高阶导数的振动和自动微分

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英文标题：
《Vibrato and automatic differentiation for high order derivatives and
  sensitivities of financial options》
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作者：
Gilles Pag\\`es (UPMC), Olivier Pironneau (LJLL), Guillaume Sall (LJLL)
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper deals with the computation of second or higher order greeks of financial securities. It combines two methods, Vibrato and automatic differentiation and compares with other methods. We show that this combined technique is faster than standard finite difference, more stable than automatic differentiation of second order derivatives and more general than Malliavin Calculus. We present a generic framework to compute any greeks and present several applications on different types of financial contracts: European and American options, multidimensional Basket Call and stochastic volatility models such as Heston\'s model. We give also an algorithm to compute derivatives for the Longstaff-Schwartz Monte Carlo method for American options. We also extend automatic differentiation for second order derivatives of options with non-twice differentiable payoff. 1. Introduction. Due to BASEL III regulations, banks are requested to evaluate the sensitivities of their portfolios every day (risk assessment). Some of these portfolios are huge and sensitivities are time consuming to compute accurately. Faced with the problem of building a software for this task and distrusting automatic differentiation for non-differentiable functions, we turned to an idea developed by Mike Giles called Vibrato. Vibrato at core is a differentiation of a combination of likelihood ratio method and pathwise evaluation. In Giles [12], [13], it is shown that the computing time, stability and precision are enhanced compared with numerical differentiation of the full Monte Carlo path. In many cases, double sensitivities, i.e. second derivatives with respect to parameters, are needed (e.g. gamma hedging). Finite difference approximation of sensitivities is a very simple method but its precision is hard to control because it relies on the appropriate choice of the increment. Automatic differentiation of computer programs bypass the difficulty and its computing cost is similar to finite difference, if not cheaper. But in finance the payoff is never twice differentiable and so generalized derivatives have to be used requiring approximations of Dirac functions of which the precision is also doubtful. The purpose of this paper is to investigate the feasibility of Vibrato for second and higher derivatives. We will first compare Vibrato applied twice with the analytic differentiation of Vibrato and show that it is equivalent, as the second is easier we propose the best compromise for second derivatives: Automatic Differentiation of Vibrato. In [8], Capriotti has recently investigated the coupling of different mathematical methods -- namely pathwise and likelihood ratio methods -- with an Automatic differ
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中文摘要：
本文讨论金融证券的二阶或更高阶希腊人的计算。它结合了颤音和自动微分两种方法，并与其他方法进行了比较。我们表明，这种组合方法比标准有限差分法更快，比二阶导数的自动微分法更稳定，比Malliavin演算更通用。我们提出了一个通用框架来计算任何希腊人，并给出了几种不同类型金融合同的应用：欧洲和美国期权、多维篮子看涨期权和随机波动率模型，如赫斯顿模型。我们还给出了计算美式期权Longstaff-Schwartz蒙特卡罗方法导数的算法。我们还推广了收益不可二次微分的期权二阶导数的自动微分。1、简介。根据巴塞尔协议III的规定，要求银行每天评估其投资组合的敏感性（风险评估）。其中一些投资组合规模巨大，准确计算敏感度非常耗时。面对为这项任务构建软件以及不信任不可微函数的自动微分的问题，我们转向了MikeGiles提出的一个想法，称为颤音。核心振动是似然比方法和路径评估相结合的一种区别。Giles【12】、【13】表明，与全蒙特卡罗路径的数值微分相比，计算时间、稳定性和精度都有所提高。在许多情况下，需要双重敏感性，即参数的二阶导数（例如伽马对冲）。灵敏度的有限差分近似是一种非常简单的方法，但其精度很难控制，因为它依赖于增量的适当选择。计算机程序的自动微分绕过了这一困难，其计算成本与有限差分法相似，甚至更便宜。但在金融学中，收益从来都不是二次可微的，因此必须使用广义导数，需要近似狄拉克函数，其精度也值得怀疑。本文旨在研究二阶导数和高阶导数振动的可行性。我们将首先比较两次应用的可控震源与可控震源的解析微分，并证明它是等效的，因为第二次更容易，我们提出了二阶导数的最佳折衷：可控震源的自动微分。在[8]中，卡普里奥蒂最近研究了不同数学方法（即路径法和似然比法）与自动差分法的耦合
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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关键词：Applications Mathematical Quantitative introduction derivatives

