t） ，i）∈ 杜邦*（t）∈ 参数最大值p（t）+σ（t，X*（t） ，u，i）M（t）+u（t，X*（t） ，u，i）q（t）（3.30）-uρ（t）+ZRW（t，X*（t） +γ（t，X*（t） ，u，i，z），Y*（t） ，α（t））-W（t，X*（t） ，Y*（t） ，i）- 1{z{1}（z）p（t）·γ（t，X*（t） ，u，i，z）ν（dz）+QW（t，X*（t） ，Y*（t） ，·）（i）+L（t，X*（t） ，Y*（t） ，u（t），i）,对于a.e.t∈ 【s，T】然后u*是最优控制且τD=inf{t>0，（t，X*（t） ，Y*（t） ，α（t））6∈ D} 是最佳停车时间。在证明这个定理之前，我们陈述了以下引理，它的证明可以在Fleming和Soner（2006）中找到。引理3.5。设f（·，·，·，i）∈ C（[0，T]×R×R+）对于每个i∈ M、 P1,2,1，+（W（s，x，y，i）（分别为P1,2,1，-（W（s，x，y，i））由(φ（s，x，y）sφ（s，x，y）十、φ（s，x，y）Yφ（s，x，y）x） 其中φ∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+）和f- φ在（s，x，y）处有一个全局最大值（分别为最小值）。证据首先，（3.29）源自HJB方程（2.14）的唯一性。让u*成为可接受的控制u*（·）∈ U（s，x，y，i）和（x*（·），Y*（·））是（2.3）的溶液，使得（t，X*（t） ，Y*（t） ，α（t））∈D和（p（t），q（t），ρ（t），M（t））∈\'P1,2，+（W（t，X*（t） ，Y*（t） ，α（t）），对于几乎每个t∈ [s，T]。

我们知道存在一系列光滑函数φn∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+），例如W- φnhas为（s，X）处的全局最小值*（s） ，Y*（s） （p（t），q（t），ρ（t），M（t））=limn→∞(φn（t，X*（t） ，Y*（t） （）sφn（t，X*（t） ，Y*（t） （）十、φn（t，X*（t） ，Y*（t） （）Yφn（t，X*（t） ，Y*（t） （）x） 。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设对于每个nW（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s））- φn（s，X*（s） ，Y*（s） ））=0，并定义函数^1nas后接Дn（s，x，y，i）=φn（s，x，y），如果i=α（s），W（s，x，y，i），如果i 6=α（s）。因此，对于t∈ 我们有（T，X*（t） ，Y*（t） ，α（t））- ^1n（t，X*（t） ，Y*（t） ），α（t））（3.31）≥ W（s，X）*（s） ，Y*（s） ，α（s））- φn（s，X*（s） ，Y*（s） ））=0。它来自（3.31）thatQИn（t，X*（t） ，Y*（t） ，·）（α（s））=Xβ6=α（s）qα（s）β（νn（t，X*（t） ，Y*（t） ，β）- ^1n（t，X*（t） ，Y*（t） ，α（s）≥Xβ6=α（s）qα（s）β（W（t，X*（t） ，Y*（t） ，β）- W（t，X*（t） ，Y*（t） ，α（s））=QW（t，X*（t） ，Y*（t） ，·）（α（s））（3.32）此外，很明显Φ（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD））=W（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD）），从而使用我们得到的Dynkin公式-r（τD-s） νn（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD））- ^1n（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s））]=EZτDse-r（ξ-s）Aα（s），u*（ξ） （φn）（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ）+QДn（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，·）（α（s））-rИn（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，α（s））dξ。所以利用W（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s））=Дn（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s））和我们得到的不等式（3.31），（3.32）（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s））=EZτDse-r（ξ-s）- Aα（s），u*（ξ） （φn）（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） （）- Q（u*)νn（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，·）（α（s））+rДn（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，α（s））dξ+E[E-r（τD-t） νn（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD））]≤ EZτDse-r（ξ-s）- Aα（s），u（φn）（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） （）- QW（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，·）（α（s））+rW（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，α（s））dξ+E[E-r（τD-s） Φ（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD））]。

（3.33）将极限值取为我们最后得到的不等式w（s，X）中的n等于单位*（s） ，Y*（s） ，α（s））≤ EZτDse-r（ξ-s）-p（ξ）+σ（ξ，X*（ξ） ，u*（ξ） ，α（ξ））M（ξ）+u（ξ，X*（t） ，u*（ξ） ，α（s））q（ξ）- U*（ξ） ρ（ξ）+ZRW（ξ，X*（ξ） +γ（ξ，X*（ξ） ，u*（ξ） ，α（s），z），Y*（ξ） ，α（s））- W（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，α（s））-1{z{1}（z）p（ξ）·γ（ξ，X*（ξ） ，u*（ξ） ，α（s），z）ν（dz）+L（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，u（ξ），α（s））+QW（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，·）（α（s））+rW（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，α（s））！dξ+E[E-r（τD-s） Φ（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD））.考虑到（3.30），我们得到W（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s））≤ EZτDse-r（ξ-s） L（ξ，X*（ξ） ，Y*（ξ） ，u*（ξ） ，α（s））dξ+e-r（τD-s） Φ（τD，X*（τD），Y*（τD），α（τD））= J（s，X*（s） ，Y*（s） ，α（s）；U*, τD）。因此u*是最优控制，τDis是最优停止时间。证据到此为止。tu4数值近似在本节中，我们构造了一个显式有限差分格式，并证明它收敛于方程（2.14）的唯一粘度解。让k，h，l∈ （0，1）是分别相对于s、x和y的步长，我们考虑以下有限差分运算符s十、XX和yde定义人sV（s，x，y，i）=V（s+k，x，y，i）- V（s，x，y，i）k，xV（s，x，y，i）=V（s，x+h，y，i）- V（s，x，y，i）hyV（s，x，y，i）=V（s，x，y+l，i）- V（s，x，y，i）l，xxV（s，x，y，i）=V（s，x+h，y，i）+V（s，x- h、 y，i）- 2V（s，x，y，i）h。请注意，对于每个u∈ U，马尔可夫过程（X（t），Y（t），α（t）的生成器Lude（2.10）可以写成如下luf（s，X，Y，i）=Df（s，X，Y，i；U）+If（s，X，Y，i；U）+Qf（s，X，Y，·）（i），其中Df是微分部分，If是积分部分。如果使用Simpsonquardure，我们将进行近似计算。实际上我们有f（s，x，y，i）=ZRf（s，x+γ（s，x，u，i，z），y，i）- f（s，x，y，i）- 1{| z{1}（z）f（s，x，y，i）x·γ（s，x，u，i，z）ν（dz）。使用（2.2），我们知道Γ=ZRν（dz）<∞.

