异质性对羊群行为和系统性风险的影响

本文中我们看到，在σi的合理范围内，当αi相对σi大时，αi大的扩散过程将在平均行为周围产生“膨胀效应”。另一方面，σi\'s值大而αi\'s值小的系统将在很大程度上影响系统的稳定性。因此，整个系统更容易进入默认状态，这由观测1指示。相反，如果小αi与小σi相结合，大αi与大σi相结合，则系统更稳定，即观测2。从第2节中，我们了解到，当σi不同但αi相同时，尾部违约概率与NPNi=1σi正相关。现在，我们采用不同的σi和αi，这可能导致更复杂的行为。因此，我们还推测，系统的组成也可能影响系统性风险。回顾两组A和B，每组由三个不同的亚组组成：A组：{（α，σ）I，（α，σ）II，（α，σ）III}={（1，2），（10，1），（100，0.5）}B组：{（α，σ）I，（α，σ）II，（α，σ）III}={（1，0.5），（10，1），（100，2）}（3.1）考虑两种情况，情况A和情况B，了解每组中每种类型的药物的比率。我们的目标是调查网络不同结构对尾部违约概率的影响。在案例A中，I、II和III型药剂的比例分别为8:1:1、1:8:1和1:1:8。在情况B中，相应的比率为5:3:2、2:5:3、2:3:5。在以下案例A的轨迹图中，I、II和III型试剂分别对应于浅灰色线、深灰色线和黑色线。

实心水平线表示“默认水平”η=-0.7，中心粗体红线表示平均轨迹。A组：{（α，σ）I，（α，σ）II，（α，σ）III={（1，2），（10，1），（100，0.5）}图5：药剂比例的轨迹8:1:1图6：药剂比例的轨迹1:8:1图7：药剂比例的轨迹1:1:8表1：A组不同药剂比例的损失分布类型（I：II：III）0 6 7 8 9 10（8:1）0.000 0.192 0.168 0.117 0.114 0.078（1:8:1）0.204 0.036 0.029 0.032 0.046 0.203（1:1:8）0.274 0.004 0.005 0.004 0.019 0.405（5:3:2）0.001 0.058 0.054 0.029 0.118 0.152（2:5:3）0.098 0.029 0.020 0.022 0.039 0.261（2:3:5）0.074 0.007 0.010 0.016 0.039 0.296来自这些图表和表格1，我们得到：o观察3：从图5和表1中，我们看到，拥有比例最大的子组I代理的系统似乎不稳定，但与其他组相比，尾部违约概率最小观察结果4：从图6和表1中，我们可以看到，当第二子组的代理控制系统时，系统似乎更加稳定，具有较强的“锁定行为”，较少的轨迹将达到尾违约水平。此外，尾部违约概率在所有组中居中观察结果5：从图7和表1中，我们可以看到，当第三子组的代理主导系统时，则存在强烈的“锁定效应”，与其他两组相比，尾部违约概率最大。接下来，我们还将探讨当我们改变网络的组成时会发生什么。我们特别探讨了（3.1）中给出的B组。

注意，根据观察结果1和2，我们预计，在这种情况下，整体违约概率将小于A组。B组：{（α，σ）I，（α，σ）II，（α，σ）III={（1，0.5），（10，1），（100，2）}图8：代理人比例的轨迹8:1:1图9：代理人比例的轨迹1:8:1图10：代理人比例的轨迹1:1:8表2：B组不同比例代理人数量的损失分布（I:II:III）0 6 7 8 9 10（8:1:1）0.524 0.006 0.001 0.001 0.000 0.000（1:8:1）0.460 0.035 0.032 0.031 0.023 0.016（1:1:8）0.483 0.029 0.019 0.031 0.106 0.096（5:3:2）0.510 0.010 0.008 0.009 0.001 0.001（2:5:3）0.489 0.024 0.024 0.028 0.032 0.008（2:3:5）0.516 0.027 0.031 0.030 0.040 0 0.011从这些图表和表2中，我们观察到：o观察结果7：从图8和表2中，我们可以看到，由亚组I的代理主导的系统具有较弱的“锁定行为”和较小的可变性。与其他两种类型的网络相比，它产生的尾部违约概率最小观察结果8：从图9和表2可以看出，当第二亚组的代理构成系统的最大比例时，系统似乎更稳定，同时存在适度的“锁定效应”和可变性。此外，与其他两种情况相比，尾部违约概率具有中等价值观察结果9：从图10和表2可以看出，当第III亚类药物主导系统时，系统相对不稳定。较大的α会产生强烈的“膨胀行为”，导致系统整体违约概率较高。3.2理论研究为了从理论上理解尾部违约概率的行为，我们需要从分析上理解概率Min0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η！。为了简化一些计算，我们假设Y（i）=0，对于i=1。。。，N

