多期投资组合优化：自相关风险的转换

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英文标题：
《Multi-Period Portfolio Optimization: Translation of Autocorrelation Risk
  to Excess Variance》
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作者：
Byung-Geun Choi, Napat Rujeerapaiboon, Ruiwei Jiang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Growth-optimal portfolios are guaranteed to accumulate higher wealth than any other investment strategy in the long run. However, they tend to be risky in the short term. For serially uncorrelated markets, similar portfolios with more robust guarantees have been recently proposed. This paper extends these robust portfolios by accommodating non-zero autocorrelations that may reflect investors\' beliefs about market movements. Moreover, we prove that the risk incurred by such autocorrelations can be absorbed by modifying the covariance matrix of asset returns.
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中文摘要：
从长远来看，增长最优投资组合肯定会比任何其他投资策略积累更高的财富。然而，它们在短期内往往有风险。对于连续不相关市场，最近提出了具有更稳健担保的类似投资组合。本文通过调节非零自相关来扩展这些稳健的投资组合，这可能反映投资者对市场走势的信念。此外，我们还证明了通过修改资产收益的协方差矩阵可以吸收这种自相关带来的风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Multi-Period_Portfolio_Optimization:_Translation_of_Autocorrelation_Risk_to_Exce.pdf (459.04 KB)

2022-5-25 10:16:32 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 自相关 Optimization correlations

多期投资组合优化：自相关风险到超额方差的转换Byung Geun Choia，Napat Rujeerapaiboonb，Ruiwei Jiangaa米奇甘布里斯克大学工业与运营工程系分析与优化主席，洛桑理工学院，瑞士战略增长（SwitzerlandAbstractGrowth）最优投资组合从长期来看，肯定会比任何其他投资策略积累更高的财富。然而，它们在短期内往往有风险。对于连续不相关市场，最近提出了具有更稳健担保的类似投资组合。本文通过调节非零自相关来扩展这些稳健的投资组合，这可能会反映投资者对市场走势的信念。此外，我们还证明了通过修改资产收益的协方差矩阵可以吸收这种自相关带来的风险。关键词：投资组合优化、半有限规划、二阶锥规划、稳健优化1。引言在本文中，我们考虑了一个动态投资组合优化问题，其中投资者面临着如何在一组可用资产上分配财富以使其最终财富最大化的挑战。通过在单个投资期内优化预期对数效用，所获得的投资组合（称为增长最优投资组合）在经典的随机环境中对于多个利息目标是最优的。例如，[1]和[2]独立证明，从长期来看，增长最优投资组合最终将积累比任何其他因果投资策略更多的财富，概率为1。此外，当目标逐渐变大时，它还可以最大限度地减少达到特定财富目标所需的预期时间；参见，例如，【2，3】。

对于那些对增长最优投资组合的历史和性质感兴趣的读者，我们可以参考[4、5、6]。尽管如此，尽管增长最优投资组合在理论上具有吸引力，但其实际相关性仍然有限的原因有很多。首先，从经验上看，增长最优投资组合在短期内波动很大。此外，计算增长最优投资组合需要对资产收益分布有全面而精确的了解。在实践中，这种分布不可用，必须根据稀疏的经验数据进行估计。因此，增长最优投资组合倾向于统计估计。[7] 通过提出一个提供与经典增长最优投资组合类似的绩效保证但投资期限有限的Fixedmix投资策略，将增长最优投资组合扩展到更实际的环境中。此外，拟议的履约保函不是特定的分布，但对于规定的连续不相关分布范围内的任何资产回报分布仍然有效。我们在本文中的贡献是将[7]中的结果推广到具有非零自相关（也称为序列相关）的情况。这些自相关可以用来整合投资者对市场走势以及资产回报季节性的信念；参见例[8，9]。此外，我们证明了这些自相关可以被资产收益率分布的协方差矩阵所吸收。

