体制转换中的最优资源提取

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英文标题：
《Optimal Resource Extraction in Regime Switching L\\\'evy Markets》
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作者：
Moustapha Pemy
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper studies the problem of optimally extracting nonrenewable natural resource in light of various financial and economic restrictions and constraints. Taking into account the fact that the market values of the main natural resources i.e. oil, natural gas, copper,...,etc, fluctuate randomly following global and seasonal macroeconomic parameters, these values are modeled using Markov switching L\\\'evy processes. We formulate this problem as finite-time horizon combined optimal stopping and optimal control problem. We prove that the value function is the unique viscosity solution of the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Moreover, we prove the convergence of a finite difference approximation of the value function. Numerical examples are presented to illustrate these results.
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中文摘要：
本文研究了在各种金融和经济限制和约束条件下，不可再生自然资源的最优开采问题。考虑到石油、天然气、铜等主要自然资源的市场价值，。。。，etc随全球和季节性宏观经济参数随机波动，这些值使用马尔可夫切换列维过程建模。我们将该问题描述为有限时间范围内的最优停止和最优控制问题。证明了该值函数是相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。此外，我们还证明了值函数的有限差分逼近的收敛性。数值算例说明了这些结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Resource_Extraction_in_Regime_Switching_Lévy_Markets.pdf (323.79 KB)

2022-5-25 09:13:26 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Restrictions mathematica Convergence

体制转换中的最优资源提取*本文研究了不可再生自然资源的最优开采问题。考虑到石油、天然气、铜等主要自然资源的市场价值，。。。，等，根据全球和季节性宏观经济参数随机计算，这些值是使用马尔可夫切换L'evy过程建模的。我们将该问题描述为一个有限时间范围内的最优停止和最优控制问题。我们将该问题的值函数刻画为相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。此外，我们提出了值函数的有限差分近似，并证明了其收敛性。这使我们能够得出最佳的提取和停止策略。给出了一个数值例子来说明这些结果。关键词：L'evy过程，变分不等式，最优控制，粘性解。1引言自三十年代初以来，不可再生自然资源的最佳开采一直受到文献界的极大关注。霍特林（1931）对这一问题做出了第一个重大贡献，他提出了一个开采模型，其中商品价格是确定的，并且能够得出非最优的开采政策。许多经济学家通过考虑战略商品供需的不确定性，扩展了霍特林模型。在许多其他研究中，可以引用Hanson（1980）、Solow和Wan（1976）、Pindyck（1978）和（1980）、Sweeney（1977）、Lin和Wagner（2007）对基本霍特林模型的各种扩展。不言而喻，石油、天然气、铜和黄金等大宗商品的价格具有很大的不确定性，并且随着各种宏观经济和全球地缘政治力量的变化而变化。

因此，在解决最优提取问题时，必须考虑商品价值的随机动态，以保持程序中获得的结果的有效性。在本文中，我们使用制度转换过程来模拟自然资源的价格。这些过程将帮助我们捕捉石油和天然气等自然资源市场价格经常出现的季节性和峰值。此外，鉴于绝大多数采矿租约的期限有限，并且在给定租约结束之前，开采成本和商品价值的变化可能会迫使采矿公司停止开采。因此，我们将此最优提取问题视为最优控制和最优停止问题的组合。在有限时间和有限时间范围内的最优停车和控制问题在文献中产生了很大的兴趣，在科学、工程和金融的许多领域都开发了各种应用。为了解决这些问题，已经使用了各种各样的技术。马尔可夫过程最优停止的早期处理可以追溯到*马里兰州托森市托森大学数学系，邮编：21252-0001，mpemy@towson.eduback至Dynkin（1963）、Snell（1952）和McKean（1960）。自80年代初以来，Crandall和Lions（1992）提出的粘性解方法已被广泛用于解决最优控制和最优停止问题。许多作者使用粘度解决方案机制来解决It^o扩散的最佳停止和/或控制问题，可以参考Soner（1986）、Oksendal和Reikvam（2004）、Pemy（2005）、（2011）和（2014）等。

