多期投资组合优化：自相关风险的转换

该定理之前讨论的最新含义表明，存在一个复合对称的最优矩阵M（见[7，定义5]）。因此，（1）将问题归结为具有两个正半定约束的优化问题，其中涉及复合对称矩阵。因此，该主张通过适当的变量替换调用[7，引理1]。下面的引理4.1将定理4.1与[7]中的定理2联系起来，而推论4.1演示了如何实现具有最大最坏情况增长率的投资组合。本着与[7]相同的精神，我们将该投资组合称为扩展的稳健增长最优投资组合。备注4.1。当ρ=0时，我们从[7，定理2]中恢复结果，该结果为ρ=…=ρT-1=0。然而，定理4.1推广了这一结果，并得出结论：【7，定理2】只要asPT-1t=1ρt=0。推论4.1（最大化最坏情况增长率）。如果W是RN中概率单纯形的多面体子集，表示一组允许的投资组合和不等式1- w |u>q（1+（T-1） (R)ρ）（1）-)T·k∑每w保持1/2周∈ W、 然后是投资组合W∈ W最大G（w） 可以通过求解一个可处理的二阶锥规划来获得，该规划的规模与资产数量N成比例，但与投资期限T无关。证据该主张紧随定理4.1，因此省略了证明。4.1。将自相关风险转换为超额方差我们观察到，在资产回报分布的相同一阶和二阶矩下，只有总的自相关系数ρ=（PT-1t=1ρt）/（t- 1） 更改G（w） 。即ρt的个别变化，t=1，T- 1在我们的模型中，只要总相关性ρ保持不变，就没有风险。

此外，根据定理4.1，我们进行了以下观察，通过资产收益率分布协方差矩阵∑中的自相关来封装金融风险。为了进一步阐述，我们考虑了定理4中结果的另一种表示形式。1、我们考虑-G（w） 作为与投资组合w相关的总风险，-G（w） =2w∑w{z}持续风险-1.-1.- w |u+r1- Tk^∑1/2周+Tw |^∑w| {z}复合风险，其中∑是由（1+（T- 1） \'ρ）∑。根据-G（w） ，术语2w∑w与自相关无关。因此，我们将该术语称为持续风险，将剩余部分称为复合风险。持续风险是直观的，因为它与投资组合方差w∑w成正比，与. 为了更好地理解复合风险，假设有两个投资者共享相同的资产范围N、相同的投资期限T和相同的概率偏好. 第一位投资者认为，资产收益率分布的平均值和协方差矩阵分别由u（1）和∑（1）给出，其总自相关系数为ρ（1）。第二位投资者认为市场是连续不相关的（这意味着她的ρ（2）是0）。如果我们进一步假设两个投资者共享相同的平均信息，即u（2）=u（1），但第二个投资者的协方差矩阵为∑（2）=（1+（T- 1） ρ（1））∑（1）。在第一个投资者的观点下计算的复合风险与在第二个投资者的观点下计算的复合风险相等。

这允许我们通过吸收协方差矩阵中的自相关，将一个序列相关市场转换为一个序列不相关市场。进一步观察，当ρ>0时，修正的协方差矩阵∑=（1+（T- 1） ρ）随着ρ的增加，∑islarger（相对于非负半定义锥和正半定义锥），这意味着投资者面临更高的复合风险。因此，他们应该更加谨慎，因为他们更容易遭受潜在损失。事实上，当自相关为正时，市场倾向于向上或向下移动。通过保持稳健，我们考虑到了市场向下移动的可能性，在最坏的情况下，总利润分布的左尾会有更多的质量。因此，我们预计，从推论4.1的角度来看，随着ρ的增加，最优投资组合倾向于风险较小的资产。在下面的第4.2节中，我们用一个基于真实数据的例子来形象化这个论点。4.2。资产偏好在存在自相关的情况下，我们进行了一项实验，以确定在不同的ρ值范围为0%-20%，步长为5%的情况下，每个平均方差组合的最坏情况增长率。在本实验中，u和∑分别校准为Fama Frenchonline数据库中提供的“10Industry Portfolions”数据集（2003年1月至2012年12月）的样本均值和样本协方差矩阵。

