关于带跳BSDE的单调稳定性方法：扩展，

那么dQ：=E（N）TdPde定义了一个绝对值≥[HWY92，Lem.9.40]。作者：Girsanov L：=M- hM，Ni是局部Q-鞅，且不等式f（s，Ys-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）≤ αsbYs-+ βsbZs+ZEγs（e）总线（e）ζs（e）λ（de）P ds-a.e.暗示（RbY）τ∧T≤ （RbY）τ∧T- （LτT- Lτt）。（3.3）定位停车时间τn序列↑ ∞并采取有条件的期望，我们获得（RbY）t∧τn英尺≤ 均衡器（RbY）τn∧T英尺对于每个∈ N、 支配收敛产生估计RtbYt≤ 均衡器RTbξ英尺≤ 0，因此为Yt≤ 年初至今。备注3.2。1、将角色转换为f，我们得到的是iffis Lipschitz iny，zand satis（3.1），而不是f，然后是ξ≤ ξ和f（t，Yt-, Zt、Ut）≤ f（t，Yt-, Zt，Ut）暗示Yt≤ 年初至今。2.YSS∞指数（βoB+γ* eu）为inS。然而，正如所述，命题3.1正是我们在后继推导中需要应用的内容，例如命题4.3和定理4.13。示例3.3。E（γ）的充分条件* eu）是鞅，例如为1。γ* eu>-Eexphγ* euiTE经验值RTRE |γse |νs，e< ∞PS08Thm。9] 。这保持i.p.ifRE |γs（e）|ζ（s，e）λ（de）<常数<∞ P ds-a.e.和γ>-1.2。（γ* eu）≥ -δ>0和γ时为1+δ* eu是Kazamaki[Kaz79]给出的BMO（P）-鞅。γ* eu≥ -γ* eueexphγ* euiT< ∞参见【LM78，Thm.I.8】。当γ有界且|γ|时，满足该条件≤ ψ、 Pdt公司λ-a.e.ψ∈ Lλζ≡比较Thm。【QS13】第4.2条。注意，在上述条件下，随机指数（RβdB+γ* eu）对于β有界且可预测的是一个鞅，正如Novikov的标准很容易看到的那样。CE15生成器，用于通过更改度量参数进行JBSDE比较。γγ关于生成元和鞅性质（3.1）的估计成立。

根据以下定义3.4的要求，续集需要进一步的功能依赖性。Rf（Aγ）P BRd+3 BEγ×T×Rd+3×E→-, ∞ω、 t、y、z、u、u、e7→ γy，z，u，uteY，z，u，u∈ s∞×LB×Leu| U|∞< ∞, |U型|∞< ∞ 它适用于γ：=γY-,Z、 U，Uft（Yt-, Zt、Ut）-英尺（Yt-, Zt、Ut）≤ZEγt（e）（Ut（e）- Ut（e））ζ（t，e）λ（de），P dt-a.e.和e（RβdB+γ* eu）是每个有界和可预测β的鞅。（3.4）fAγuU* eu和U* euin BMO（P）。Lipschitz w.r.t.y和z满足（Aγ）或（Aγ），我们得到这样的解是唯一的。示例3.5。形式（2.6）的生成器f的自然候选γ由γy，z，u，us（e）=gs（y，z，u，e）给出- gs（y，z，u，e）u- uA（e）1{u6=u}，（3.5）P BRd+3 BEggucan表达式γy，z，u，us（e）=Rugs（y、z、tu+（1- t） u，e）dt 1A（e），注意（u- u） Zugs（y、z、tu+（1- t） u，e）dt 1A（e）=Zt[（gs（y，z，tu+（1- t） u，e））]dt 1A（e）。对于（2.7）型发电机，γ仅为γy，z，u，us（e）=Rugs（tu+（1- t） u，e）dt 1A（e）。定义3.6。我们说，生成器f满足条件（a fin）或（Ain fi）（在集合D上）if1。（A fin）：具有λ（A）<∞, Lipschitz连续w.r.t.yandzuniformlyin（t，ω，u）和mapu 7→ g（t，y，z，u，e）对于所有（ω，t，y，z，e）（inD）是绝对连续的（inu）Ohm×【0，T】×R×Rd×E），即（T，y，z，u，E）=g（0）+地毯（T，y，z，x，E）dx，密度为g-Duniformly in（ω，t，y，z，e）。Ain fif.yzt、ω、u和mapu 7→ gt（u，e）对于所有（ω，t，e）（inD）是绝对连续的（inu），即（t，u，e）=g（0）+Rug（t，x，e）dx，密度函数为∈（0，∞) 存在SK（c）∈ 兰德δ（c）∈（0,1）带-1+δ（c）≤ g（x）和| g（x）|≤ K（c）| x |对于所有x，带| x |≤ c、 备注3.7。Ain fig | gx |≤ Kcc？Kc<∞十、∈-c、 条件不要求函数为凸函数，而且不要求函数在u中连续可区分。

