高阶导数的振动和自动微分

然而，共同计算的时间不同，自然双振子更快。我们将分析解与VAD得到的解进行比较，但现在对于每一组新的参数，我们重复使用相同的随机变量样本。在图6中，Gammas在X=120时进行比较；γ的真实值为Γ=0.007500 3。对于两个MZ值，还显示了与路径数相关的收敛。当最终时间步长的路径数增加时，该方法具有良好的精度和快速收敛性。       图6：。在左侧，当由VAD计算时，显示伽马与价格的关系；还显示分析精确伽马射线；两条曲线重叠。在右侧，显示了一个点X=120 i s处的收敛历史，与蒙特卡罗样本数MW有关。这是针对两个值MZ（最终时间步数）、MZ=1（低曲线）和MZ=2（上曲线）完成的。由εL=PPXi=1（(R)i）定义的εL表示的L误差- Γ）。（4.6）在图7中，我们比较了最终时间步长（即对偶变量）上有无方差减少的结果。将显示模拟路径数的收敛历史。结果表明，方差缩减在这种情况下是有效的。还显示了模拟路径数的标准误差。显然，需要减少方差。在没有减少方差技术的情况下，它需要大约十倍的模拟路径数才能获得相同的精度。Gamma是针对上述相同的一组参数计算的。在图8中，我们显示了用VAD计算的欧洲看涨期权的Vanna o。

此外，通过对最终时间步长进行more采样，可以加快模拟路径数的收敛速度。请注意，Vanna需要两倍的时间步长4。3.2。三阶导数。对于三阶导数，我们通过振子2.6的振子计算二阶导数，并通过AD（VVAD）进行微分。γ对Xis变化的敏感性五/十、 Vanna对利率变化的敏感性为五/十、σr、 欧洲调用的参数是相同的，但蒙特卡罗路径号是1000000，离散化的时间步长是50。结果显示在图9中。收敛速度慢；我们不能通过增加路径数来消除分析解和近似值之间的微小差异。4.3.3。斜坡函数和高阶导数。如第3.4节所述，可以处理函数的非差异性（x- K）+                  图7：。在左侧，当VAD在Z上使用和不使用方差缩减方法计算时，会显示Gamma与模拟路径数的关系，直线为X=120处的分析解；在右侧，这两种方法的标准误差表示有无方差减少的模拟路径数。                图8：。

在左侧，当VAD计算时，显示Vanna与价格；还显示analyticalexact Vanna；两条曲线重叠。在右侧，显示了一个点X=120处的收敛历史，与蒙特卡罗样本数MW有关。这适用于两个值MZ，MZ=1（下曲线）和MZ=2（上曲线）。    图9：。在左边五/VVAD计算时显示X对价格；还显示分析精确曲线；两条曲线实际上重叠。在右边，蒂瓦纳的利率变化也是如此(五/十、σr） 。在x=K时，使用分布理论，用二阶导数方程明确地编程斜坡函数，使其近似于K处的狄拉克函数。我们用Black-Scholes模型中的标准欧式看涨期权演示了该技术。我们计算了伽马和关于X的六阶导数。对于第一阶导数，参数a不起重要作用，但当我们评估更高的导数时，参数a的选择对良好近似的质量至关重要，需要更多的点才能用较小的a获得Dirac近似。目前，选择a是实验性的。对于标准欧洲看涨期权，我们采用了与之前ly相同的参数，但Gamma的到期日现在设定为T=5年，对于X的第六个衍生工具，T=0.2年。初始资产价格从1到200不等。