有关粘性溶液理论和应用的更多信息，请参阅Crandall、Ishii和Lions（1992）、Fleming和Soner（2006）、Yong和Zhou（1999）。众所周知，由于生产国的政治不稳定和全球能源需求不断增长，能源商品等自然资源的价格通常会出现各种峰值和冲击。我们使用L'evy过程和隐马尔可夫链来捕获商品价格的跳跃和季节性。文献中也广泛研究了L'evy过程和跳跃扩散。许多作者对这些过程的最优控制和最优停止进行了研究，可以参考Oksendal和Sulem（2004）、Hanson（1980）、Pham（1998）和Pemy（2014）。粗略地说，状态切换L'evy过程由L'evy过程组成，L'evy过程具有额外的随机性源，即连续时间内的隐马尔可夫过程（α（t））或离散时间内的隐马尔可夫过程（αn）。过程（α（t））是有限状态马尔可夫链，它捕获了列维过程状态的不同变化。自Hamilton（1989）intime级数分析引入Regimeswitching模型以来，该模型已在许多领域得到广泛应用。许多作者使用隐马尔可夫链研究了涉及状态切换的系统的控制，其中包括Zhang和Yin（1998），（2005），Pemy和Zhang（2006）等。在本文中，我们将寻找提取自然资源的最优策略的问题视为有限时间范围内马尔可夫切换L'evy过程的组合最优控制和停止。本文的主要贡献有两个方面，首先，我们证明了值函数是相关Hamilton-Jacobi-Bellman方程的唯一粘性解。

然后，我们建立了一个有限差分近似模式，并证明其收敛于HJB方程的唯一粘性解。这使我们能够导出最佳提取策略和停止策略。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将阐述正在考虑的问题。在第3节中，我们得到了值函数的连续性，并证明了它是HJB方程的唯一粘性解，此外，我们还导出了最优提取策略和停止策略。在第四节中，我们构造了一个有限差分近似格式，并证明了其收敛于值函数。最后，在第5节中，我们给出了一个数值例子。2问题公式考虑拥有到期0<T<∞. 设m为整数m≥ 2和α（t）∈ M={1，2，…，M}是一个马尔可夫链，其生成器Q=（qij）M，M，即qij≥ 0表示i 6=j，∑mj=1qij=0表示i∈ M、 事实上，马尔可夫链（α（t））twill捕捉了商品市场的各种状态。设（ηt）t为L'evy过程，N为（ηt）t的泊松随机测度，对于任何Borel setB R、 N（t，B）=X0<s≤tB（ηs- ηs-). N的微分形式用N（dt，dz）表示。设ν是（ηt）t的任何度量，对于任何Borel集B，我们有ν（B）=E[N（1，B）] R、 我们将微分形式N（dt，dz）定义如下，\'N（dt，dz）=N（dt，dz）- ν（dz）dt if | z |<1N（dt，dz）if | z |≥ 1、根据L’evy Khintchine公式，我们得到ZRmin（| z |，1）ν（dz）<∞. （2.1）我们假设L’evy测度ν具有有限的强度，Γ=ZRν（dz）<∞. （2.2）换言之，在合同期限内，商品价格跳跃和飙升的总和。设X（t）表示时间t时一单位自然资源的价格，Y（t）表示时间t时剩余资源的大小。

我们假设我们的提取活动可以通过取区间U=[0，K]中的值的processu（t）来建模，U实际上是所讨论资源的提取率。过程X（t）和Y（t）满足以下随机微分方程。dX（t）=u（t，X（t），u（t），α（t））dt+σ（t，X（t），u（t），α（t））dW（t）+ZRγ（t，X（t），u（t），α（t），z）(R)N（dt，dz）,dY（t）=-u（t）dt，X（s）=X，Y（s）=Y≥ 0，s≤ T≤ T、 （2.3）其中x和y为初始值，T为有限时间。W（t）是R上的标准维纳过程，假设（W（t））t，（ηt）tand（α（t））tar定义在概率空间上(Ohm, F、 P），并且是独立的。在该模型中，过程u（t）被称为控制过程。备注2.1。我们的商品定价模型（2.3）包含了广泛的可能性。下面是我们一般模型的一些特殊情况。如果矿山规模不足以影响商品价格，则参数u、σ和γ将不取决于矿业公司的开采活动。在这种情况下，一个典型的例子是商品价格的指数L'evy模型dx（t）=X（t）u（α（t））dt+σ（α（t））dW（t）+γ（α（t））ZRz？N（dt，dz）. （2.4）该模型适用于大多数采矿问题以及衍生品定价问题。2、如果矿山规模足够大，或者矿山所在国是相关商品的主要生产国之一，如沙特阿拉伯是石油生产国，则该国的开采政策将对该商品的世界价格产生决定性影响。在这种情况下，我们可以假设价格过程的漂移将取决于提取率。然而，可以预见，即使扩散系数和跳跃系数也会受到萃取率的影响。