这两种方法都有助于应用程序示例，请参见第5.1.2节。示例3.8。条件（Aγ）和（Aγ）的有效条件为1。γ是P B（Rd+3） 满足（3.4）和C（1）中不等式的B（E）-可测函数∧ |e |）≤ γy，z，u，ut（e）≤ C（1∧ |e |）onE=Rl \\{}（l∈ N） ，对于someC∈(-,0]和C>0。在这种情况下，exp（hRβdB+γ* euiT）有明确的界限，rβdB+γ的跳跃* eu大于-1、亨西RβdB+γ* eu[Roy06]为泊松随机测度引入的PS08Aγ条件。2.（A fin）对（Aγ）有效。这源自示例3.3.1、（3.5）和λ（A）<∞.3、Ain fiaγu，ucγ|γy，z，u，use |≤Ruu | gx | x/u- U≤ Kc | u | u | RβBγ* euU* euU* eu-δERβBγ* eu示例3.3.4。如果满足上述条件（A fin），例如，具有λ（A）<∞, 是Lipschitzyzu 7→ gt，y，z，u，eω，t，y，z，eD-DOhm ×[0，T]×R×Rd×E）和局部有界（在u中），一致地在（ω，T，y，z，E）中。Ain fif.yzu 7→ gtu，eω，t，ethe导数在（ω，t，e）中一致局部有界，第一个导数（局部）有界于-1具有下限-对于某些δ>0，为1+δ，以及Gu（t，0，e）≡ 0.但存在合适函数γ的抽象条件，如命题3.1或GeneralCE10ZU中所述。稍后将应用该结果来证明JBSDE解的存在性和唯一性。定理3.9（比较定理）。命题3.1意义上的有界BSDE解之间的比较结果适用于以下每种情况：1。（最终活动）财务状况（A FIN）。2。（内部活动）财务状况（Ain）和* euandU* eu是对应JBSDE解（Y，Z，U）和（Y，Z，U）的BMO（P）-鞅。证据这直接来自命题3.1和示例3.8，注意到与条件（A fin）相关的表示（3.5）分别为。

（Ain）满足例3.3中的充分条件。与经典的先验估计不同，经典的先验估计对数据的BSDE解提供了一些范数估计，下一个结果给出了一个简单的∞-估计解决方案的组成部分。这将有助于推导BSDE解的边界和截断参数。提案3.10。Y、 Z，U∈ s∞×LB×Leuξ，fξ∈ L∞FTfy、zKy、zf（Aγ）和f。（0，0）有界。然后| Yt |≤ 经验值Ky，zf（T- t）|ξ|∞+ （T- t） | f.（0，0）|∞要塞≤ T、 证明。Y、 Z，UY，Z，Uξ，fξ，fY，Z，U，，ξ，f，f在证明命题3.1之后，方程（3.3）变成（RY）τ∧T≤ （RY）τ∧T+Zτ∧Tτ∧tRsfs（0，0，0）ds- （LτT- Lτt），t∈ [0，T]，τLM- 嗯，Nimlocqmrzbru* euM，N：=RβdB+γ* eu，γ：=γ0,0，U，0，概率测量值为≈ dQ给出的PI：=E（N）TdP。局部zinglalong某些序列τn↑ ∞停车次数yieldsEQ（RY）τn∧T英尺≤均衡器（RY）τn∧T+Rτ∧Tτ∧tRsfs（0，0，0）ds英尺. 通过支配收敛，我们得出结论，P-a.eYt≤ 均衡器RTRtξ+ZTtRsRtfs（0，0，0）ds英尺≤ eKy，zf（T-t）|ξ|∞+ （T- t） | f·（0，0，0）|∞.NRβBeγ* eueγγ0,0,0，UQPdQ：=e（N）TdP，我们推断L：=M- hM，Ni在Mloc（Q）和（RY）τ中∧T≥ （RY）τ∧T+Zτ∧Tτ∧tRsfs（0，0，0）ds- （LτT- Lτt），t∈ [0，T]，对于所有停止时间τ。这将产生所需的下限。同样，我们可以在生成函数上指定显式条件，这些条件有助于确保前面结果的更抽象假设。提案3.11。Let（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）是含ξinL的BSDE（ξ，f）的溶液∞（FT），fbeing Lipschitz continuous w.r.t.（y，z）with Lipschitz constantKy，zf等thatf。（0，0）是有界的。假设以下条件之一成立：1。（有限活动）满足度（A fin）。2。