最后，我们注意到，所有讨论的动态投资策略，即经典增长最优投资组合、稳健增长最优投资组合（见[7]）和扩展稳健增长最优投资组合（本文提出）都具有类似的计算优势，即，所有这些策略都可以通过解决静态优化问题相对容易地获得。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们解释了如何对金融市场中的分布模糊性进行建模，在第3节中，我们定义了风险度量，即最坏情况下的增长率，以评估每个投资组合的绩效。第4节推导了最坏情况下增长率的分析公式。本节还提供了一些数值实验。最后，我们在第5节中提供了更一般概率设置的近似最坏情况增长率，第6节得出结论。符号我们用Sn表示Rn×nb中对称矩阵的空间。对于任意维数相同的对称矩阵X和Y，我们用hX，Yi表示它们的迹标量积。此外，对于正半定义X∈ Sn，我们定义X1/2为其主平方根。我们还将1定义为1的列向量，将I定义为单位矩阵。其尺寸应与周围环境保持一致。随机变量由带颚化符的符号表示。我们用Rn上所有概率分布P的Pntheset表示，用EP（·）和COVP（·，·）表示输入随机参数相对于概率分布P的期望值和协方差。在本文中，我们假设投资期限由T={1，2，…，T}给出，资产范围由N={1，2，…，N}给出。此外，对于复数c，我们用Re（c）表示其实部。最后，我们定义了t模t的剩余量（t）。

注意，对于任何t∈ Z、 （t）t从{0，…，t获取一个值- 1} .2。分布设置：平稳均值、方差和自相关在本节中，我们描述了资产收益率概率分布P的设置[~rt]Tt=1。我们定义了歧义集=P∈ PNT：EP（~rt，i）=ui我∈ 我T∈ TCOVP（￠rs，i，￠rt，j）=ρ（t-s） Tσi，ji、 j∈ 我s、 t型∈ T,其中u=[ui]i∈N∈ Rn表示预期资产收益向量，∑=[σi，j]i，j∈N∈ SN代表资产回报的协方差矩阵。u和∑都被假定为静止的，即它们随时间保持不变。[10]中很好地推动了模糊集P的选择。与[7]假设不同交易期资产收益率与t不相关的假设不同，我们允许它们与相关性ρ（t）相关-s） T.接下来，我们考虑由投资组合w生成的固定组合策略（见[7]）∈ W RN+，其中Wis是允许投资组合的凸多面体。也就是说，我们假设投资组合权重在每个再平衡日期t恢复为wat∈ T为了避免混乱，我们将交易期t内的投资组合回报表示为▄ηt=w▄rt。很明显，在资产回报的分布P下，我们有EP（▄ηt）=w▄u和COVP（▄ηs，▄ηt）=ρ（t-s） Tw∑ws、 t型∈ T等效地说，映射ηt=w |  rtp将P投影到模糊集P（w）定义的asP（w）=P∈ PT:EP（|ηt）=w|uT∈ TCOVP（￠ηs，￠ηt）=ρ（t-s） Tw∑ws、 t型∈ T.模糊集的投影性质（例如，参见[11，定理1]和[7，命题2]）进一步证明了从P（w）到P的逆映射的存在。因此，从下一节开始，我们将使用投影模糊集P（w）而不是原始模糊集P来研究任意组合w的性能，由于机动P（w）常常导致一个维数较小的优化问题。3.

投资组合绩效衡量：最坏情况下的增长率在无摩擦的市场中，固定投资组合在投资期内重复投资，总回报率为∈T（1+w |rt）=expXt∈Tlog（1+w |▄rt）！，这是一个随机数量。因此，该投资组合的一个直观绩效衡量指标是对其对数终端财富E的预测Pt公司∈T（对数（1+w |rt））. 使这种效用函数最大化的投资组合称为增长最优投资组合。该投资组合具有许多令人兴奋的渐近性质，其中一些性质将在第1节中讨论。此外，如果资产回报率分布是连续独立且相同分布的，则可以通过求解静态优化问题maxw来获得增长最优投资组合∈WE（log（1+w |r））。然而，对于有限T（尤其是当T很小时），期望标准变得有风险（因为中心极限定理失败），因此[7]建议使用分位数标准代替期望标准。准确地说，[7]利用分布稳健优化的最新进展（见[12]），通过解决以下优化问题来确定最坏情况下的增长率（w） =最大γ（γ：PTXt∈Tw | rt-（宽| rt）≥ γ！≥ 1.-  P∈ P） =最大γ（γ：PTXt∈T§ηt-§ηt≥ γ！≥ 1.-  P∈ P（w））。式中，[7]中设置的模糊度是我们的限制，其中ρt=0表示每t=1，T- 1、由于固有的时间对称性，非相关假设允许[7]有效地解决此分布鲁棒程序。我们的工作放宽了这一假设，以适应投资者的信念和市场季节性。特别是，我们表明，尽管注意到-（w | rt）是关于w | rt=0的对数（1+w | rt）的二阶泰勒近似值。