在这种情况下，典型的定价模型的形式为dx（t）=X（t）（u（α（t））- λu（t））dt+σ（α（t））dW（t）+γ（α（t））ZRz'N（dt，dz）, （2.5）式中λ∈ （0，1）捕获提取活动的相对影响。总之，我们将以（2.3）中所述的更广义的形式研究这个有趣的问题。函数u：[0，T]×R×[0，K]×M→ R、 σ：[0，T]×R×[0，K]×M→ R和γ：[0，T]×R×[0，K]×M×R→ R满足以下性质：oLipschitz连续性：存在一个常数C>0，使得|u（t，x，v，i）- u（t，y，v，i）|+|σ（t，x，v，i）- σ（t，y，v，i）|+Z | Z |<1 |γ（t，x，v，i，Z）-γ（t，y，v，i，z）|ν（dz）<C | x- y |，对于所有t，x，y，v.（2.6）o生长条件：存在常数C>0，使得|u（t，x，v，i）|+|σ（t，x，v，i）|+Z |<1 |γ（t，x，v，i，Z）|ν（dz）<C（1+| x |），（2.7）对于所有t，x，y，y，v。假设（2.6）和（2.7）保证对于[s，t]上的任何勒贝格可测控制u（·），方程（2.3）有唯一的解。更多信息，请参阅Oksendal和Sulem（2004）。对于每个初始数据（s，x，y，i），我们用U（s，x，y，i）表示可容许控制的集合，它是{Ft}t的所有控制su（·）的集合≥0-其中Ft=σ{α（ξ），W（ξ）；ξ≤ t} 使方程（2.3）具有初始数据X（s）=X，Y（s）=Y，α（s）=i的解。设∧s，t表示Ft停止时间τ的集合，使s≤ τ≤ 几乎可以肯定。如果贴现因子r>0，我们将收益函数定义为以下j（s，x，y，i；u，τ）=EZτse-r（t-s） L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+E-r（τ-s） Φ（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））X（s）=X，Y（s）=Y，α（s）=i. （2.8）对于每个i∈ M、 函数L（t，x，y，u，i）和Φ（t，x，y，i）对于它们的参数st和u是连续的，对于参数x和y是Lipschitz连续的。为了简单起见，我们将使用Uto表示u（s，x，y，i），类似地，我们将使用∧表示∧s，t。

我们的目标是找到控制u*∈U（s，x，y，i）和停止时间τ*∈ ∧s，Tsuch thatV（s，x，y，i）=supu∈U、 τ∈∧J（s，x，i；u，τ）=J（s，x，y，i；u*, τ*). （2.9）函数V（s，x，y，i）称为组合最优停车和控制问题的值函数。过程（X（t），Y（t），α（t））是一个马尔可夫过程，其生成器Lw定义如下（Lwf）（s，X，Y，k）=f（s、x、y、k）s+σ（s，x，w，k）f（s、x、y、k）x+u（s、x、w、k）f（s、x、y、k）x+ZRf（s，x+γ（s，x，w，k，z），y，k）-f（s、x、y、k）- 1{| z{1}（z）f（s、x、y、k）x·γ（s、x、w、k、z）ν（dz）-Wf（s、x、y、k）所有s的y+Qf（s，x，y，·）（k），（2.10）∈ [0，T]，x∈ R、 y型∈ R+，w∈ 英国∈ M、 f（·，·，k）∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+），Qf（s，x，y，·）（i）=Xj6=iqij（f（s，x，y，j）- f（s，x，y，i）），（2.11）马尔可夫链αt的生成器。为了简化符号，我们将运算符G定义为以下G（s，x，y，i，V（·），Vs（·），Vx（·），Vy（·），Vxx（·））（2.12）=rV（s，x，y，i）- supu公司∈UV（s、x、y、i）s+σ（s，x，u，i）V（s、x、y、i）x+u（s、x、u、i）V（s、x、y、i）x+ZRV（s，x+γ（s，x，u，i，z），y，i）-V（s、x、y、i）- 1{| z{1}（z）V（s、x、y、i）x·γ（s，x，u，i，z）ν（dz）-UV（s、x、y、i）y+QV（s，x，y，·）（i）+L（s，x，y，u，i）！，系统的哈密顿量由h（s，x，y，i，V（·）、Vs（·）、Vx（·）、Vy（·）、Vxx（·））（2.13）=min“G（s，x，y，i，V（·）、Vs（·）、Vx（·）、Vy（·））、V（s，x，y，i）- Φ（s，x，y，i）#。众所周知，值函数V（s，x，y，i）必须形式上满足以下HJB方程H（s，x，y，i，V（s，x，y，i），Vs（s，x，y，i），Vx（s，x，y，i），Vy（s，x，y，i），Vxx（s，x，y，i））=0，对于（s，x，y，i）∈ [0，T）×R×R+×M，V（T，x，y，α（T））=Φ（T，x，y，α（T））。（2.14）方程（2.14）是一个完全非线性的积分微分方程组，我们可能没有光滑解。