（固定活动）f满意度（Ain）和U* eu是BMO（P）-鞅|Yt |≤ 经验值Ky，zfT- T|ξ|∞T- t | fs|∞T≤ T | Y|∞≤ 经验值Ky，zfT|ξ|∞+ T | fs（0，0，0）|∞.证据这直接来自命题3.10和示例3.8，因为满足条件（Aγ）（分别为Aγ））使用方程（3.5）。在本节的最后一部分，我们将比较定理应用于更具体的生成器。为此，我们考虑在边界a<b（仅取决于时间）aseft（y，z，u）：=ft处截断生成器Fκ（t，y），z，κ（t，y+u）- κ（t，y）, （3.6）κt，y在∨ Y∧ btAγ截断边界，则截断的生成器处处满足（Aγ）。引理3.12。财政年度，Uat≤ 年初至今-, 年初至今-Ute，Yt-Ute公司≤ btt公司∈, TγE（γ*eu）。不足之处（3.4）。尤其是集合where（t）上的iffsaties（A fin）≤ y、 y+u≤ b（t）thenef是（y，z）中的Lipschitz，局部是u中的Lipschitz，满足（Aγ）。证据使用x 7的单调性→ κ（t，x），我们得到thateft（Yt-, Zt、Ut）-eft（Yt-, Zt、Ut）等κ（t，Yt-), Zt，κ（t，Yt-+ Ut）- κ（t，Yt-)- 英尺κ（t，Yt-), Zt，κ（t，Yt-+ Ut）- κ（t，Yt-)≤ZEγt（e）κ（t，Yt-+ Ut（e））- κ（t，Yt-+ Ut（e））ζ（t，e）λ（de）≤ZEγt（e）{γ≥0，U≥U} +1{γ<0，U<U}Ut（e）- Ut（e）ζ（t，e）λ（de）。设置γ*:=γ{γ≥0，U≥U} +{γ<0，U<U}我们看到随机指数RβdB+γ**eu是所有有界和可预测过程β和f满足的鞅（3.4）。后一种说法很可能源于这样一个事实，即Iffsaties（A fin）ona（t）≤ y、 y+u≤ b（t）Thenfsaties（3.4）ona（t）≤ 年初至今-, 年初至今-+Ut（e），Yt-+Ut（e）≤ b（t）使用示例3.8.2。f的Lipschitz性质来自于κ是一个收缩，f是截断界内的Lipschitz。混凝土∞-命题3.13给出了具有合适BF部分的BSDE（ξ，f）有界解的界。Fbfty，z≤ KK | y | K，K≥gty、z、e≡ξ∈ L∞联邦贸易委员会≤ ξ≤ cc，c∈ RabytKK | yt | yTcy（t）=-（K+K | y（t）|），y（t）=相关，因此≤ 苯教[0，T]。

如果截断的generatorefin（3.6）满足（Aγ）且为（y，z）中的Lipschitz，则任何解（eY，eZ，eU）∈ s∞×L（B）×L（eu）到JBSDE（ξ，ef）也可以求解JBSDE（ξ，f）和满足a（t）≤eYt公司≤ b（t），t∈ [0，T]。证据我们设置Yt：=κ（t，eYt），Zt：=eZt，Ut（e）：=κ（t，eYt-+eUt（e））- κ（t，eYt-) andfit（y，z，u）：=bfitκ（t，y），z+ZEgt公司κ（t，y），z，κ（t，y+u）- κ（t，y），eζ（t，e）λ（de），带bft（y，z）：=-（K+K | y |），bft（y，z）：=bft（y，z）和bft（y，z）：=K+K | y |。根据假设SAT、c、fbt、c、fef≤ef公司≤efc公司≤ ξ≤ cefAγat≤eYt公司≤ btYeYUeUL（eu）和（eY，eZ，eU）求解BSDE（ξ，f）。在下一节中，我们将这些结果应用于两种情况：使用推论4.4，我们在第5.2.4节有界解的存在性和唯一性中通过JBSDE方法给出了BEC06最大化问题。本节使用单调稳定性方法研究带跳跃的BSDE。在有限活动（straighforward）结果的基础上，采用单调近似法处理有限活动情况。4.1有限活动定义4.1。发电机功能满足条件（Bγ），如果是Lipschitz连续iny，zuu 7→ fty，z，-C∨ U∧ c对于任何c连续∈ （0，∞)), f、 （0,0,0）是有界的，f满足条件（Aγ）。下一个结果很容易得出命题4.3，对于λ（A）<∞.提案4.2。ξ∈ L∞FTfBγ（Y，Z，U）英寸∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f）。此外，对于allt∈[0，T]，| Yt |以exp为界Ky，zf（T- t）|ξ|∞+ （T- t） | f.（0，0，0）|∞.证据考虑Lipschitz生成器fct（y，z，u）：=fty、 z，（u∨(-c） （）∧CC>0且LipschitzKfcBec06Yc、Zc、Uc∈ S×LB×Leuξ，fc | Yct |≤ CE公司|ξ|+ZTt | fcs（0，0，0）| ds英尺≤ C|ξ|∞+ T | f.（0，0，0）|∞< ∞,CCT、肯德基|Yct扩展Ky，zfT- T|ξ|∞T- t | f|∞c>c≥经验值Ky，zfT|ξ|∞T | f.（0，0）|∞我们用Yc得到（Yc，Zc，Uc）∈ s∞求解BSDE（ξ，f），因为UCIS由c限定。

