关于带跳BSDE的单调稳定性方法：扩展，

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英文标题：
《On the monotone stability approach to BSDEs with jumps: Extensions,
  concrete criteria and examples》
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作者：
Dirk Becherer and Martin B\\\"uttner and Klebert Kentia
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We show a concise extension of the monotone stability approach to backward stochastic differential equations (BSDEs) that are jointly driven by a Brownian motion and a random measure for jumps, which could be of infinite activity with a non-deterministic and time inhomogeneous compensator. The BSDE generator function can be non convex and needs not to satisfy global Lipschitz conditions in the jump integrand. We contribute concrete criteria, that are easy to verify, for results on existence and uniqueness of bounded solutions to BSDEs with jumps, and on comparison and a-priori $L^{\\infty}$-bounds. Several examples and counter examples are discussed to shed light on the scope and applicability of different assumptions, and we provide an overview of major applications in finance and optimal control.
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中文摘要：
我们将单调稳定性方法简洁地推广到由布朗运动和跳跃随机测度共同驱动的倒向随机微分方程（BSDE），跳跃可能具有无限的活动性，具有不确定性和时间非齐次补偿器。BSDE生成函数可以是非凸的，在跳跃被积函数中不需要满足全局Lipschitz条件。我们给出了关于带跳跃的BSDE有界解的存在性和唯一性的结果，以及关于比较和先验$L ^{\\infty}$-界的结果，这些结果很容易验证。讨论了几个例子和反例，以阐明不同假设的范围和适用性，并概述了在金融和最优控制中的主要应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_monotone_stability_approach_to_BSDEs_with_jumps:_Extensions,_concrete_cri.pdf (887.19 KB)

2022-5-25 11:19:33 上传

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关键词：BSDE 稳定性 SDE Differential Applications

带跳跃的盲源分离系统的单调稳定性方法：推广、具体准则和实例*Dirk Becher+Martin B¨uttner Klebert Kentia2019年11月21日抽象均匀补偿器。BSDE生成函数可以是非凸的，并且不需要易于验证的标准，以获得关于带跳跃的SDES有界解的存在性和唯一性的结果，以及关于比较和a-prioriL的结果∞-边界。本文讨论了几个例子和反例，以阐明不同假设的范围和适用性，并概述了金融和最优控制的主要应用。关键词：倒向随机微分方程、随机测度、单调稳定性、L′evyprocess、分步过程、效用最大化、熵风险测度、良好估值边界SC2010:60G57、60H20、93E20、60G51、91G801简介我们研究jumpsYt=ξ+ZTtfs（Ys）的倒向随机微分方程的有界解（Y、Z、U-, Zs，美国）ds-ZTtZsdBs-ZTtZEUs（e）eu（ds，de），由布朗运动带a补偿随机测量共同驱动eu=u- νPu，F，P由补偿的随机测量值eu驱动，并在非布朗过滤上进化。此类JBSDE确实涉及一个关于补偿跳跃被测量者u的额外随机积分，其积分du与z不同，通常取有限维函数空间中的值，而不是欧几里德空间中的值。与布朗情形相比，带跳跃的BSDE的比较定理需要更精细的技术条件，参见[BBP97，Roy06，CE10]。本文的出发点将是对[Roy06]中的开创性（aγ）-比较条件的一个轻微概括。