表1给出了这10项资产月度回报的平均值和标准差。图1显示了当T和 分别设置为360个月和20%。可以看出，根据推论4.1，即扩展的robusthttp://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.htmlWe由于缺少空间，从表1中排除协方差。资产范围N1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均值（%）0.85 0.75 0.98 1.25 0.87 0.76 0.89 0.65 0.98 0.45标准差（%）3.44 8.53 5.41 6.19 5.52 4.66 4.24 3.66 3.79 5.62表1：10个行业组合数据集的平均值和标准差。-2.5-2.-1.5-1.-0.500.5（最小值）有效前沿（最大值）最差-案例增长率（%）（w） 从左侧的最小方差投资组合到右侧的最大期望投资组合，计算每个平均方差效率投资组合。（右）扩展稳健增长最优投资组合的投资组合权重。随着ρ的增加，增长最优投资组合向最小方差投资组合转移。由于最小方差投资组合是有效前沿上风险规避程度最高的投资组合，我们可以说，所考虑市场的风险随着ρ的增加而增加，这证实了我们之前的假设。在财富分布方面，我们可以看到，方差较小的资产（尤其是#1、#7、#8、#9）是首选资产。4.3。自相关利用我们现在比较稳健增长最优投资组合的两种变体的性能，即扩展稳健增长最优投资组合WC和原始稳健增长最优投资组合wu。

回想一下，从推论4.1的角度来看，扩展稳健增长最优投资组合被定义为优化器，而原始稳健增长最优投资组合不知道自相关，因此计算ρ=0。我们再次指出，Wu是在[7]中首次研究的。除非另有说明，否则它紧随其后，在所有实验中，我们假设W是RN中的概率单纯形。存在一系列概率分布的概率设置P（k） P、 指数由k确定，因此WC在LIMK意义上优于WU→∞最大γ（γ：P（k）TXt∈T（wc）| rt-（（wc）| rt）≥ γ！≥ 1.- )≥利姆→∞最大γ（γ：P（k）TXt∈T（wu）| rt-（（wu）| rt）≥ γ！≥ 1.- ).然而，P（k）是一个离散分布（参见[14，7]），因此在金融市场中被认为是不现实的。因此，在更合理的分布下比较WC和WU更具有实际意义。在下文中，我们假设资产收益率▄r=【▄r |，…，▄r | T】|遵循基于RNT的多元高斯分布，并将周期平均向量和周期协方差矩阵校准为10个行业投资组合数据集的均值向量和协方差矩阵（见表1）。为了节省计算时间，我们实际上将自己限制在推论4.1所支持的四种资产上，即资产#1、#7、#8、#9（见图1）。对于两个不同的再平衡周期s 6=t，我们假设每对资产的自相关系数为常数ρ（即ρ=…=ρt-1=(R)ρ）。在这种高斯假设下，我们模拟了10000次随机回报的实现。然后，我们比较了投资组合WC和wu的实际增长率，其中投资组合w的实际增长率定义为–PT分位数∈Tw | rt-（宽| rt）.

下面的图2显示了扩展的robustgrowth最优投资组合优于其原始对应投资组合的表现，即表现优于=2·hbG（wc）-bG公司（吴）ibG公司（wc）+bG公司（吴）（bG（w） =根据Pg计算的w的实际增长率），其中 = 10%和‘ρ=-T、 在这个实验中，我们有意将ρ设为负值。这样做，市场被认为风险较小；见第4.1节。因此，我们预计不考虑自相关的投资组合wu将无法与投资组合wc竞争。事实上，图2证实了我们的直觉，即扩展的稳健增长最优投资组合在不同投资领域的实际增长率方面始终优于原始版本。请注意，(R)ρ必须介于-T-1和1表示自相关矩阵P为正定义。12 48 84 120 156 192 22811.522.533.544.5增长率跑赢率（%）T（月）-20-15-10-50510152012 48 84 120 156 192 228T（月）夏普比率跑赢率（%）图2：高斯分布下扩展和原始稳健增长最优投资组合在（左）实际增长率和（右）实现夏普比率方面的比较。从1年到20年。尽管跑赢率随着investmenthorizon T的长度而降低，但只有当T>192个月时，原始稳健增长最优投资组合才具有竞争力（跑赢率<1%）。但在这种情况下，我们得到了'ρ>-≈ -0.5%，即自相关几乎消失。此外，图2还包含一个方框图，该方框图报告了已实现夏普比率的表现，夏普比率定义为每次实现r.5的月度投资组合回报的样本平均值与样本标准偏差之间的比率。