高阶衍生品的振动和自动微分以及金融期权的敏感性Gilles PAG\'ES*, OLIVIER PIRONNEAU+和GUILLAUME SALL摘要。本文讨论了二阶或更高阶希腊金融证券的计算。它结合了振动和自动微分两种方法，并与其他方法进行了比较。我们表明，这种组合技术比标准有限差分更快，比二阶导数的自动差分更稳定，比MalliavinCalculus更通用。我们提出了一个通用框架来计算任何希腊人，并提出了几种不同类型金融合同的应用：欧洲和美国期权、多维篮子看涨期权和随机波动率模型，如赫斯顿模型。我们还给出了美式期权的Longstaff-Schwartz-Monte Carl o方法的计算导数的算法。我们还扩展了具有非二次微分支付的期权二阶导数的自动微分。关键词。金融证券、风险评估、希腊语、蒙特卡罗、自动区分、颤音。AMS科目分类。37M25、65N991。介绍根据巴塞尔协议III的规定，要求银行每天评估其投资组合的敏感性（风险评估）。其中一些投资组合规模巨大，敏感性需要时间才能准确计算。面对为这项任务构建一个软件的问题，以及对不可区分功能的自动区分的不信任，我们转向了MikeGiles提出的一个想法，称为颤音。核心振动是似然od比方法和路径评估相结合的区别。

Giles【12】，【13】表明，和全蒙特卡罗路径的数值微分相比，计算时间、稳定性和精度都有所提高。在许多情况下，需要双重敏感性，即参数的二阶导数（例如伽马对冲）。灵敏度的有限差分近似是一种非常简单的方法，但其精度很难控制，因为它依赖于增量的适当选择。计算机程序的自动差异化绕过了这一困难，其计算成本与有限差异相似，如果不是更便宜的话。但在金融中，支付函数从来都不是二次可微的，因此必须使用广义导数来近似狄拉克函数，而狄拉克函数的精度也是一个值得怀疑的问题。本文旨在研究二阶导数和高阶导数振动的可行性。我们将首先比较两次使用可控震源与可控震源的分析差异，并表明其等效；由于第二个更容易，我们提出了二阶导数的最佳折衷方案：振动的自动微分。在[8]中，Ca priotti最近研究了不同数学方法（即路径法和似然比法）与自动差异的耦合*法国吉勒巴黎塞德斯5号F-75252 Jussieu 4 pl.de Jussieu实验室，UMR 7599，UPMC，案例188。pages@upmc.fr.+实验室Jacques Louis Lions，UM R 7598，案例187，4 pl.de Jussieu，F-75252 Paris Cedex5，France，olivier。pironneau@upmc.fr.Laboratoire de Probabilit'es et Mod'eles Al'eatoires，UMR 7599，UPMC，案例188，4 pl。

de Jussieu，F-75252巴黎Cedex 5，法国，纪尧姆。sall@upmc.fr.entiation二阶希腊人的计算技巧；他说，我们遵循同样的想法，但有颤音，也有计算高阶导数的方法。格雷万金（Greiwankin）[19]、[20]、[33]中的诺曼（Naumann）和[22]中的哈斯科（Hascoet）所描述的计算机程序自动差异（AD）可用于直接或反向模式。在直接模式下，计算成本类似于有限差异，但对结果没有全面的误差：该方法是精确的，因为实现财务选项的每一行计算机程序都是精确差异的。一阶导数的计算成本类似于运行两次程序。不幸的是，对于许多金融产品而言，在某些情况下并不存在第一感或第二感，例如x=K时的标准数字期权；即使是普通欧式期权的收益在x=K时也不会有两倍的差别，但由于布朗运动（或热核）的正则化效应，伽玛值得到了很好的定义，这使得Dirac的期望值成为概率密度的一个整数；简言之，最终结果已经确定，但中间步骤还没有确定。我们测试了ted ADOL-C【21】，并试图计算Black-Scholes模型中标准欧洲看涨期权的Hessia n矩阵，但结果是错误的。因此，我们通过引入Dirac函数的近似值，对基于算子重载的AD库进行了调整，得到了令人满意的结果；这是本文的第二个结论：第二种敏感性的AD可以发挥作用；它比颤音+AD（VAD）更简单，但风险更大，计算机强度略高。有关AD的更多详细信息，请参见Gile s等人。

