关于带跳BSDE的单调稳定性方法：扩展，

注意到1-K |δYs-| ≥-Kc≥/4和设置：=limn→∞利用（Zn）n的弱收敛性推导出Ynwe∈Nand（Un）n∈N、 Yn公司-= （Yn）p↑（Y） pas编号→ ∞ 根据Lebesgue的主导收敛定理ZTkZns- Zsk+| Uns- 美国| sds≤lim信息→∞EZTkZns- Zmsk+| Uns- Ums | sds≤ lim信息→∞2E类ZT |δYs-|（K+2bLs+K（kZns- Zsk+kZsk+| Uns- Us | s+| Us | s））ds+ E（ξm- ξn）= 2E类ZT | Yns-- （Ys）p |（K+2bLs+K（kZns- Zsk+kZsk+| Uns- Us | s+| Us | s））ds+ E（ξ）- ξn）.注意事项/4- 2K | Yns-- （Ys）p |≥/4.- 4Kc≥/2，一个获得支配收敛lim supn→∞EZTkZns- Zsk+| Uns- 美国| sds≤ lim支持→∞2E类ZT | Yns-- （Ys）p |（K+2bLs+kZsk+Us | s）ds+ E（ξn- ξ）= 我们需要以下结果，它是[Kob00，Lem.2.5]的微小变化。引理4.10。Let（Zn）n∈Nbe收敛inL（B）和（Un）n∈nConvercent inL（eu）。然后存在子序列（nk）k∈请确认一下∈ L（P dt）和supnk | Unkt | t∈ L（P dt）。证据（Zn）n的结果∈[Kob00]中的Nis和（Un）n的参数∈Nis类似。定理4.11（单调稳定性，有限活动性）。Letξ∈ L∞（FT）和let（fn）nbe满足条件（Bγn）的生成器序列，其中Ky，zf：=supn∈NKy，zfn<∞. 假设1。有（bY、bZ、bU）inS∞×L（B）×L（eu），带BUBounded和Fnt（bYt-,bZt，但是）≡0表示所有n，2。U∈ LBE，λ| u |≤ |bU公司|∞|ξ|∞expKy，zfTbK∈ R+过程BL∈ L（P dt）使| fnt（0，0，u）|≤bK | u | t+BLT用于每个n∈ N、 3。

序列（fn）n∈nConverge逐点单调收敛到生成器f，4。BMOPMfn、^cty、z、ufntY∨-^c∧ ^c，z，u∨-^c∧^c^c |由|∞|bU公司|∞/expKy，zfT |ξ|∞RTtfn，^csYs-, Zs，Uss≤ hMiT公司- hMit公司-RTtfn，^csYs-, Zs，Uss≤ hMiT公司- hMitn公司∈ N、 （Y、Z、U）∈ s∞×L（B）×L（eu），和5。适用于所有（Y、Z、U）∈ s∞×L（B）×L（eu）和（Un）n∈N∈ L（eu）带UN→ UinL（eu）它保持Fn（Y-, Z、 联合国）-→ f（Y-, Z、 U）在L（P）中 dt）。然后，Z，U∈ s∞×LB×Leuξ，fRZBand U* eu是BMO（P）-鞅，andii）如果另外满足条件（Aγ），则该解是唯一的。证据（fk，n）1≤K≤N、 N个∈Nand解决方案（Yk，n，Zk，n，Uk，n）到BSDE（ξ/n，fk，n），用于大范围的Yk，n，Zk，n，Uk，nn∈NYn，Zn，UnPNk=1Yk，n，Zk，n，Uk，nξ，fnk<n≤ L≤ 千牛∈ Nfl，n1≤L≤k、 n个∈NYl，n，Zl，n，Ul，nn∈Nξ/N，fl，nn→ ∞|Yl，n|∞≤ expKy，zfT |ξ|∞/NcYk，nbYPkl=1Yl，nZk，nUk，nanalogouly和fk+1，nt（y，z，u）：=fnty+Yk，nt-, z+Zk、nt、u+Uk、nt- fnt公司Yk，nt-, Zk，nt，英国，nt（4.3）Yk+1，n，Zk+1，n，Uk+1，n∈ s∞×LB×Leuξ/N，fk+1，N闭合（inn），满足| Yk+1，N|∞≤ ~c.