推广到一般自相关矩阵在本节中，我们观察到，第4节中讨论的结果可以很好地近似于一般自相关矩阵的情况。回想一下，（2）中定义的自相关矩阵P最多由d（T- 1） /2e由于假设ρt=ρt，相关项不同-t、 事实上，有人可能会说，这种假设是有限制的。如果我们放松这一假设，那么（弱意义随机过程|η的）自相关将表示为formP的amatrix=ρρ。ρT-1ρρ。ρT-2.ρT-1ρT-2.ρ因为|η砂|ηt之间的相关性仅取决于s和t之间的差异；参见例[15]。在这种情况下，P停止循环。备注5.1。对于一般自相关矩阵，我们定义了ρasT（T-1） PT公司-1t=1（T- t） ρt。然后，我们可以应用定理4.1来近似G（w） 通过使用ρ作为模型的输入，我们用G表示近似值（w） 。我们注意到，根据定理4.1，近似最坏情况增长率G（w） 在自相关矩阵pw下获得，对于所有t=1，…，ρt=(R)ρ，T-1、然后我们可以比较最坏情况下的近似增长率G（w） 精确值为G（w） 可通过求解半有限程序（1）获得。误差定义的近似误差=2·[G（w）- G（w） ]| G（w） |+| G（w） |如下图3所示。在本实验中，我们假设投资组合收益率和标准差分别为15%和20%，并设置 等于15%。请注意，这些参数与其各自的典型年范围一致（见【16】）。此外，我们在区间[0，0.2]上从均匀分布随机生成相关性ρt。对于T的每个值，我们重复实验20次，以获得有意义的近似误差。

从图3可以看出-15-10-50 x 10-504 08 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72T（年）近似误差图3：T=4、8、…、，72（显示的是10%、25%、50%、75%、90%的数量和异常值）。近似误差非常小。此外，有趣的是，误差都是负的，例如（w）≥ G（w） 。我们用下面的命题5.1确定这一观察结果。提案5.1。设ρ表示T（T-1） PT公司-1t=1（T- t） ρt.如果1- w |u>q（1+（T-1） (R)ρ）（1）-)Tk∑1/2周，然后（w）≥ G（w） 。证据为了使命题成立，必须证明从G的角度来看，最优解（M，β，γ）（w） 在确定G的问题中是可行的（w） ；请参见（1）。根据第4节的中间结果，我们可以假设M是以下形式的矩阵M，但不失一般性=m11 |+I mTmT | mT+1 如果可以证明hM，Ohm（w）- Ohm（w） i=0，其中Ohm（w） 是一个二阶矩矩阵，对应于一般自相关矩阵xp和Ohm（w） 是对应于近似自相关矩阵P=（1- ？（ρ）I+？（见备注5.1）。请注意，由于均值和方差是平稳的，hM，Ohm（w）- Ohm（w） i=0<==>m11 |+I，P- P= 0<== h11 |，P- Pi=0，其中右侧的关系源自P，P共享相同的主对角线1。因此，该定理来自于ρ的定义，ρ确保P中所有元素的总和等于Pas 1中所有元素的总和| P1=T+2PT-1t=1（T- t） ρtand 1 | P1=t+t（t- 1） (R)ρ6。结论受[7]的启发，我们扩展了稳健增长最优投资组合，该投资组合严格提供了针对投资者投资期限的性能保证，以解释市场的自相关性。

特别地，我们证明了如果自相关矩阵具有循环结构，那么计算扩展稳健增长最优投资组合就像计算其原始计数部分一样简单，而原始计数部分假设市场不相关。对于非循环自相关矩阵，给出了一个近似。我们的分析和数值实验表明，当聚集自相关为正时，方差较低的资产是有利的。另一方面，考虑负自相关可能会增加投资者的支持度。最后但并非最不重要的一点是，我们认为可以通过修改资产收益率分布的协方差矩阵来吸收市场自相关。参考文献【1】J.Kelly，《信息速率的新解释》，贝尔系统技术期刊35（4）（1956）917–926。[2] L.Breiman，《有利博弈的最优赌博系统》，摘自：第四届伯克利数理统计与概率研讨会，加利福尼亚大学出版社，1961年，第65-78页。[3] P.Algoet，T.Cover，《logoptimum投资的渐近最优性和渐近均分性质》，概率年鉴16（2）（1988）876–898。[4] M.Christensen，《增长最优投资组合的历史》，载《金融工程的机器学习》，帝国理工学院出版社，伦敦，2012年，第1-80页。[5] L.MacLean、E.Thorp、W.Ziemba，《凯利标准的好坏属性》，摘自《凯利资本增长投资标准：理论与实践》，世界科学出版社，2010年，第563-574页。[6] W.Poundstone，《财富公式：击败赌场和华尔街的科学博彩系统的不为人知的故事》，Hill&Wang，2005年。[7] N.Rujeerapaiboon，D.Kuhn，W.Wiesemann，《稳健增长最佳投资组合》，管理科学62（7）（2016）2090–2109。[8] S.Tinic，R.West，《风险与回报：Janaury vs。

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