Monte C arlo参数还设置为100000条模拟路径和25个时间步。结果如图10所示。                 图10：。在左侧，当AD使用theramp函数（a=1）计算时，显示伽马与价格的关系；还显示分析精确伽马射线；两条曲线重叠。在右侧，当通过相同方法计算时，显示参数Xis的六阶导数；还将显示分析解决方案。我们使用局部参数a和a=5计算近似值。对于Gamma，曲线是重叠的，但对于参数X的六阶导数，我们不能再得到常数参数a。当我们选择局部自适应参数a时，曲线实际上是重叠的。4.4。篮子。基本期权是一种多维衍生证券，其效力取决于若干风险资产的加权和的价值。如前所述，XT由（2.3）给出。但现在（Wt）t∈[0，T]是一个d维相关布朗运动，E[dWitdWjt]=ρi，jdt。为了简化表示，我们假设r和σ是实常数，而payo off由vt=e给出-rTE[（dXi=1ωiXiT- K） +]（4.7），其中（ωi）i=1，。。。，当Pdi=1ωi=1时，取正权重。在这里，我们选择比较三种不同的方法。参考值来自近似动量匹配动力学（Levy【30】和Brigo等人【4】），VAD和二阶微分（FD）。4.4.1。计算篮子期权Gamma的算法。我们利用了r和σa为re常数的事实。1、使用Euler格式的一个时间步长生成M个模拟路径。\'XiT±=XiToexp-dXj=1∑ij | T±dXj=1∑ij√T Zj公司, i=1。

，d，其中XTo=Xexp（rT），其中e Z表示N（0；Id）随机向量。2、对于每个模拟路径，C=∑∑T，计算机（可控震源） =uxiT√h（VT+- VT公司-)C-TZ+4h（VT+- 2VTo+VT-)∑十一：C-T（ZZT- Id）C-1（4.8），VT.=（ω·'XT。- K） +3。计算结果向量的平均值并对结果进行折扣。4、对前面的内容进行自动区分。4.4.2。数值试验。在此数值测试中，d=7，基础资产价格为：XT=（18 40、1160、3120、4330.71、9659.78、14843.24、10045.40）。（4.9）波动率向量为：σT=（0.146、0.1925、0.1712、0.1679、0.1688、0.2192、0.2068）。（4.10）相关矩阵为1.0 0.9477 0.8494 0.8548 0.8719 0.61 69 0.78860.9477 1.0.7558 0.7919 0.8209 0.6277 0.73540.8494 0.7558 1.0 0 0.9820 0.9505 0.6131 0.93030.8548 0.7919 0.9820 1.0 0.9378 0.6400 0 0.89020.8719 0.8209 0.9505 0.9378 1.0 6417 0.84240.6169 0.6277 0.6131 0.6400 0.6417 1.0 0.59270.7886 0.7354 0.9303 0.8902 0.8424 0.5927 1.0. （4.11）蒙特卡罗路径的数量从1到10不等，时间积分只有一个时间步。参考近似矩匹配计算的解计算误差。在图11和图12中，显示了由前4个和7个as集合组成的篮子的Gammaof计算的收敛图，与振动加AD（直接模式）的模拟路径数量以及应用于蛮力蒙特卡罗算法的有限差的收敛图。这些方法的收敛速度几乎相同（对于有限的差异有一个很小的优势）。表3显示了包含7项资产的篮子的结果，此外，表4显示了Vibrato plus AD（dire ct模式）的CPU时间；有限差异化方法的成本要高出三分之一。同样，该方法非常准确。  图11：。

d=4。    图12：。d=7。当d=4和7时，通过蒙特卡罗上的振动加自动微分和有限差分，以及与模拟路径数量相比，篮子期权伽马计算的收敛性。参数为T=0.1.5。Ame rican选项。回想一下，美式期权就像欧洲期权一样，可以在到期前的任何时候行使。美国选项的价值需要最佳的锻炼策略。设φ为payoff，则vt：=ess supτ∈TtE[e-r（τ-t） ν（Xτ）| Xt]（5.1），其中tts表示一组[t，t]值的s顶部时间（相对于过程（Xs）s的（增强）过滤∈[0，T]）。考虑时间步长为h的时间网格0<t<···<tn=t，即tk=kh。为了解决这个问题，我们首先假设期权只能在k时行使，k=0。。，N其值由递归定义(R)Vtn=e-rT^1（(R)XT）(R)Vtk=最大值0≤K≤N-1.E-rtkИ（(R)Xtk），E[(R)Vtk+1 | Xtk],（5.2）5.1。Longstaff-Schwartz算法。根据Longsta off等人【31】，让连续值Ctk=E【E】-rh'Vtk+1'Xtk]as X是一个马尔可夫过程。合同持有人仅在付款高于持续价值K时行使权利。连续值由一组有限的R实数基函数的线性组合来近似：CkRXi=1αk，iψk，i（(R)Xtk）。（5.3）通常，（αk，i）i=1，。。。，用最小二乘法计算的稀有值，minαEE【E】-右侧“Vtk+1”Xtk]-RXi=1αk，iψk，i（(R)Xtk）！. （5.4）这导致了克线性系统rxj=1αk，iGramψk，i（\'Xtk），ψk，j（\'Xtk）= E[E[E-rhVk+1 | Xtk]ψk，i（(R)Xtk）]，i=1，R、 （5.5）备注8。一旦知道最佳停车时间，就可以像欧洲合同一样，对θ（5.2）进行区分。