此外，我们希望将其推广到保持不同σi和αi的有限试剂。我们将N试剂分成K<N组，其中K=1，…，具有不同的（△K，△σK）。。。，K、 K是固定的，我们使用ik表示K\'th群，其中ik={j∈ {1，…，N}：（αj，σj）=（|αk，|σk）}也就是说，在每个组中，试剂都是同质的。我们使用“Ytktodenote部分经验平均值”和“YT”表示整体经验平均值。此外，ρkdenotes是属于k\'th组的试剂的百分比。根据定义，\'Ytk=| Ik | Xj∈IkY（j）t，其中ρk=| Ik |和k=1。。。，K'Yt=NPi=1Y（i）tN=KXk=1ρK'Ytk因此，我们得到第K组的部分平均值：'Ytk=| Ik | Xi∈IkY（i）t=| Ik | Xi∈IkαkZt（(R)Ys- Y（i）s）ds+σkW（i）t= αkZt？Ys-|Ik | Xi∈IkY（i）s！ds+σk | Ik | Xi∈IkW（i）t=αkZt\'\'年-(R)Yskds+σk√ρkNWtkwhereWtk，k=1。。。，K是独立的标准布朗运动。因此，d'Ytk=αk（'Yt-(R)Ytk）dt+σk√ρkNdWtk=αk（ρk- 1） “Ytk+αkKXi=1，i6=kρi”Yitdt+qρkNσkdwt知道我们用列向量\'yt=（\'Ytk）k=1写系统的矩阵形式。。。Kand▄wt=（▄Wtk）k=1。。。K： d’yt=M’ytdt+√NR编号-1/2dWT，其中MIJ=-αi（δij- ρj），Rij=ρiσ-2iδij，δij=（1，i=j0，i 6=ji，j=1，…，K。通过It^o随机积分，参见示例【Karatzas和Shreve，2000】，该系统的明确解为：’yt=eMt‘y+√NZteM（t-s） R(-1/2）dw因此，\'Yt=%T\'Yt=√N%TZteM（t-s） R(-1/2）dw我们在分布中得到了它，Yt~ N0，NVT式中，VT=Zt%TeMsR-1（eMs）T%ds，%=（ρk）k=1，。。。，K、 （3.2）接下来，我们关注在T时达到默认水平的集合平均值*T~ N0，NVt. 默认概率为：Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η！=P最小0≤T≤TW公司*T≤ η= 2P（重量）*≤ η） =2P√NVTW≤ η= 2Φη√NVT！其中▄W~ N（0，1）。然后使用拉普拉斯渐近，我们得到：Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η！≈ 2经验值-ηN2VT（3.3）因此，我们得到了以下定理。定理3.2。考虑本节中研究的完全异构的案例。

WehavelimN公司→∞-Nlog Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η=η2VT（3.4），其中VT由（3.2）给出，前提是VT<∞.让我们检查近似值（3.3）的准确性，如表1所示选择组8:1:1和2:5:3。由于计算资源和{（α，σ）I，（α，σ）II，（α，σ）III}={（1，2），（10，1），（100，0.5）}，模拟的数量限制在M=500。我们计算-Nlog P（A），并与渐近值η2vt进行比较，如下图所示：图11：比较-比率为8:1:1的A组的Nlog P（A）和η2VT图12：比较-Nlog P（A）和η2vt对于比率为2:5:3的A组，根据图11和12，我们观察到-随着N的增加，Nlog P（A）相对快速地收敛到η2vt，这保证了（3.3）的精度。当然，由于定理3.2的对数极限，在这个近似中失去了前置因子信息，有关这个问题的更多讨论，请参见第4节。在K=2的情况下，我们可以得到VT的显式公式，当K≥ 为此，我们有引理3.3。引理3.3。考虑定理3.2对K=2的设置。然后，当γ=αρ+αρ时，我们得到vt=σργ“αT+ρ（α- α） 2γ1.- E-2γT+2αρ（α- α） γ1.- E-γT#+σργ“αT+ρ（α- α） 2γ1.- E-2γT+2αρ（α- α） γ1.- E-γT#引理3.3的证明。请注意，我们可以将矩阵M视为具有两个状态的连续时间马尔可夫链的整数生成器。设P（t）=emt是这样一个马尔可夫链的转移概率矩阵。