[11] 、皮罗·尼奥（Piro nneau）[35]、卡普里奥蒂（Capriotti）[7]、霍姆斯库（Homescu）[26]以及其中的参考文献。在为ris k评估设计昂贵的软件时，一个重要的限制是要与软件承包商的历史兼容；大多数时候，这排除了偏微分方程的使用（见[1]），因为大多数量子公司使用蒙特卡罗算法对其投资组合进行定价。对于通过蒙特卡罗方法计算的证券衍生品，其参数敏感性的计算最容易通过有限差（也称为冲击法）来近似，因此需要使用递增参数重新评估证券。这种方法有两个问题：当推广到高阶导数时，它是不精确的；对于具有多个参数的多维问题，它是昂贵的。具有p参数的安全性的n阶导数需要（n+1）p求值；此外，扰动参数的选择也很棘手。从半分析的角度来看，计算灵敏度最自然的方法是格拉斯曼（Glasserman）[15]中描述的路径方法，该方法相当于计算每个模拟路径的支付导数。不幸的是，这种技术恰好对某些类型的支付不起作用，包括一些常用于数字或巴列尔期权等定量金融工具。例如，由于不可能通过这种方式获得数字调用的增量（数字payoff经验的导数不等于数字payoff导数的期望值，而数字payoff的导数实际上并不作为函数存在），因此路径方法无法在标准Black-Scholes模型中评估调用选项的gamma。路径导数估计也称为微元摄动，关于这一主题有大量文献；例如，见Ho等人。

【24】、Suri等人【39】和L’Ecuyer【28】。Glasserman[14]给出了期权定价某些应用的一般框架。还有两种著名的数学方法可以获得灵敏度，即所谓的对数似然比法和马利雅文演算。然而，就像路径方法一样，两者都有各自的优点和缺点。对于前者，该方法包括区分底层的概率密度，很明显，如果底层的概率密度未知，则无法计算希腊人。然而，该方法有一个很大的优势，即概率密度通常是其参数的光滑函数，即使Payoff函数不是。该方法主要由Glynn【17】、Reiman等人【36】、Rubinstein【37】以及Broadie等人【5】和Glassermanet等人【16】的一些金融应用程序开发。至于Malliavin微积分，希腊人的计算方法是将原始支付函数的期望值乘以特定因子，即。Malliavinweight是Skorohod积分，是Malliavin导数的伴随算子。该方法的主要问题是，对于高维问题，Malliavin权重的计算可能很复杂和/或计算成本很高。有几篇文章通过Malliavin演算、Fourni\'e等人【10】、Be nhamou等人【2】和Gobet等人【18】处理希腊人的计算。Malliavin公式的精度对于短期到期也会退化，尤其是对于-树篱似然比和Malliavin演算通常都比路径或有限差分法更快，因为一旦Payoff函数前面的项（通过分析计算权重），一维情况下希腊语的近似值几乎等于pricingfunction的评估成本。

一个系统性缺陷是，这些方法在金融行业的实施受到每个新支付所需的具体分析的限制。本文的组织结构如下：；在第2节中，我们首先回顾了一阶导数的振动方法，如Giles[12]中关于单变量和多变量情况的振动方法。然后，我们推广了关于一个或多个参数的二阶和高阶导数的方法，并描述了与分析或自动微分方法的耦合，以获得额外的微分阶。在第3节中，我们简要回顾了自动区分的不同方法。我们描述了直接和伴随或反向模式来区分计算机程序。我们还解释了如何将其扩展到一些不可微函数。第4节讨论了不同衍生证券的几种应用。在标准欧洲看涨期权的情况下，我们展示了二阶衍生工具（Gamma和Vanna）和三阶衍生工具的一些结果：Gamma对基础资产变化的敏感性，以及交叉衍生工具对基础资产、波动性和利率的敏感性。此外，我们还比较了不同的自动微分技术，并给出了一些有关计算机实现的详细信息。在第5节中，我们研究了一些独立产品；我们将组合振动加自动微分方法应用于使用Longstaff-Schwartz算法计算的美式看跌期权的Gamma计算【31】。我们还将在多维篮子期权（第4节）上以及在第6节中使用赫斯顿模型的欧洲看涨期权上说明该方法。在第7节中，我们研究了Black-Scholes模型中标准欧式看涨期权的Hessian矩阵的计算时间。