最初从三元组（Y0，n，Z0，n，U0，n）Y0，n，Z0，n，U0，nbY，bZ，bU开始。生成器FK、nand三元组（Yk、n、Zk、n、Uk、n）∈ s∞×L（B）×L（eu）求解BSDE（ξ/N，fk，N）并收敛于N→ ∞ 带| Yk，n|∞≤ 每n的c∈ N和1≤ K≤ N、 请注意，Fk+1，nis Lipschitz continuous in yandz with Lipschitz constantKy，zfn，locally Lipschitz u，and saties condition（Aγk+1，N），withγk+1，ns（y，z，u，u，e）：=γnsy+Yk，ns-, z+Zk、ns、u+Uk、ns（e）、u+Uk、ns（e）、eandfk+1，nt（0，0）≡因此，根据有限活动情况（见第4.2节）的存在性和唯一性结果，BSDE（ξ/n，fk+1，n）存在唯一解（Yk+1，n，Zk+1，n），使得Yk+1，nis以▄c.Yk+1，nn为界∈NZk+1，n，英国+1，nn∈NLB×Leufk+1，n，，u | u |。Yl，n，Zl，n，Ul，nbYTlξ/n，fn序列（Yk，n）n∈Nand（Yk+1，n）n∈Nare单调（且有界）innso有限limitslimn→∞Yk+1，n=limn→∞Yk+1，n- 画→∞Yk，Nexist，Pdt-a.e。。

根据引理2.3，序列（Zk，n，Uk，n）n∈Nand（Zk+1，n，Uk+1，n）n∈鼻孔有界inL（B）×L（eu）；因此，（Zk+1，n，Uk+1，n）isLB×LeunDue符合fnand假设2的Lipschitz连续性。，我们得到所有| u |≤ 2c即fk+1，nt（0，0，u）≤fnt公司Yk，nt-, Zk，nt，u+英国，nt- fnt公司Yk，nt-, Zk，nt，英国，nt≤ 2Ky，zfn|Yk，nt-| + kZk，ntk+黑色|u+英国，nt | t+|英国，nt | t+ 2磅≤ 2bK | u | t+eLt，其中eLt=2Ky，zf（^c+supn∈NkZk、ntk+/4）+3bK supn∈N |英国，nt | t+2磅。在这里，我们使用的是感应ZK，n，Uk，nnsupn∈NkZk，ntk |英国，nt | tPtLemma 4.10沿着一个子序列，为了简单起见，我们仍然索引byn。这意味着∈ L（P因此，根据命题4.9，序列（Zn，Un）：=（Zn，n，Un，n）收敛于Lb×LeuZ，ULB×LeuYnYN，nYfnYn-, 锌，Un- fnY公司-, Z、 UnLPt、 fnYn公司-, 锌，Un→ 财政年度-, Z、 ULP公司tZn公司- ZmoB（联合国- Um）* eu属于toS Sby Doob不等式，范数以kZn的倍数为界- ZmkL（B）和kUn- UmkL（eu）。自| Yn起- Ym | Sis由KFN（Yn）主导-, 锌，Un）- fm（Ym-, Zm，Um）kL（Pdt）+C（kZn- ZmkL（B）+kUn- UmkL（eu））C>n，m→YSS的完整性；参见[DM82，VII.3,64]。Y、 Z，Uξ，fYn，Zn，Unn∈Nξ，fnn∈纽约、Z、U∈ s∞×LB×LeufnYn-, Zn，未端tof（Y-, Z、 U）inL（Pdt）。