唯一性在于比较。如果跳跃是有限活动的，这将导致关于有界解的初步结果。提案4.3。Letξ∈ L∞（FT）和Letfsatify（A fin）（召回定义3.6）with f。（0，0）Y，Z，US∞×LB×Leuξ，F所有t∈ [0，T]，| Yt |以exp为界Ky，zf（T- t）|ξ|∞+ （T- t） | f.（0，0，0）|∞.证据对于局部有界密度函数，命题3.11和4.2给出了该主张。推论4.4。ξ∈ L∞自由贸易区，z，，e≡和| bft（y，z）|≤ K+K | y |对于某些K，K≥ 0.Setb（t）=（（|ξ）|∞+KK）exp（K（T- t） （）-KK，K6=0 |ξ|∞+ K（T- t） ，K=0。然后存在唯一的解决方案（Y、Z、U）∈ s∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f），且| Yt |≤ btfor t∈ [0，T]。最终RZ dB和U* eu是BMO（P）-鞅。证据Y、 Z，美国∞×LB×Leuξ，efξ，f-b（t）≤ 年初至今≤ b（t），T∈[0，T]。唯一性源于这样一个事实，即可以将comparisonTheorem 3.9应用于满足（A fin）要求的生成器。BMO性质源自引理2.3。备注4.5。推论4.4与Thm相似。[Bec06]中的3.5，但其证明有所不同：它依赖于JBSDE之前的比较结果，而不是停止参数。[Bec06，Thm.3.6]推论4.6条件下的随机积分。ξ∈ L∞FTξ≥ CC>K≥atC扩展-千吨级- tbtξ|∞expKT公司- TT∈, TfA公司≤ y、 于≤ dc，d∈ R<c<dbfty，z≤ K | y | gty，z，，eThen存在唯一的解决方案（y，z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f），带y≥ 对一些人来说 >0。此外，它保持SA（t）≤ 年初至今≤ b（t）和Rzdbandu* eu是BMO（P）-鞅。证据Y、 Z，Uξ，fY≥  >fA fina（t）∧  ≤ y、 y+u≤ b（t）∨ |Y型|∞; 因此，通过比较，这些解决方案是一致的。示例4.7。Kγ|Д|∞/2（1- γ）对于某些γ∈ （0，1）和一些可预测且有界的过程Дwe defineft（y，z，u）：=bft（y，z）+ZEgt（y，u，e）ζ（t，e）λ（de）：=γ2（1- γ） |Дt | y+ZE1.- γ（（u（e）+y）1-γyγ- y）- u（e）ζ（t，e）λ（de）。Gyt，y，u，eu+yy1.-γγ1-γu+yy-γ-1.-γ、 fytruncation界限。