因此，我们将为该系统寻找一种较弱的解决方案，即Crandall和Lions（1983）提出的粘度解决方案。让我们首先回顾一下粘度溶液的定义。定义2.2。设f:[0，T]×R×R+×M→ R使得f（T，x，y，α（T））=Φ（T，x，y，α（T））和foreachι∈ M、 f（·，·，·，·，ι）∈ C（[0，T]×R×R+）。1。f是系统（2.14）的粘度亚分辨率，如果对于每个ι∈ M、 H类s、 x，y，ι，f（s，x，y，ι），φ（s，x，y）sφ（s，x，y）十、φ（s，x，y）Yφ（s，x，y）十、≤ 0（2.15）φ（s，x，y）∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+），使得f（s，x，y，ι）- φ（s，x，y）具有局部最大值（s，x，y）=（s，x，y）。f是系统（2.14）的粘度上解，如果对于每个i∈ M、 H类s、 x，y，ι，f（s，x，y，ι），ψ（s，x，y）sψ（s，x，y）十、ψ（s，x，y）Yψ（s，x，y）十、≥ 0（2.16）每当ψ（s，x，y）∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+），使得f（s，x，y，ι）- ψ（s，x，y）具有局部极小值（s，x，y）=（s，x，y）。如果f同时是（2.14）的粘度下解和上解，则f是（2.14）的粘度解。3值函数的表征在本节中，我们研究了值函数的连续性，并证明它是HJB方程（2.14）的唯一粘度解。我们首先显示连续性属性。引理3.1。对于每个i∈ M、 值函数V（s，x，y，i）在（s，x，y）中是连续的。此外，它具有大气线性增长率，即存在一个常数C，使得| V（s，x，y，i）|≤ C（1+| x |+| y |）。值函数关于参数s、x和y的连续性自然来自It^o-L'evy等距、Lipschitz连续性假设（2.6）和Gronwall不等式的应用。证据让我∈ M、 我们将首先证明x中的连续性。设（s，x，y，i）和（s，x，y，i）是两个初始数据，我们有两个解（x，y）和（x，y），其中x（s）=x，x（s）=x，y=y。

在不丧失一般性的情况下，我们将U≡ U（s、x、y、i）∩ U（s、x、y、i）。我们将使用符号Es，x，x，y，i[·]来表示E[·| x（s）=x，x（s）=x，y（s）=y，α（s）=i]。很明显，U是非空的，因此对于任何控制U∈ U和t∈ [s，T]，我们有x（T）- X（t）=X- x+Zts[u（t，x（ξ），u（ξ），α（ξ））- u（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ））]dξ+Zts[σ（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ））- σ（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ））]dW（ξ）+ZtsZR[γ（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ），z）- γ（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ），z）]N（dξ，dz）。（3.1）使用It^o-L'evy等距图和Lipschitz连续性假设（2.6），我们有，x，x，y，i（x（t）- X（t））≤ C | x- x |+CZtsEs，x，x，y，i（x（ξ）- X（ξ））dξ+CZtsEs，X，X，y，i（X（ξ）- X（ξ））dξ+CZtsZ | z |<1Es，X，X，y，i |γ（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ），z）-γ（t，X（ξ），u（ξ），α（ξ），z）|ν（dz）dξ≤ C | x- x |+最大（C，C）ZtsEs，x，x，y，i（x（ξ）- X（ξ））dξ+CZtsEs，X，X，y，i（X（ξ）- X（ξ））dξ。（3.2）设C=max（C，C，C，C），（3.2）为x，x，y，i（x（t）- X（t））≤ C | x- x |+CZtsEs，x，x，y，i（x（ξ）- X（ξ））dξ。（3.3）应用Gronwall不等式，我们有，x，x，y，i | x（t）- X（t）|≤ C | x- x等。这意味着，从Cauchy-Schwartz不等式来看，这意味着，x，x，y，i | x（t）- X（t）|≤ C | x- x等。（3.4）利用这个不等式以及L和Φ关于参数x的Lipschitz连续性，我们得到了V（s，x，y，i）- V（s、x、y、i）≤ supu公司∈U、 τ∈∧Es，x，x，y，iZτsL（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））- L（t，X（t），Y（t），u（t），α（t））dt+|Φ（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））- Φ（τ，X（τ），Y（τ），α（τ））|≤ K supτ∈∧Es，x，x，y，iZτs | X（t）- X（t）| dt+| X（τ）- X（τ）|对于某些K>0≤ KC | x- x |对于某些常数K>0，C>0。（3.5）不等式（3.5）暗示了V（s，x，y，i）相对于x的（一致）连续性。接下来，我们展示了V（s，x，y，i）相对于y的连续性。设（s，x，y，i）和（s，x，y，i）是两个初始数据，使得我们有两个解（x，y）和（x，y），其中y（s）=y，y（s）=yand x=x。