因此，我们有RTFNS（Yns-, Zns，Uns）ds→Rtfs（Ys-, Zs，美国）ds，RtZnsdBs→RTZSDBS和Un* eut→ U* eutP-a.s.（沿子序列）对于所有0≤ T≤ TZCFJ16eu布朗运动。很明显，对于仅由随机被测物u驱动的JBSDE，如果生成器没有az参数，那么现在可以通过放大zBut来添加独立的布朗运动，如第5.1.2节所示。推论4.12。uXXeufxbdxffb、Xf、fnn、ξbZfAγξL∞FXTf、fnPFX BRd+1 BLBEξ，fY，Z，US∞×LB×Leu表示Y是FX自适应的，Z=0，U可以作为相对于toeP（FX）的可测量值。证据LetBbe是一个独立于（B，X）的（1维）布朗运动。那么B：=（B，B）是（d+1）维布朗运动，与x无关。

LetF：=FB，X和'F：=F'B，X忽略（B，X）和（'B，X）的常规过滤。如例2.1.3所示。，（B，eu），（B，eu）和（\'B，eu）分别表示弱PRP w.r.t.F，Fand。现在考虑发电机函数fzefty，ufty，，ubZefnfn·，，·efAγfSinceξis fxt measured and fisp（FX） B（R） B（L（B（E））-可测，然后根据定理4.11ξ，efY，Z，UY，Z，U'Y，'Z，'Uthe∞×L（·）×L（eu）-每个过滤SF、Fand和‘‘F’的空间。注意到‘‘F’的两个分数次过滤，我们通过‘‘Y、’Z、’U’的唯一性得到ZoB=ZoB=’Zo’Bandyfxzzbbs特殊半鞅，并在FX中使用弱可预测鞅表示。用λ（A）=∞ 取fnt（y，z，u）：=bft（y，z）+ZAngt（u（e），e）ζ（t，e）λ（de），（4.4）表示递增序列（an）n∈N↑ λ（An）<∞ （因为λ是σ-定义）。定理4.13。fξL∞FTbfy，zω，t，uu 7→ gt，u，euω，t，Edenity函数g（t，u，e）严格大于-1和局部边界（u）。假设1。存在（bY、bZ、bU）∈ s∞×L（B）×L（eu），带| bU|∞< ∞,bft（bYt、bZt）≡0，gt（但（e），e）≡0,2。函数G局部有界于| u |一致于（ω，t，e），即局部inu（对于0的任何有界邻域N），存在K>0，使得| gt（u，e）|≤ K | u |（适用于所有u∈ N），3。DR 7→ Rg公司≥bfty，z≥ Dy | y |≤ ^c：=|由|∞+ （| bU）|∞/2） +|ξ|∞exp（Ky、zbfT）或g≤ 0和BFT（y，z）≤ D（y）表示| y |≤ ^c.Theni）存在一个解（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）到JBSDE，对于每个解，将随机积分rz dB和U增加三倍* eu是BMO鞅，如果函数g满足条件（Ain），则此解是唯一的。最后，如果条件1，则相同的语句成立。替换为假设fis不依赖于ony，即ft（y，z，u）=ft（z，u），且bf有界。证据我们检查是否满足定理4.11的假设。