我们对JBSDE有界解的比较、存在性和唯一性结果的第一个贡献是对一个生成元族（2.6）的有限跳跃活动（不需要是Lipschitzumor09）的扩展，在没有布朗运动的纯跳跃情况下可能特别有吸引力，见推论4.12。*有关最终出版物，请参阅《随机分析前沿——BSDE、SPDE及其应用》，Springer，2019，DOI 10.1007/978-3-030-22285-7 1+洪堡大学数学研究所，地址：德国柏林大学林登分校，D-10099德国法兰克福歌德大学数学研究所，法兰克福，D-60054。电子邮件：kentia（at）aims。ac.za，becherer（at）数学。胡柏林。de.arXiv:1607.06644v4【数学公共关系】2019年11月20日，从给定的族（2.6）w.r.t.到基本的欧几里德参数，而不是在第3节中假设比较结果的不平等条件（见定理3.9和命题3.11，与命题3.1或[Roy06]的结果和相应的改进[QS13、KP16、Yao17]），并说明我们的结果的范围和适用性，以及文献中普遍存在的假设（通常是技术性的）的范围和适用性，也可能会对可能的陷阱提出警告。本文中的方法可以更详细地描述如下：比较结果将提供关于THL的基本先验估计∞-JBSDE解决方案的标准组件。这一步骤能够快速得出JBSDE的存在性和唯一性的中间结果，该结果具有确定跳跃序列的生成器，其解确实存在，扩展了[Kob00]和（对于特定JBSDE）[Mor09]的单调稳定性方法。对于本文，补偿器ν（ω，dt，de）uω，t，eλe这应该是自然的，例如。

在L'evy过程设置中，但允许不均匀，因为它可以ω，tνλtλσ我们假设eu与b（或单独）共同满足鞅的弱可预测表示的性质，见（2.2）。如例2.1中所述，这种设置允许在ANDEu之间存在一系列随机依赖关系，这似乎对应用程序建模有用，并包含BSDE中跳跃的任何有趣驱动噪声；这包括L'evy过程、泊松随机性以及广泛的文献，例如[CE10、CE15、CFJ16、GL16、GS16a、GS16b、BC17]。关于BSDE的文献始于对平方可积解的经典研究【PP90】，该可积解涉及到非Lipschitz但在Z上具有二次增长的生成器F，对于该生成器，Kob00tev08tl94bbp97ban15pps16kp16kp17efo17在全局Lipschitz条件下关于on（Z，U）的结果。据我们所知，在本文中，[Mor09]首先使用了[BEK13]中AEMN16半鞅方法的单调稳定性方法，以及[LS14]或[KTPZ15]使用了不同的方法，分别依赖于对偶方法或二次BSDE的[Tev08]的定点思想。ForkP16Yao17为生成器提供了唯一的解决方案，因为它们的组件是单调的，在许多方面都非常通用。例如，他们对过滤或发电机对（Y，Z）的依赖性的假设比我们的假设更一般。但本文件在上述其他方面仍有贡献。例如，[Yao17]假设跳跃活动有限，且Lipschitz连续。该文件，参见第5节中的示例。此外，可以公平地说，JBSDE文献中关于这些假设差异的结果，讨论具体示例和应用似乎很有帮助。本文的组织结构如下。

第二节介绍了背景和数学背景。在第3-4节中，我们证明了比较结果，并说明了有界2预备阶段的存在性和唯一性。本节介绍了技术框架，设置了符号并讨论了关键条件。首先是关于随机积分w.r.t.随机测度和由布朗运动和补偿随机测度共同驱动的后向SDE有界解的所有基本事实。对于此处未解释的随机分析概念，我们参考[JS03，HWY92]。聚丙烯tT<∞(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）过滤概率空间，过滤f=（Ft）0≤T≤t满足矩阵的usualftfppeepattranspose并简单写入y：=x对于两个向量x的标量积，yofHBEσEH \\{}HRll∈ 新罕布什尔州` RNE，BEB可预测处理ZW。r、 相同维数的半鞅，如X=B，是从零开始的标度值半鞅，用（0，t]ZdX=RtZdX=ZoXtfort表示∈[0，T]。可预测的σ字段Ohm×[0，T]（宽r.T.（Ft）0≤T≤T） 用pandep表示：=P B（E）是相应的σ-场Ohm := Ohm ×[0，T]×E.uννPPλtσλE，BERE1∧ |e |λ（de）<∞ 具有一些可测量、有界和非负密度ζ，使得ν（dt，de）=ζ（t，e）λ（de）dt=ζtdλdt，（2.1）≤ ζt，e≤ cνP λtcν>LλLζtλ可分Hilbert空间，因为λ（和λt：=ζtdλ）是σ-有限的，并且b（E）是完全生成的。由于密度ζ可以随（ω，t）变化，补偿器ν可以是时间不均匀和随机的。（B，eu）的更丰富依赖结构的许可证；例如，UleuLω，tLλζ的强度和分布≡此类账户。对于随机积分w.r.t。

