体制转换中的最优资源提取

定义→ （0，1）×[0，T]×R×R+×M×R×B（[0，T]×R×R+×M），如下所示；S（ξ，h，k，l，S，x，y，i，w，w）=w- 最大值rkW（s+k，x，y，i）+supu∈Ua（s，x，i；u）W（s，x+h，y，i）+b（s，x，i；u）W（s，x- h、 y，i）- c（s，x，y，i；u）w-urlW（s，x，y+l，i）+NξXj=0cjrW（s，x+γ（s，x，u，i，zj），y，i）+Xj6=iqijrW（s，x，y，j）-W（s，x+h，y，i）PMξj=0djγ（s，x，u，i，zj）rh！，Φ（s、x、y、i）. （4.3）显然，Vh，k，l解方程S（ξ，h，k，l，S，x，y，i，Vh，k，l（S，x，y，i），Vh，k，l）=0。很明显，对于足够小的h，系数a（s，x，i；u）>0，b（s，x，i；u）>0，因此，对于参数W，方案s是单调的，即对于所有ξ，h，k，l∈ （0，1），s∈ [0，T]，x∈ R、 y型∈ R+，i∈M和W，W∈ B（[0，T]×R×R+×M），我们有（ξ，h，k，l，s，x，y，i，w，w）≤ S（ξ，h，k，l，S，x，y，i，w，w）每当w≤ W、 （4.4）2。引理4.1意味着我们的有限差分格式是稳定的，因为该格式的解是有界的，与步长h、k、l无关∈ （0，1）。此外，显而易见的是，该方案是一致的。我们有以下收敛定理。定理4.3。对于足够小的每一ξ>0，让Vh，k，lbe为在Emma 4.1中获得的离散格式的解。然后作为ξ↓ 0和（h、k、l）→ ∞ 序列Vh，k，l在[0，T]×dt上局部均匀地收敛到（2.14）的唯一粘度溶液V。证明文件*（s，x，y，i）=lim supθ→s、 η→x、 ζ→y、 k级↓0，小时↓0，l↓0Vk、h、l（θ、η、ζ、i）和v*（s，x，y，i）=lim infθ→s、 η→x、 ζ→y、 k级↓0，小时↓0，l↓0Vk，h，l（θ，η，ζ，i）。（4.5）我方声明V*和V*分别是（2.14）的子解和上解。为了证明这一说法，我们只考虑V*. V的论点*是相似的。

为每个人∈ M、 我们想展示（s、x、y、i、V*（s，x，y，i），DsΦ（s，x，y），DxΦ（s，x，y），DyΦ（s，x，y），DxxΦ（s，x，y））≤ 0，对于任何测试功能Φ∈ C1,2,1（[0，T]×R×R+）使得（s，x，y，i）是v的严格局部最大值*（s、x、y、i）- Φ（s，x，y）。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设V*（s，x，y，i）=Φ（s，x，y），由于我们方案的稳定性，我们也可以假设Φ≥ 球外的supk，h，lkVk，h，lk（（s，x，y），r），其中r>0表示V*（s、x、y、i）- Φ（s、x、y）≤ 0=V*（s、x、y、i）- B（（s，x，y），r）中的Φ（s，x，y）。这意味着存在序列kn>0，hn>0，ln>0和（θn，ηn，ζn）∈ [0，T]×R×R+例如n→ ∞ 我们已经知道了→ 0，hn→ 0，ln→ 0，θ→ s、 ηn→ x、 ζn→ y、 Vkn，hn，ln（θn，ηn，ζn，i）→ 五、*（s，x，y，i）和（θn，ηn，ζn）是Vkn，hn，ln的全局最大值- Φ。标志n=Vkn，hn，ln（θn，ηn，ζn，i）- Φ（θn，ηn，ζn）。明显地N→ 0和VkN、hn、ln（s、x、y、i）≤ Φ（s，x，y）+对于所有（s、x、y）∈ [0，T]×R×R+。（4.6）我们知道，对于所有ξ∈ （0，1），S（ξ，kn，hn，ln，θn，ηn，ζn，i，Vkn，hn，ln（θn，ηn，ζn，i），Vkn，hn，ln）=0。S和（4.6）的单调性意味着S（ξ，kn，hn，ln，θn，ηn，ζn，i，Φ（θn，ηn，ζn）+n、 Φ+n）≤ S（ξ，kn，hn，ln，θn，ηn，ζn，i，Vkn，hn，ln（θn，ηn，ζn，i），Vkn，hn，ln）=0。（4.7）因此，limξ↓0limn→∞S（ξ，kn，hn，ln，θn，ηn，ζn，i，Φ（θn，ηn，ζn）+n、 Φ+n）≤ 0，soH（s，x，y，i，V*（s，x，y，i），DsΦ（s，x，y），DxΦ（s，x，y），DyΦ（s，x，y），DxxΦ（s，x，y））≤ 这证明了V*是一个粘性亚解，同样，我们可以证明*是粘度上解。因此，利用粘度解的唯一性，我们可以看到V=V*= 五、*. 因此，我们得出结论，序列（Vh，k，l）h，k，l根据需要局部均匀地收敛到V。