明确条件1。和2。a满足假设1。和2。在定理4.11中。fngiven by（4.4）满足条件（Bγn）λAn<∞fn单调递减，取决于g的符号。对于下一个假设4。，fn，^cis从SUP | y界定|≤^cDyinf | y|≤^cDy。gtUnte、eAnegtUte、eLP νasn→ ∞福伦→ UinL（eu），回顾（2.1）。我们挫折：=gt（Unt（e），e）- gt（Ut（e），e）An（e）和cn：=gt（Ut（e），e）Acn（e）。两个序列（Bn）n∈Nand（Cn）n∈Nconverge到0P ν-a.e.sinceUn→ ULP公司 νguAcn↓ BnbK公司supn公司∈N | Unte | Ute|bK>支配收敛定理得到了期望的结果。。fty、z、uftz、ubfeftz、uftz、u- ft，eξRTft（0,0）dt，存在唯一解（eY，Z，U）inS∞×L（B）×L（eu）至BSDE（eξ，ef）RZBU* eugt，e≡英尺，bftYteYt-Rtfs、sY、Z、Uξ、ffAin fithenfsaties（Aγ）（参见示例3.8.3。）因此，命题3.1中比较论证的适用性具有唯一性。示例4.14。在条件2的意义下，函数G局部有界于| u |。在定理4.13if中，例如，u 7→ gt（u，e）对于任何（ω，t，e）都是二次可微的，二阶导数inu在（ω，t，e）和gt（0，e）中是局部一致有界的≡ gt（0，e）≡ 0消失。示例4.15。满足定理4.13假设但具有超指数增长的生成器示例为（2.7）形式的bf≡0和gt（u）=exp（| u+|）-1、这里一般不存在γ∈（0，∞) 因此-γ（e-u/γ+u/γ-（1）≤ gt（u）≤γ（eu/γ- u/γ-1） alluandt持有。因此，该示例似乎不满足所述的指数增长假设，例如，在[AM16][假设（H），Thm.1]、[EMN16][2.条件，定义5.6]或[KTPZ15][假设3.1]中。注意，我们关于JBSDE的比较、存在性和唯一性的定理不需要凸性。

许多相关应用在本质上是凸的，但并非所有应用都是凸的，请参见第5.1.2.5节示例和应用：文献中JBSDE的最佳财务控制结果通常依赖于几个（通常是非常技术性的）数学财务的组合，并通过具体示例说明了与相关文献不同的适用性和范围。反例可能会提醒人们注意潜在的陷阱。衡量和（指数）效用差异估值；这确实是许多（二次、非Lipschitz）JBSDE理论的标准动机，参见[Bec06、BEK09、Mor09、Bec10、LS14、KTPZ15Mor10u坐标可以通过使用鞅最优性原理来转换JBSDE，这是由JBSDE解决方案的电力利用最优控制问题产生的，如[HIM05、HLT17]。据我们所知，考虑过的带有跳跃和乘法责任的电力效用问题首次以这种精神得到解决。最后，第5.3节推导了不完全市场中非良好解除估价问题的JBSDE解决方案，该问题是在乘法稳定的子族上提出的。命题3.1对经典比较结果的轻微推广是有用的；事实上，（5.17）中的过程γ使得命题3.1的鞅条件（3.1）可以轻易验证，而[Roy06，Thm.2.3]中的条件（Aγ）似乎不清楚。kassets（k≤ d） ，其折扣价格根据随机微分方程Dst=diag（Sit）1变化≤我≤kσt（Дtdt+dBt）=：诊断（St）dRt，t∈ [0，T]，（5.1）S∈, ∞kИRdДt∈ ImσTtKerσt⊥T≤ TσRk×dσkdetσTσTtPtbBBR·Дtt。风险的市场价格^1有界Pdt-a.e。。市场是没有套利的，因为等价的局部鞅测度集是非空的。