eu和B我们定义了一组R值过程Sp：=Sp（P）：=nY c\'adl\'ag：| Y | P：=sup0≤T≤T | Yt|Lp（P）<∞ofor p∈ [1，∞] ,L（eu）：=nUeP可测量：kUkL（eu）：=eZTZE | Us（e）|ν（ds，de）< ∞o、 Rd值过程集sl（B）：=nθP-可测：kθkL（B）：=EZTkθskds< ∞o、 eueuPu- νuPUE | U |* uTE | U |* νT | U|* u1/2UeuU* euREUteu{t}，etJS03νλtZ公司∈ LBU公司∈ LeuZoBU* euU* eut0≤T≤TU公司* eutRtREUseeus，emartingales by【JS03，Thm.II.1.33】。ForZ，Z∈ L（B）andU，U∈ L（eu）我们可以预测U* eu，U* euTRTRUSEUSEνs，eJS03RZ dB，RZdBit=RtZTsZsds和RZ dB，U* eu[JS03，Thm.I.4.2]中的t=0。我们用k·km表示平方可积鞅的空间，其范数为k·km，其中kmkm=EMT/2hwy92pbmop包含具有一致有界跳跃和有界条件的平方可积鞅对二次变分过程增量的期望：sup0≤T≤TE（公吨- Mt）|英尺L∞（P） =sup0≤T≤TEhMiT公司- hMit |英尺L∞（P）≤ 常数<∞.Beueub具有弱可预测表示特性（弱PRP）w.r.t。过滤（Ft）0≤T≤T、 因为每个平方可积鞅M都有一个（唯一）表示，即对于所有M∈ M存在Z，U，使得M=M+ZZ dB+U* eu，（2.2）Z∈ LBU公司∈ LeuJS03§HWY92§。MZUMin这样的分解两个被积函数都必须至少是局部平方可积的，并且HMI=R | Z | dt+| U|* 利用随机积分的强正交性。ThenE【hMiT】<∞在相应的空间中表示thatz，Uare。我们举例说明（2.2）如何与广泛的文献联系在一起。示例2.1。弱可预测表示属性（2.2）适用于以下情况。案例1-4、从经典理论[HWY92]可知，详见[Bec06，例2.1]。1.LetXbe a L'evy过程，x=0，可预测特征（α，β，ν）（undp）。然后是连续鞅partXc（如果β6=0，则重新标度为布朗运动，或者是平凡的βeuXuX- νx通常的过滤fx由x生成。

有限活动的L'evy过程的一个例子是JS03随机连续性。2、假设Bandeu满足（2.2）Untp。让我们用密度过程z来表示一个等价的概率测度。然后布朗运动B：=B-R（Z-)-1MHz，Biandeu：=u- νPPto构建W和eu不独立的示例，基于其他示例。3.Lebbe独立于阶跃过程x的布朗运动（在[HWY92，Ch.11]的意义上）。跳变测度uXofX的补偿测度ThenBandeu具有弱xb多变量（非爆炸性）点过程，如【CFJ16】所示。X（2.2）适用于布朗运动和独立马尔可夫链生成的过滤，即各纯跳（半）马尔可夫过程的CE10CF14BC17随机测度。马尔可夫链X可数状态空间可以选择[CE10]来获取单位向量集合{ei:i]中的值∈ N} 序列空间的` RN，带跳跃X取值ei- ej，i，j∈ N、 5。U* euU∈ Leu正交鞅。更准确地说，假设补偿器与乘积λ一致tζunn∈NHilbert空间L（λ），标量乘积为hu，vi：=REu（e）v（e）λ（de）。LEUT=Pn∈NhUt，uniunbe Utfor U的基础扩展∈ L（eu），t≤ T然后它保持（M）U* eu=Xn∈NZ·hUt，uniZEun（e）eu（dt，de）=：Xn∈NZ·αntdLnt=Xn∈NαNoLn，（2.3）αnthUt，uniLnun* euFntPnk=1 hut，ukiukPnk=1αktukone看到了那kp∞k=1 |αk | kL（Pdt）≤ kUkL（eu）<∞. 由支配收敛得到→ ∞肯德基- UkL（eu）=e中兴通讯| Fnt（e）- Ut（e）|λ（de）dt= EZT公司∞Xk=n+1 |αkt | dt→ 等距意味着随机积分fn* euconverge toU* euinM，证明（2.3）。特别是，我们看到了PRP（2.2）w.r.t.一个随机测度如何被重写为一系列普通随机积分w.r.t.标量值强正交鞅，这实际上是具有确定性特征（0，Run（e）λ（de））的L'evy过程。