此外，gis与有界导数连续可微，我们有Gu（t，y，u，e）=u+yy-γ- 1>-1，对于c≤ y、 y+u≤ d、 4.2在有限活性fty、z、uαtαtyβtzREγteueζt、eλe、可预测系数α、α、β和γ的情况下，JBSDE解可以用伴随过程表示。在有界解的背景下，伴随过程需要相当弱的条件。这将在后面的第5节中使用。证明的思想是标准的，请参阅[Ken15，Lem.1.23]了解详细信息。引理4.8。设f是上述形式的线性生成器，ξ在L中∞（英尺）1。假设（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）求解BSDE（ξ，f）。假设伴随词∈[t，t]expRstαuuERβBγ* eusts∈[t，t]St≤ Tα有界。然后Y表示为Yt=EΓtTξ+RTtΓtsαsds | Ft.2、设α、α、β和γt：=RE |γt（e）|ζ（t，e）λ（de），t∈[0，T]，有界且γ≥ -1、那么S中有一个独特的解决方案∞×L（B）×L（eu）至BSDE（ξ，f）和第1部分。适用。λA。。Kob00f。A取λ（A）=∞) 按顺序（fn）n∈Nof形式（2.7）（λ（An）<∞)在保证解存在的情况下，得到这些解的极限存在，并用原始数据求解BSDE。正如在[Kob00]中一样，单调近似方法被认为不容易执行，一个主要问题通常是证明强收敛ξξ，fnn∈N/nmor10smor10kob00或10正在考虑的设置中的近似步骤。与[EMN16，Mor10，Yao17]，UZfrom[KTPZ15，Thm.5.4]等不同，无论是在证明方法上还是在范围上：他们通过遵循[Tev08]的定点方法证明了小终端条件的存在，而我们展示了小终端条件的稳定性（命题4.9），并应用了不同的粘贴程序，近似我们能够在近似序列的统一先验界内进行论证。

第5节中的例子表明，我们的结果范围也是不同的。更详细地说，下一个定理4.11的任务是构造生成器（fk，n）1≤K≤N、 N个∈NYk，n，Zk，n，Uk，nξ/n，fk，nNthat（Yk，n，Zk，n，Uk，n）收敛于ifn→ ∞和（Yn，Zn，Un）：=PNk=1（Yk，n，Zk，n，Uk，n）求解ξ，fnYn，Zn，UnBSDE（ξ，f）。对于这个程序，我们接下来将显示JBSDE的稳定性结果。提案4.9。ξn L∞FTξn→ ξLFTfnn∈Nfn。，，，nBγnKy，zfsupn∈NKy，zfn<∞用（Yn，Zn，Un）表示∈ s∞×L（B）×L（eu）BSDE（ξ，fn）的解，其中以ξ为界|∞expKy，zfnT | c |ξ|∞expKy、zfTYnZn、Un→（Z，U）弱收敛于L（B）×L（eu）和| fnt（0，U）|≤bK | u | t+BLT用于所有带| u |的NanduW≤c，bK∈ R+bL∈ 有限合伙人tZn、UnZ、ULB×Leu|ξ|∞≡ c exp(-Ky，zfT）≤ 经验值(-Ky，zfT）/（80最大值{Ky，zf，bK}）。证据我们注意到（Yn、Zn、Un）由命题4.2唯一定义。

证明（Zn）n的强收敛性∈Nand（Un）n∈Nwe考虑δY：=Yn- Ym，δZ：=Zn- Zm，δU：=Un- 将一般半鞅的It^o公式应用于（δY），得到（δY）=（δYT）+ZT2δYs-（fns（Yns-, Zns，Uns）- fms（Yms-, Zms、Ums）ds-ZTkδZskds- 2ZTδYs-δZsdBs-ZTZE（δYs-+ δUs（e））- （δYs-)eu（ds，de）-ZTZE（δYs-+ δUs（e））- （δYs-)- 2δYs-δUs（e）ν（ds，de）。注意到随机积分是鞅，我们得出的结论是ZT2δYs-（fns（Yns-, Zns，Uns）- fms（Yms-, Zms、Ums）ds= EZTZEδUs（e）ν（ds，de）+ EZTkδZskds- E（δYT））+E（（δY）.（4.1）使用不等式a≤ a+/4，（a+b）≤2（a+b），（a+b+c）≤3（a+b+c），fnin y和z的lipschitz性质以及fnt（0，0，u）的估计，我们有| fns（Yns-, Zns，Uns）- fms（Yms-, Zms，Ums）|≤ Ky，zfn（| Yns-| + kZnsk）+Ky，zfm（| Yms-| + kZmsk）+bK | Uns | s+bLs+bK | Ums | s+bLs≤ K+2bLs+K（KδZsk+kZns- Zsk+kZsk+|δUs | s+| Uns- Us | s+| Us | s），（4.2）KKy，zf | c/2∈ RKmax{Ky，zf，bK}|·| tinequalities（4.1）和（4.2）yieldsEZTkδZsk+|δUs | sds≤ 2E类ZT |δYs-|（K+2bLs+K（KδZsk+kZns- Zsk+kZsk+|δUs | s+| Uns- Us | s+| Us | s））ds+ E（ξn- ξm）.让我们回顾一下，y的可预测投影，用yp表示，定义为唯一的可预测xxτEYτ| Fτ-{τ<∞}τynpyn-JS03YNLEET连续，asYτ=U* 在{τ<∞}由于补偿器ν的绝对连续性，保持所有可预测时间τ。