特别地，Mecontainstheminimal鞅measuredbP：=E(-^1oB）TdP=exp- 英国电信-ZT |Иt | dtdP，（5.2），其中BB是布朗运动，根据Girsanov定理是局部鞅。显然，kdσ测度并非微不足道，过滤则是非布朗的），参见示例2.1.5.1指数效用最大化对于股票价格如（5.1）所示的市场，考虑预期效用最大化问题vt（x）=ess supθ∈ΘEUXθ，t，xT- ξ|英尺, T≤ T、 x个∈ R、 （5.3）用户体验- 经验值-αxα>0，具有一些附加责任ξ，对于财富过程xθ，t，xof容许交易策略θ，定义如下。我们将展示价值如何处理和最优交易策略θ*对于问题（5.3），JBSDE解决方案可以对两种不同的问题案例进行充分描述。5.1.1风险资产连续价格过程的情况可用交易策略集由所有rd值、可预测、S-可积过程θERT |θt | t组成经验值-αRτθtbBtτ停止时间，τ≤ TPx∈ Rt≤ 投资策略θ∈ Θ由Xθs=Xθ，t，xs=X+RstθudbBu，s给出∈ [t，t]。kdfzY，Z，美国∞bP×LbPbB×LbPeuYtξRTtfsYs-, Zs，Uss-RTTZSDBS-生成函数Ft（y，z，u）的最小局部鞅测度下的RTtREUs（e）eu（ds，de）：=-|^1t | 2α+ZEexp（αu（e））- αu（e）- 1αζ（t，e）λ（de）（5.4），这在定理4.13中确实存在。在P下，BSDE的形式为Yt=ξ+ZTtfs（Ys-, Zs，美国）- ^1sZsds-ZTtZsdBs-ZTtZEUs（e）eu（ds，de）。HIM05Vθ∈θ上的ΘVθtvtft随机变量不变量∈Θ，（ii）VθT=- 经验值(-α（XθT-ξ） （）=- 经验值-αx+RTtθsdbBs-ξ,（iii）Vθ是所有θ的上鞅∈存在θ*∈Θ使得Vθ*s（s）∈[t，t]）Pθ*Vθ*不锈钢∈[t，t]EVθT英尺≤ VθtVθ*tE公司Vθ*T英尺θ∈vt（x）=ess supθ∈ΘEVθT英尺= Vθ*T

ansatz Vθ=u（Xθ- Y）yieldsVθs=VθtexpαZstθr- 锆-^1rα博士所有s的E（M）ST∈ [t，t]，带MT=-αZtθr- ZrdbBr+ZtZEexp（αUr（e））- 1） eu（dr，de）和e（M）st：=e（M）sE（M）t。因此，Vθ是所有θ的上鞅∈和θ的鞅*=由于E（M）是形式为E（M）s=exp的（局部）鞅，Z+Д/α-αZs |θu- 祖- ^1u/α| du经验值- αY+ZsθudbBu- Ys公司.利用y的有界性，我们很容易通过[HIM05，Mor10]中的参数得到e（M）是一致可积的，因此是鞅（参见[Bec06]中的等式（4.19））。本屈服强度示例5.1。kdλE≤ ∞Y、 Z，U∈ s∞bP×LbPbB×LbPeuξ，fbPfθ*ZИ/αt≤ t综合效用vt（x）=- 经验值(-α（x- Yt））=Vθ*t、 风险度量，我们将在示例5.3中进一步说明。此外，指数效用偏好下不完全市场中未定权益ξ的效用价格或经济补偿变化的解，参见【Bec10】。实际上，表示byYξ=JBSDEξYξ的解- Y估值过程，见【MS05，Bec06】。5.1.2不连续风险资产价格过程的情况我们进一步说明了【Mor09，Mor10】的结果的范围，他率先提出了稳定性，并通过具体示例证明了与互补CGMY02在范围上的一些显著差异，即U参数中的“二次”，而不是Z参数，不同于，例如。，【Mor10、KTPZ15、LS14、AM16、Yao17】。设u=uLbe与纯跳跃L'evy过程相关联的随机测度，其中L'evy测度λeER \\{}FFLLrandom measureeu=euL：=uL- ν、 当ν（dt，de）=λ（de）时，dtoflone具有弱PRP w.r.t.FμλE≤ ∞Gamma进程的实例。