τ的依赖性*忽略θ；可以说，这种依赖性是二阶的，但这一点需要obe验证。因此，提出了以下算法。5.2。计算美式期权Gamma的算法。1、n个时间步长为sizeh=Tn.2的n个Euler格式的一般M个模拟路径。计算每个模拟路径的终值vt=（K-(R)XT）+（5.6）3。对于每个模拟路径，使用第（4.1）节中的（4.3）计算终端条件的伽马。4、从n开始迭代- 1到1和p在第k个时间步执行以下操作。（a） 求解Gra m线性系统（5.5）。（b） 计算每条路径的连续值。Ck+1（(R)Xtk）=RXi=1αk，iψi（(R)Xnk）。（5.7）（c）通过从时间步长k中微分振子公式来计算伽马- 1相对于XΓk=NNXi=1十、\'\'Ynk-1（1+rh）（~Vik+-维克-)ZikXσ√h（5.8）+Ynk-1σ√h（▄Vik+- 2▄Viko+▄Vik-)（齐克）- 1'Xσ√H. （5.9）（d）对于i=1，M（Vik=ΓVik，Γik=ΓikifΓVik≥ Ck+1（(R)Xn，ik），Vik=e-rhVik+1，Γik=e-rhΓik+1其他（5.10），Vk+1=（K-\'Xnk+1）+和（\'Xk±=\'Xk-1+右侧\'Xk-1±σ′Xk-1.√hZk'Xko='Xk-1+右侧\'Xk-（5.11）5。计算向量V和Γ的平均值。备注9。通过计算机程序的自动差异化实现的与Xis相关的差异化。5.2.1。数值试验。我们考虑以下值：σ=20%或σ=40%，x从36到44变化，T=1或T=2年，K=40，r=6%。MonteCarlo参数是：50000条模拟路径和时间网格的50个时间步。朗斯塔夫-沙尔兹算法的基础是（xn）n=0,1,2。我们将这些不等式与时间上用隐式Euler格式离散的Black-Scholes偏微分方程的解、空间上的有限元和半光滑牛顿方程的解进行了比较[1]。采用二阶有限差分近似法计算伽马。大量的网格点被用来制作ita参考解。

该方法的参数s为每年10000和50个时间步长。图13显示了Longsta ff Schwartz plus Vibrato plus AD在蒙特卡罗路径数量方面的收敛历史（还显示了Monte Car lo的有限差异）。在图13中，我们展示了美式看跌期权的Ga mma近似值与振动加自动微分和有限微分的模拟路径数量之间的收敛历史，适用于美式蒙特卡罗，直线是由PDE+半光滑牛顿计算的参考值。VAD的收敛速度快于二阶有限差（扰动参数取基础资产价格的1%）。表5显示了Longsta ff等人【31】的不同参数集的结果。当方差减少（？）时，该方法提供了良好的精度用于不同的参数，除非基础资产价格较低且波动性较小。就计算时间而言，该方法比应用于美国蒙特卡罗的有限差分法更快，后者要求对定价函数进行三次评估，而eas VAD相当于两次评估（直接模式）。    图13：。通过对Longsta ff-Schwartz算法和v ia有限差的振动加自动微分，与模拟路径的数量相比，美式期权的伽马收敛。参数为σ=40%，X=40.6。随机波动率模型的二阶导数。赫斯顿模型[23]描述了基础资产（Xt）的演变∈[0，T]具有随机波动率（Vt）T∈[0，T]：dXt=rXtdt+pVtXtdWt，dVt=κ（η- Vt）dt+ξpVtdWt，t∈ [0，T]；五、 X给定。