最后，在第8节中，我们将VADs与Malliavin方法以及短期到期情况下的似然比方法进行了比较。2、颤音。颤音是吉尔斯在[12]中引入的；它基于对支付的重新制定，更适合差异化。蒙特卡罗路径分裂到最后一个时间步及其过去。让我们在一个简单的Vanilla多维选项上解释该方法。首先，让我们回顾一下导数的似然比方法。设参数集Θ为Rp的子集。设b：Θ×Rd→ Rd，σ：Θ×Rd→ Rd×qbecontinuous functions，空间变量中的局部Lipstchitz，具有线性g增长，θ中的bothuniformly∈ Θ。为了简单起见，我们在b和σ中都将时间作为变量。Andlet（Wt）t≥0be概率空间上定义的q维标准布朗运动(Ohm, A、 P）。引理2.1。（对数似然比）设p（θ，·）为随机变量X（θ）的概率密度，它是θ的函数；considerE[V（X（θ））]=ZRdV（y）p（θ，y）dy.（2.1），如果θ7→ p（θ，·）在θ处可微分∈ 那么，对于所有y，在标准支配或一致可积性假设下，可以交换微分和积分：对于i=1。。，PθihE[V（X（θ））]i |θ=ZRdV（y） 日志pθi（θ，y）p（θ，y）dy=EV（X（θ）） 日志pθi（θ，X（θ））|θ。（2.2）2.1。欧洲合同的颤音。设X=（Xt）t∈[0，T]是一个微分过程，下列随机微分方程（SDE）的强解dXt=b（θ，Xt）dt+σ（θ，Xt）dWt，X=X。（2.3）为了简单且不损失一般性，我们假设q=d；所以σ是一个s平方矩阵。显然，XT依赖于θ；为清楚起见，我们在上下文需要时编写Xt（θ）。给定一个整数n>0，具有常数步长h=Tn的Euler格式（定义见下文（2.3））在时间tnk=kh时近似于Xtat，即“Xnk≈ Xkh，由“Xnk=”Xnk递归定义-1+b（θ，(R)Xnk-1） h+σ（θ，(R)Xnk-（1）√hZk，(R)Xn=x，k=1。