随着再平衡频率的增加，近似值变得更加准确。时间对称性被破坏了，我们仍然可以导出G的解析表达式（w） 利用循环矩阵线性代数的知识；参见例[13]。我们强调，尽管放松并不能极大地改变问题，但它仍然需要我们开发新的数学技术来适应这些变化。4.最坏情况增长率的推导通过使用[12]中提供的分布稳健二次信道的半定义程序重新公式，我们可以重写（w） asG公司（w） =最大γs.t.M∈ ST+1，β∈ R、 γ∈ Rβ+HOhm（w） ，密歇根州≤ 0，M 0米-我--|γT- β 0，（1）其中Ohm（w） 0是一系列投资组合收益的投影二阶矩矩阵【ηt】t∈t由P（w）中的任何分布生成，即。，Ohm（w）=w∑w·P+（w |u）·11 | w |u·1w |u·1|P是自相关矩阵，定义为asP=ρρ。ρT-1ρT-1ρ。ρT-2.ρρ。ρ. （2） 注意，对于P是一个适当的非退化自相关矩阵，我们需要：ρ=1，ρt=ρt-t对于t=1，T- 1以确保P是对称的 同样，我们也假设∑ 0以消除退化情况。我们强调，这些假设是非限制性的，当N中不存在无风险资产时，这些假设几乎总是满足的。从今以后，我们在他们持有的整个文件中都假设了这一点。观察M的尺寸与T的比例。因此，直接为大T求解此程序在计算上是禁止的。幸运的是，在我们的例子中Ohm（w） formsa循环矩阵。定义4.1（循环矩阵）。对于c，c，cT-1.∈ R、 循环矩阵C=circ（C，C，…）。

，cT-（1）∈ RT×定义的asC=cc···cT-1立方厘米-1c··cT-2.抄送···c.通过利用矩阵的循环性质，我们在求解公式（1）时避免了复杂性问题Ohm（w） 。我们在下面的引理4.1中证明了这个结果。引理4.1（循环优化器）。存在一个优化器（M？，β？，γ？）其中（1）m=circ（m，…，mT）-1） mTmT | mT+1对于一些m，mT+1∈ R、 证明。对于整数{1，2，…，T+1}的任何置换π，用Pπ表示置换矩阵x，通过[Pπ]i定义，如果π（i）=j，则j=1；=否则为0。用∏表示具有以下性质的置换集。π（T+1）=T+1.2。对于d∈ {+1，-1} ，（π（T）- π（1））T=（π（i）- π（i+1））T=（d）T对于i=1，T- 1、注意∏∏=2T，因为π（1）可以从1、…、中自由选择，T和有两种可能改变方向d。由于Ohm（w） ，可以观察到pπOhm（w） P |π=Ohm（w） 对于任意π∈ ∏。现在这个命题来自一个与[7，命题3]的论点平行的论点。引理4.1不失一般性，允许我们将注意力限制在由循环矩阵、额外列和额外行组成的特定形式的M上。注意M是对称的，这意味着mt=mt-t对于t=1，T- 下面的引理4.2表明，任何对称循环矩阵的特征值都可以解析确定。引理4.2（循环矩阵的特征值）。对称循环矩阵的所有特征值xc=circ（c，c，…，cT-1） 阿雷普特-1t=0TCOS2πjtT, j=0，T- 1.证明。C=circ（C，C，…，cT）的特征值-1） 阿雷普特-1t=0ctωtjj=0，T- 其中ωjare jth单位根（参见，例如，[13，第3章]）。此外，我们知道所有特征值都是实的，因为C是对称的。