与第5.1.1节的设置不同，我们现在考虑的是一个金融市场，其单一风险资产价格以非连续的方式演变，由一个纯跳跃过程dst=St给出-βtdt+ZEψt（e）eu（dt，de对于t∈ [0，T]，带S∈ （0，∞),其中β可预测且有界，ψ>-1 iseP可测量，inL（Pλdt）∩L∞（Pλdt）和满足|ψt（e）|λ（de）≤ 常数。Pdt-a.e。。可容许交易策略集由所有r值可预测可积过程θ组成∈ L（Pdt），使得θt（ω）∈ C对于所有（t，ω），对于固定紧集C Rof交易约束包含0。将交易策略θ解释为投资于风险资产的财富量会产生财富过程Xθ，t，X从初始资本X时间t asXθ，t，xs=Xθ，t，xt+Zstθudsuu-= x+Zstθuβudu+ZEψu（e）eu（du，de）, s≥ t、 因为ψ的紧性和ψ∈ L（P λdt）∩ L∞（P λdt），容许θ∈经验值(-αXθτ）|τan F-停止时间一致可积；论点如【Mor10，Lem.1】所示。考虑JBSDE-dYt=f（t，Ut）dt-ZEUt（e）eu（dt，de），YT=ξ，（5.5），终端条件ξ∈ L∞（FT）和生成器f定义的逐点byf（t，u）：=infθ∈C- θβt+ZEgαu（e）- θψt（e）λ（de）, T∈ [0，T]，（5.6）对于函数gα：R→ R与gα（u）：=（eαu- αu- 1） /α。

我们有以下提议5.2。Y、 U型∈ s∞×Leuθ*θ*tft、Utt∈, Tvtx公司- 经验值(-α（x- Yt））=Vθ*t、 证明。Y、 U型∈ s∞×Leu效用最大化问题（5.3）的解决方案实际上由vt（x）=u（x）给出- Yt）（recalluθ*θ*（5.6）中的tωin fimumf（ω，t，Ut（ω）），因为所有（ω，t）都是最优的（通过可测量的选择存在[Roc76]）。ZZ定理4.11及其推论4.12，自ξ起∈ L∞（FLT）和生成器f没有az参数FLT，ωBγnn∈ NFL可预测生成器函数Fn（t，u）：=infθ∈C- θβt+藏αu（e）- θψt（e）λ（de）,安南↑ EλAn<∞N∈ NAn=(-∞, -/n]∪[1/n+∞).让我们参考【Ken15，示例1.32】了解此验证的详细信息，但在此解释如何进一步进行验证。Y、 U型∈ s∞×LeuU* eufAγγu，utesupθ∈Cγθ，u，ute{u≥u} infθ∈Cγθ，u，ute{u<u}，γθ，u，ut（e）：=Rgαl（u- θψt（e））+（1- l） （u）- θψt（e））dl。然后（通过示例3.5和3.8-2）纬纱，Ut- 英尺，Ut≤REγU，UteUte公司- Ute公司λeU，U | U|∞< ∞, |U型|∞< ∞现在letu，ube以c>0为界；当gα（0）=0时，将中值定理应用于γθ，u，u中的gαγθ，u，ute≤ sup | x|≤c | gαx||u | | u | |θ| |ψte|θ∈ CC：=C+kψk∞直径（C）。这意味着（对于c=| U|∞∨ |U型|∞< ∞)supθ∈Cγθ，U，Ut（e）≤ sup | x|≤c | gα（x）||Ut（e）|+| Ut（e）|+直径（C）|ψt（e）|.|infθγθ|≤ supθ|γθ| supθγθ|≤ supθ|γθ|ψ* euψandREψt（e）|λ（de）≤ 施工图。，Pdt-a.e.根据假设），然后是γU，U* eu是BMO鞅ifU* eu和U* euare，多亏了| U|∞< ∞ 和| U|∞< ∞. 因此f满足（Aγ）。示例5.3。（熵凸风险测度）让我们考虑特殊情况β=ψ≡0 andS≡1，即风险资产中没有交易机会的指数效用问题。一个是重要的/αlog Eexpαξ| ftJBSDE描述可以通过指数变换直接识别。