从这个意义上讲，一般条件（2.2）与[NS00，NS01满足指数矩条件的L'evy过程中的L'evy过程的PRP和BSDE结果有很好的联系。有关包含一般L'evy过程的相关PRP结果的系统分析，请参见[DTE15b，DTE15a]。之前的论点可以扩展到ζ6的一般情况≡1英寸（2.1）。为此，假设Unleut≤ TUntn公司∈NLλtλtζtλhu，vitREueveζt，eλeabove，αnt：=hUt，Untitand Ln：=Un* euone得到鞅的等式（单位：M）U* eu=Xn∈NZ·hUt，unitzeunt（e）eu（dt，de）=：Xn∈NαNoLn。为了继续，我们现在定义了一个后向SDE的解决方案，其跳跃为空间Sp×L（B）×L（eu）中过程的三重（Y，Z，U），对于适当的p∈ （1，∞] 满足度t=ξ+ZTtfs（Ys-, Zs，美国）ds-ZTtZsdBs-ZTtZEUs（e）eu（ds，de），0≤ T≤ T、 （2.4）ξ，fFTξfty，z，ufω，T，y，z，upp∞ν在（2.1）中具有有界但可能非恒定密度ζ的时间不均匀，它不保持λU∈ LeuffuLin一般（需要大于l（λ）），因为u=Ut（ω，·）的可积性超过∈ Emay varywith（ω，t）。在合适的更大领域，通常必须承认才能获得非单位价值。为此，让我们用byL（B（E），λ）表示所有B（E）-可测函数的空间，其拓扑在度量和定义上收敛| u- u | t：=ZE | u（e）- u（e）|ζ（t，e）λ（de）, （2.5）u，uLBE，λξξ∈ LFTξ∈ L∞（FT）f×，T×R×Rd×LBE，λ→ 卢比 BRd+1BLBE，λ。。公式为ft（y，z，u）：=bft（y，z）+ZAgt（y，z，u（e），e）ζ（t，e）λ（de）（其中定义明确）（2.6）和ft（y，z，u）：=∞ 其他地方，或更具体地说（对于不依赖于y，z的g分量）ft（y，z，u）：=bft（y，z）+ZAgt（u（e），e）ζ（t，e）λ（de）（如有明确定义）（2.7）和ft（y，z，u）：=∞在其他地方，对于aB（E）-可测量设置A和组件功能BF，G其中BF：Ohm ×【0，T】×R1+d→ 卢比 BRd+1g：Ohm ×【0，T】×R1+d×R×E→ 卢比 B（Rd+2） B（E）-可测量。