去掉特征值表达式中的虚部，下面的声明如下。我们现在准备将（1）从半有限程序简化为二阶锥程序。为了实现这一点，我们考虑第一个半定义约束M 使用引理4.1和引理4。2一起，我们可以将此约束重写如下：M 0<==> mT+1≥ 0，循环（m，…，mT-（1）mTmT+1|<==> mT+1≥ 0，约（m- 公吨/公吨+1，mT公司-1.- 公吨/公吨+1） 0<==> mT+1≥ 0，PT-1t=0mt公司- 公吨/公吨+1cos公司2πjtT≥ 0 j=0，T- 1.<==> mT+1≥ 0，公吨+1公吨-1吨=0吨≥ T mT，PT-1t=0mtcos2πjtT≥ 0 j=1，T- 1，如果由于Schur补码，第一个等价保持不变，则第三个等价遵循引理4。2，最后一个等价于t-1Xt=0cos2πjtT=T-1Xt=0Re（ωtj）=Re1- ωTj1- ωj！=0表示j=1，T- 1，（3）其中ωjr表示单位的jth根。（1）中的另一个半限定约束可以用类似的方式重新表述，因此我们最终得到（1）的以下重新表述。G（w） =最大γs.t.（m，…，mT+1）|∈ RT+2，β∈ R、 γ∈ R（4a）mT+1≥ 0，mT+1- γT+β≥ 0，mt=mt-tt=1，T- 1（4b）当mT+1=0时，最终结果仍然成立，可以通过区分大小写来处理。然而，为了简洁起见，我们省略了这个论点。mT+1PT-1吨=0吨≥ 公吨，（公吨+1- γT+β）M-+PT公司-1吨=1吨≥ T（mT+（4c）m-+PT公司-1t=1mtcos2πjtT≥ 0 j=1，T- 1（4d）β+TPT-1t=0ρtw∑w+（w |u）mt+2T w |umt+mt+1≤ 0（4e）注意，（4）中的所有约束要么是线性的，要么是双曲线的，即二阶锥可表示。因此，我们将公式（1）重新表述为二阶锥程序。下面，我们推导出G的分析解（w） 。假设x=（m，…，mT+1，β，γ）>是公式（4）的最优解。构建新的解决方案X=T-1Xt=0mt-!/T+|{z}m，T-1Xt=0mt-!/T |{z}m。

T-1Xt=0mt-!/T |{z}mT-1，mT，mT+1，β，γ|.x满足（4）中除（4d）–（4e）之外的所有约束，因为从x到xpreservesPT的转换-1t=0mt，即PT-1t=0mt=PT-1吨=0吨。在下文中，我们认为，从约束（4d）–（4e）的角度来看，xis确实是可行的。对于约束（4d），xis确实可行，因为m-= m=m=…=mT公司-1和PT-1t=1cos2πjtT= -1，如前（3）所述。对于约束（4e），更容易查看（1）中该约束的原始版本，即β+HOhm（w） ，密歇根州≤ 请注意，有必要显示Circ（m，m，…，mT-（1） circ（m，m，…，mT）-1） 。我们让mdenote共享m的值，mT公司-由于两个循环矩阵之间的差异保持循环，因此上述正半限定约束保持循环（m+- m、 m级- MM- mT公司-（1） 0<==> m级+- m+PT-1t=1（m- mt）ωtj≤ 0 j=0，T- 1.<==> m级+- m+PT-1t=1（m- mt）ωtj≤ 0 j=1，T- 1.<==>+ mPT公司-1t=0ωtj≤PT公司-1t=0mtωtjj=1，T- 1.<==>+ M1.-ωTj1-ωj≤PT公司-1t=0mtωtjj=1，T- 1.<==>≤PT公司-1t=0mtRe（ωtj）j=1，T- 1.<== M-+PT公司-1t=1mtcos2πjtT≥ 0 j=1，T- 1.<== x的可行性，其中第一个等价是引理4.2的结果，第二个等价不包括ω=1的情况，因为m的定义是T m+=PT-1t=0mt=PT-1吨=0吨。因此，xis对（4）是可行的，也是最优的，因为它与原始最优解x共享相同的目标函数值。因此，在不损失最优性的情况下，我们可以假设m-= m=···=mT-1英寸（4）。最后，我们得到了定理4中（4）的解析解。1以下。定理4.1（最坏情况增长率）。如果1- w |u>q（1+（T-1） (R)ρ）（1）-)Tk∑1/2周，然后（w）=1.-1.- w |u+r（1- )（1+（T- 1） (R)ρ）Tk∑1/2周！-T- 1.- （T- 1） (R)ρTw∑w,式中，ρ是一个常数，定义为（PT-1t=1ρt）/（t- 1） 。证据