（6.1）这里ξ是波动率的波动率，η表示VT的长期平均值，κ表示平均反转速度。标准布朗过程∈[0，T]和（Wt）T∈[0，T]相关：E[dWtWt]=ρdt，ρ∈ (-1，1）。如果2κη>ξ，则可以显示每t的vt>0∈ [0，T]。我们考虑对欧洲标准电话的评估，其Payoff VT=E[（XT- K） +]。（6.2）6.1。在Heston模式l下计算二阶导数的算法。要通过振动法计算一阶导数的伽玛值，并对二阶导数进行自动微分，必须执行以下操作：1。基础资产价格（\'X，\'V）及其相切过程（\'Y，\'U）的一般模拟路径=（\'X，\'V）使用Euler格式，n个时间步长为h=Tn，\'Xnk+1=\'Xnk+rh\'Xnk+q\'Vnk\'Xnk√h▄Zk+1，▄Xn=X，▄Ynk+1=▄Ynk+rh▄Ynk+q▄Vnk▄Ynk√h？Zk+1，？Yn=1，？Vnk+1=？Vnk+κ（η-\'\'Vnk）h+ξq\'\'Vnk√h▄Zk+1，▄Vn=V（6.3），带~Z▄Z=1 0ρp1- ρZZ公司（6.4）式中（Zk，Zk）1≤K≤ndentes是N（0；I）-分布随机变量序列。2、对于每个模拟路径（a），计算Payoff VT=（(R)Xnn）- K） +。（6.5）（b）在到期时使用可控震源计算三角洲-1个时间步长和以下公式’n=(R)Ynn-1（1+右侧）（VT+- VT公司-)Zn？Xnn-1q？Vnn-1.√h（6.6）+Ynn-1q？Vnn-1.√h（VT+- 2VTo+VT-)锌- 1英寸Xnn-1q？Vnn-1.√h（6.7）带\'XT±=\'Xnn-1+右侧Xnn-1±q？Vnn-1英寸Xnn-1.√h▄Zn，'XTo='Xnn-1+右侧Xnn-1.（6.8）（c）在步骤（2b）上应用自动微分方法来计算伽马。3、计算结果的平均值并进行贴现。6.1.1。数值试验。我们采用了以下值：基础资产价格X∈ [60130]，罢工为K=90，无风险利率r=0.135%，自然度o为T=1。初始波动率为V=2.8 087%，波动率为ξ=1%，平均回复率为κ=2.931465，长期平均值为ν=0.101。

两个标准布朗运动之间的相关性为ρ=50%。蒙特卡罗路径的数量为500000 w，每个路径有100个时间步。结果如图14、15所示。在图14中，我们比较了通过振动加自动微分（直接模式）获得的结果，以及应用于标准蒙特卡罗模拟的二阶有限差分方法。在图15中，我们展示了欧盟的Vanna      图14：。在左侧，当由VAD计算时，显示伽马与价格的关系；还显示通过有限差近似的伽马射线；两条曲线重叠。在右侧，将显示一个点（X，V）=（85，2.8087）处的收敛历史与Monte Carlo样本数的关系。          图15：。在左侧，当VAD计算时，显示Vanna与价格；还显示了通过有限差分得到的近似Vanna；两条曲线重叠。在右侧，将显示一个点（X，V）=（85，2.8087）处的收敛历史与Monte Carlo样本数的关系。Heston模型中的ropean看涨期权，以及与模拟路径数量相关的c收敛性。至于伽马射线，该方法相当精确。为Vomma和Vanna的近似提供了良好的精度。Bothare在一个点（X，V）=（85，2.8087）处使用上述相同的参数集计算得出。