因此，发电机的组成部分可以简化如下：；Iuf（s，x，y，i）=ZRf（s，x+γ（s，x，u，i，z），y，i）ν（dz）-f（s，x，y，i）xZ公司-1γ（s，x，u，i，z）ν（dz）- f（s，x，y，i）Γ。Letξ∈ （0，1）辛普森求积的步长，积分部分的相应近似isIuξf（s，x，y，i）=NξXj=0cjf（s，x+γ（s，x，u，i，zj），y，i）-f（s，x，y，i）xMξXj=0djγ（s，x，u，i，zj）- f（s，x，y，i）Γ，其中（cj）0≤J≤Nξ和（dj）0≤J≤Mξ是辛普森平方分布系数的对应序列。实际上limNξ→∞NξXj=0cj=Γ和limMξ→∞MξXj=0dj=Z-1ν（dz）。方程（2.14）的相应离散版本由v（s，x，y，i）=max给出RsV（s、x、y、i）+supu∈Uσ（s，x，U，i）xxV（s，x，y，i）（4.1）+u（s，x，u，i）xV（s，x，y，i）+IuξV（s，x，y，i）+QV（s，x，y，·）（i）！-UyV（s，x，y，i）, Φ（s，x，y，i）#。首先，我们证明了研究域[0，T]×D的有界子集上离散化方程的解的存在性，其中D：=R×R+×M。考虑到我们可以合理地假设商品价格以及矿产剩余储量的大小都不能超过某个阈值。我们可以在域D的截断子集DK上研究这个离散化问题，这样DK：={（x，y，i）∈ D、 x个≤ K、 y型≤ K} 。引理4.1。存在一个唯一的有界函数Vl，h，kde，定义在[0，T]×dk上，该函数用终端条件Vl，h，k（T，x，y，i）=Φ（T，x，y，i）求解方程（4.1），每个ξ>0足够小。证据

我们定义了[0，T]×DKas上有界函数上的算子FξfollowsFξ（V）（s，x，y，i；h，k，l）=maxrkV（s+k，x，y，i）+supu∈Ua（s，x，i；u）V（s，x+h，y，i）+b（s，x，i；u）V（s，x- h、 y，i）- c（s，x，y，i；u）V（s，x，y，i）-urlV（s，x，y+l，i）+NξXj=0cjrV（s，x+γ（s，x，u，i，zj），y，i）+Xj6=iqijrV（s，x，y，j）-V（s，x+h，y，i）PMξj=0djγ（s，x，u，i，zj）rh！，Φ（s、x、y、i）, （4.2）如果（s、x、y、i）∈ [0，T）×DK，Fξ（V）（T，x，y，i；h，k，l）=Φ（T，x，y，i）。其中，系数a（s，x，i；u）、b（s，x，i；u）和c（s，x，y，i；u）定义如下c（s，x，y，i；u）=rk+σ（s，x，u，i）rh+u（s，x，u，i）rh-PMξj=0djγ（s，x，u，i，zj）rh-url+Γr+Xj6=iqijr，a（s，x，i；u）=σ（s，x，u，i）2rh+u（s，x，u，i）rh，b（s，x，i；u）=σ（s，x，u，i）2rh。请注意，方程式（4.1）等效于V（s，x，y，i）=Fξ（V）（s，x，y，i；h，k，l），它足以表明操作员Fξ有一个固定点。利用上确界的差小于差的上确界这一事实，如果我们有两个有界函数V，W在[0，T]×DK上，则| Fξ（V）（s，x，y，i；h，k，l）- Fξ（W）（s，x，y，i；h，k，l）|≤supu公司∈Ua（s，x，i；u）+b（s，x，i；u）- c（s，x，y，i；u）+rk+NξXj=0cjr+Xj6=iqijr-url地址-PMξj=0djγ（s，x，u，i，zj）rhsup[0，T]×DT | V- W|≤NξXj=0cjr-Γrsup[0，T]×DT | V- W |。因此，对于ξ∈ （0，1）足够小，以便NξXj=0cjr-Γr< 1，映射Fξ是[0，T]×DK上有界函数空间上的一个压缩，利用Banach不动点定理，我们总结了引理的证明。图雷马克4.2。1.