很明显，表（2.6）的生成器的声明也适用于（更具体的）表（2.7）。（In）有限活动与λ（A）<∞（分别为λ（A）=∞). 一个简单但有用的技术引理阐明了我们如何（并且始终）在有界Y的BSDE解决方案（Y，Z，U）中为U选择有界代表。引理2.2。Let（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）是某些JBSDE（2.4）的溶液，数据为（ξ，f）。然后存在一个代表性Uof u，按点方向以2 | Y为界|∞, 使得u=Uin L（eu）和P dt-a-e.，and（Y，Z，U）求解BSDE（ξ，f）。证据Mor09Bec06uω，t，ePs≥0Dω，sδ（s，βs（ω））t，eEβDuJS03§YtωYt- 年初至今-ωREUtω，euω{t}，eDω，tUtω，βtω| Y|∞Utω，eUtω，eDω，t{βt}eUt（ω，βt（ω））=Ut（ω，βt（ω））onD和ps≥0D（ω，s）| Us- Us |（ω，βs（ω））=0简单[| U-U型|*νTE | U- U型|* uTUULeuUtUtLBE，λ由（Y，Z，U）求解。在这些条件下，我们可以并且将采取两倍于y范数的约束；定义| U|∞:=ess sup（ω，t，e）| Ut（e）| forU∈ L（eu）产率| U|∞≤|Y型|∞对于任何有界BSDE解（Y、Z、U）。下一个引理指出，当某个截断生成函数从上（下）有界时，有界JBSDE解的随机积分是BMOmartingales+(-)HMI对于BMO鞅；此外，他们的BMO规范仅取决于| Y|∞, 《地平线》的BMO标准。有关证明的详细信息，请参见[Ken15，Lem.1.3]，并注意Mc14Lemma 2.3的BMO属性。Let（Y，Z，U）∈ s∞×L（B）×L（eu）是BSDE（ξ，f）的有界解。假设∈ BMOPRTtfs（Ys-, Zs，美国）ds≤ 嗯iT- hMit公司-RTtfsYs公司-, Zs，Uss≤ hMiT公司- hMit。特恩尔兹班杜* eu是BMO鞅，它们的BMO范数（分别为Lnorms）由一个依赖于| Y的常数限定|∞和kMkBMO（P）（分别为。

在| Y|∞, 3比较定理和先验估计主要比较定理3.9和先验估计的阶段∞-命题3.11ROY06的估计度量变元的阐述略有不同，随机γ特定条件对生成器的可测量依赖性意味着存在解，我们只坚持我们有解，并施加一个广义（aγ）-条件，如例3.8.1所述。提案3.1。Let（一、子、Ui）∈ s∞×L（B）×L（eu）是BSDE（2.4）的数据（ξi，fi）的解，i=1,2。假设fis-Lipschitz连续w.r.t.yandz。设γ：Ohm×【0，T】×Rd+3×E→[-, ∞) （ω，t，y，z，u，u，e）7→ γy，z，u，ut（e）be aP B（Rd+3） B（E）-可测函数，如γ：=γY-,Z、 U，Uit保持SF（t，Yt-, Zt、Ut）- f（t，Yt-, Zt、Ut）≤ZEγt（e）（Ut（e）- Ut（e））ζ（t，e）λ（de），P dt-a.e.和随机指数e（RβdB+γ* eu）是（3.2）中β的鞅。（3.1）ξ≤ ξft，Yt-, Zt，Ut≤f（t，Yt-, Zt，Ut），P dt-a.e.，一起表示Yt≤ Ytfor all t公司≤ TRoy06QS13KP16Yao17γ有效比较标准，可通过检查混凝土相关性更容易验证。r、 t.对于类型（2.6）的生成器函数，基本上是欧几里德参数。在E=R \\{0}和ζ上具有L'evy类型跳转度量的设置中，也可参见[GS17]以获得更简单的版本≡ 1.证据我们定义ξ：=ξ- ξ、 发件人：=Y- Y、 bZ：=Z- ZandbU：=U- U、 过程αs：=1{Ys-6=Ys-}f（s，Ys）-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）（Ys-- Ys公司-),βs：=1{Zs6=Zs}f（s，Ys-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）kZs- Zsk（Zs- Zs）（3.2）和Rt：=exp（Rtαsds）由于Lipschitz假设onf而有界。如【Roy06】中所述，将It^o公式应用于τ之间的RbY∧ t和τ∧ T对于某些停止时间τ产生（RbY）τ∧t=（RbY）τ∧T+Zτ∧Tτ∧tRs公司f（s，Ys）-, Zs，美国）- f（s，Ys）-, Zs，美国）ds公司-Zτ∧Tτ∧tRsbZsdBs-Zτ∧Tτ∧tZERsbUs（e）eu（ds，de）-Zτ∧Tτ∧tRsαsbYs-ds。SetM：=RRbZdB+（RbU）* eu和N：=RβdB+γ* eu。