tu5数值示例在本例中，我们给出了一家采矿公司的最优开采和停止政策，该公司的开采合同期限为10年，油田的已知储量为Y（0）=100亿桶。我们假设石油市场有两个主要的走势：上升趋势和下降趋势。因此，马尔可夫链α具有两种状态M={1，2}，其中α（t）=1表示上升趋势，α（t）=2表示下降趋势，贴现率r=0.005，返回向量为u=（0.01，-0.01），波动率向量为σ=（0.3，0.2），强度向量为γ=（0.25，0.3），时间T=10（以年为单位），马尔科夫链的生成器为q=-0.003 0.0030.005-0.005.我们假设产出可能会影响石油的市场价格，因此我们的扩散漂移的形式为u（t，x，u，i）=x（(R)u（i）- λu）。油价动态如下dx（t）=X（t）（(R)u（α（t））- ρu（t））dt+σ（α（t））dWt+ZRγ（α（t）z'N（dt，dz）.参数λ∈ [0，1）将捕获石油生产对油价的相对影响，在本例中λ=0.001，矿山的运营成本为L（s，X（s），Y（s），u）=（X（s）- 25）* U- 5其中提取一桶的成本为25美元，终端成本Φ（s，X（s），Y（s））=（X（s）- 30）Y（s），这捕获了s时油田的市场价值。我们假设开采率u（·）∈ [0，10000]。注意，运行成本和终端成本是提取率的线性函数，因此使用定理3.4，通过观察（3.30）中给出的函数对u的导数的符号，可以在区间[0，5000]的端点处获得最佳提取策略。

最佳提取率为givenbyu*（s）=5000如果- ρxV（s、x、y、i）十、-V（s、x、y、i）y+（x- 25）>00如果- ρxV（s、x、y、i）十、-V（s、x、y、i）y+（x- 25）≤ 0.在图1和图2中，曲线上方的区域表示在满容量下提取的最佳时间*（s） =5000，曲线下方的区域表示最佳不提取时间，u*（s） =市场上涨和下跌时为0。图3和图4显示了市场上涨和下跌时的延续区域。曲线上方的区域表示定理3.4中定义的延续区域，其中最适合继续提取矿物，曲线下方的区域表示最好关闭油田的区域。0 5 10Y304050X s=00时的提取标准5 10Y304050X s=4.750时的提取标准5 10Y304050X s=7.250时的提取标准5 10Y304050X s=10时的提取标准图1：市场在s=0、4.75、7.25时上涨时的提取标准，10.0 5 10Y304050X s=00时的提取标准5 10Y304050X s=4.750时的提取标准5 10Y304050X s=7.250时的提取标准5 10Y304050X s=10时的提取标准图2：在s=0、4.75、7.25时市场下跌时的提取标准，10.0 5 10 T304050X y=00的自由边界5 10 T304050X y=40的自由边界5 10 T304050X y=70的自由边界5 10 T304050X y=10的自由边界图3：市场上涨时y=0、4、7、，10.0 5 10 T304050X y=00的自由边界5 10 T304050X y=40的自由边界5 10 T304050X y=70的自由边界5 10 T304050X y=10的自由边界图4：当市场下跌y=0、4、7、10时的自由边界。参考文献[1]G.Barles和P.E.Souganidis，《完全非线性二阶方程近似格式的收敛性，渐近性》。肛门。4，（1991），271-283。[2] G.Barles和C。

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