，n，（2.4），其中{Zk}k=1，。。，独立随机高斯N（0，Id）向量。W和Z之间的关系是WTNK- Wtnk公司-1个=√hZk公司。（2.5）注意'Xnn=un-1（θ）+σn-1（θ）√HZn，含un-1（θ）=？Xnn-1（θ）+b（θ，’Xnn-1（θ））h和σn-1（θ）=σ（θ，(R)Xnn-1（θ））√h、 （2.6）然后，对于任何Borel函数V:Rd→ R使得E | V（(R)Xnn（θ））|<+∞,EV（(R)Xnn（θ））= EEV（(R)Xnn（θ））|（Wtnk）k=0，。。。，N-1.= EEV（(R)Xnn（θ））| Xnn-1..（2.7）这一点来自一个明显的事实，即Euler方案定义了一个关于过滤Fk=σ（Wtn）的马尔可夫链l, l = 0，k） 。此外，通过链的同质性，EV（(R)Xnn（θ））| Xnn-1.=Ex公司V（(R)Xn（x，θ））|x=(R)Xnn-1=nE[V（u+σ√hZ）]ou=un-1（θ）σ=σn-1（θ）。（2.8）其中'Xn（x，θ）表示k=1的Euler格式在时间tn时的值，从x开始，其中最后的期望值是关于Z.2.2的。一阶颤音。我们表示Д（u，σ）=EhV（u+σ√hZ）i.来自（2.7）和（2.8），对于任何i∈ （1，…，p）θiE[V（(R)Xnn（θ））]=E“θinE[V（u+σ√hZ）]ou=un-1（θ）σ=σn-1（θ）#=E^1θi（un-1（θ），σn-1（θ））（2.9）和^1θi（un-1，σn-（1）=un-1.θi·^1u（un-1，σn-（1）+σn-1.θi：^1σ（un-1，σn-1） （2.10）其中·表示标量积，而：表示矩阵积的轨迹。引理2.2。X，Yt的θi相切过程=Xt公司θi定义为以下方程的解（见Kunita【27】的证明）dYt=b′θi（θ，Xt）+b′x（θ，Xt）Ytdt公司+σ′θi（θ，Xt）+σ′x（θ，Xt）YtdWt，Y=十、θi（2.11），其中素数表示标准导数。至于“Xnkin（2.3）”，我们可以用“Ynk+1=”Ynk离散（2.11+b′θi（θ，\'Xnk）+b′x（θ，\'Xnk）\'Ynkh类+σ′θi（θ，\'Xnk）+σ′x（θ，\'Xnk）\'Ynk√hZk+1。（2.12）然后从（2.6）开始，un-1.θi=(R)Ynn-1（θ）+hb′θi（θ，’Xnn-1（θ））+b′x（θ，’Xnn-1（θ））(R)Ynn-1（θ）σn-1.θi=√Hσ′θi（θ，’Xnn-1（θ））+σ′x（θ，’Xnn-1（θ））(R)Ynn-1（θ）. （2.13）到目前为止，我们已经展示了以下引理。引理2.3。

当Xnn（θ）由（2.3）给出时，tθiE[V（(R)Xnn（θ））]由（2.9）和（2.10）、（2.13）和（2.12）给出。在（2.3）中，b和σ在时间间隔（kh，（k+1）h）内是常数，因此“Xnn给定”Xnn的条件可能性-1驱动byp（x）=(√2π）dp∑e-（十）-u）T∑-1（x-u）（2.14），其中u和∑=hσ皮重在时间（n- 1） h，由（2.6）给出。正如inDwyer等人【9】，ulog p（x）=∑-1（x- u），∑log p（x）=-∑-1+∑-1（x- u）（x- u）T∑-1.=>ulog p（x）| x=Xnn=σ-TZ公司√H∑log p（x）| x=Xnn=2hσ-T（ZZT- 一） σ-最后，应用引理2.3和L e mma 2.1得出以下命题定理2.4。（振动，多维一阶情况）θiE[V（(R)Xnn（θ））]=E“θinE[V（u+σ√hZ）]ou=un-1（θ）σ=σn-1（θ）#=E√Huθi·EhV（u+σ√hZ）σ-TZi公司u=un-1（θ）σ=σn-1（θ）+2h∑θi：超高压（u+σ√hZ）σ-T（ZZT- 一） σ-1iu=un-1（θ）σ=σn-1（θ）.（2.15）2.3。相反的颤音。人们可以期望通过对偶变换（见下文第2.6节的简短讨论）来改进上述公式，即减少其变异性，如下所示：超高压（u+σ√hZ）σ-TZi=EhV（u+σ√赫兹）- V（u- σ√赫兹）σ-TZi。（2.16）类似地，使用E[ZZT- 一] =0，超高压（u+σ√hZ）σ-T（ZZT- 一） σ-1i=EhV（u+σ√赫兹）- 2V（u）+V（u- σ√赫兹）σ-T（ZZT- 一） σ-1i。（2.17）推论2.5。（一维情况，d=1）θiE[V（(R)Xnn（θ））]=EuθiEV（u+σ√赫兹）- V（u- σ√赫兹）Zσ√Hu=un-1（θ）σ=σn-1（θ）+σθiEV（u+σ√赫兹）- 2V（u）+V（u- σ√赫兹）Z- 1σ√Hu=un-1（θ）σ=σn-1（θ）（2.18）概念算法。在图1中，我们说明了路径级别的振动分解。要实现上述功能，必须执行以下步骤：1。选择时间步数n，n的蒙特卡罗路径数M- 第一个时间步，最后一个时间步的MZof复制变量Z的数目。2.