那么，如果我们设置c=αρ，d=αρ，P（t），就知道了=直流+直流+直流+直流+直流+直流+直流-（c+d）变矩器离合器+d-cc+de-（c+d）tdc+d-dc+de-（c+d）变矩器离合器（tcc）+变矩器离合器（d）+变矩器离合器（dc）+变矩器离合器（de）-（c+d）t将表达式插入到VT的被积函数中，然后进行代数运算，得到%TeMsR-1（eMs）T%=σργα+ρ（α- α） e类-γs+σργα+ρ（α- α） e类-γs.通过积分得到引理的表达式。在案例K中≥ 明确的公式似乎很难推导。我们需要M的谱分解。由于这个原因，我们在α互不太不同的情况下推导出VT的回代。特别是，我们假设每个组与另一组的差值为δci，其中ci是有界实常数，对于i 6=j和0<δ，ci6=cj 即：αk=(R)α（1+δck），其中α=KPi=1ρiαi=NPi=1αi.N。让我们设置^VT（δ）=TKXi=1ρiσi+2δ\'\'α- T-E-\'αT\'αKXi=1ρiciσi+δ-2’’α+3T+6+2T’’α’e-\'-αT-2’’αe-2’’αTKXi=1ρiciσi-2δ-\'α+T+\'αe-\'αT+T e-\'-αTKXi=1ρiσiKXi=1ρici！（3.5）注意，如果δ足够小，以至于我们可以忽略O（δ）项，那么大的‘α也意味着较小的^VT（δ）。然后，我们有下面的引理，它在附录中。引理3.4。设VT由（3.2）给出，^VT（δ）由（3.5）给出。那么，作为δ↓ 0，我们有错误界限| VT-^VT（δ）|≤ Kδ+O（δ），其中K>0。注意，如果δ=0，则（3.5）给出了第2节的公式。接下来，我们用数值方法检查（3.5）近似值的精度。

我们首先比较了VT和^VT的差异。表3：VT和^VT共同参数的比较：δ=0.001，ck=(-60，0，40），σ=（5，2，1），ρ=（0.2，0.5，0.3），M=500，T=1‘αVT^VT | VT^-VT | VT10（9.4,10,10.4）7.341 7.850 6.9%50（47,50,52）7.401 7.901 6.7%100（94100104）7.409 7.907 6.7%-对于α=10、50、100的组，Nlog P（A）至近似值η^vt。图13：比较-Nlog P（A）和η^vt在α=10下图14：两者之间的比较-Nlog P（A）和η^vt在α=50下图15：两者的比较-Nlog P（A）和η^vt在α=100下从图13、14和15中，我们可以看到，即使是中等大小的N，较大的偏差近似值-Nlog P（A）与η^VT.4结论和未来工作相当接近。本注释主要分析不同平均回归率αi和波动率σi对系统风险和波动行为的影响。在该模型中，我们使用amean回归部分来表示系统对特定差异过程的影响，并使用随机部分来表示单个活动。我们考虑（αi，σi）的不同组合来扩展异质性效应。基于我们的模型，我们对尾部违约概率的性质进行了数值探索，并计算了平均行为的尾部违约概率的精确形式。

在所有αi相同但σi不同的特定情况下，我们发现NPNI=1σi对系统风险有积极影响，但αi产生的“锁定效应”也会增加系统风险。在αi和σi不同的一般情况下，情况要复杂得多。系统性风险和堵塞行为受αi\'s和σi\'s的大小及其组合方式的显著影响，见第3.1节中的观察1-9。我们还发现，当大多数试剂的大小适中时，由于系数α和σ的相应参数既不太大也不太小，系统更稳定。在这种情况下，存在一种锁定行为，许多代理违约的尾部概率不大。很明显，这篇论文提出了开放性的问题。下面列出其中一些。很明显，蛮力蒙特卡罗近似-Nlog P（A）相当有效。由于P（A）是一个罕见的事件，人们希望开发加速蒙特卡罗方法，例如重要性抽样。2、系统的群集效应和稳定性是需要更好理解和更好量化的问题。能否用比本文更明确的术语量化代理构成的系统互连对群集行为的影响？本文是针对这一方向的首次研究。3、本文所研究的模型是一个文体模型，我们的目标是说明一些问题。对更一般的模型进行分析，如【Fouke和Ichiba，2013年，Garnier等人，2013年，Giesecke等人，2013年，Sowers和Spiliopoulos，2015年】中出现的模型。我们计划在未来的工作中研究这些问题。5致谢本工作得到了美国国家科学基金会（NSF）职业奖DMS 1550918的部分支持。附录在附录中我们证明了引理3.4。

为了得到vt相对于δ的展开式，我们首先得到了%TeMt的展开式。基于M的形式，我们将其重写为M=-\'α\'M- δ'αN.此处'M=I- u%t其中u是每个组分1的k维列向量，N=ci（δij-ρj），i，j=1。。。，K、 因此=∞Xn=0(-\'\'αt）nn！（(R)M+δN）我们关注关于δ的泰勒展开 1、注意五个因素：Skpi=1ρi=1，\'Mn=\'M，\'MT%=0·u，\'MTNT%=NT%和\'MT（NT）%=（NT）%。下面，我们首先给出了VT的泰勒展开系数与δ到二阶的关系。对于第0阶，即。

对于O（δ）=O（1），系数为：%T∞Xn=0(-\'\'αt）nn！\'\'Mn=∞Xn=0(-\'\'αt）nn！%对于第一阶，即O（δ），系数为：%T∞Xn=1(-\'\'αt）nn！δN？Mn-1个=∞Xn=1(-\'\'αt）nn！δ%TN？Mn-1=δ-(R)αt1！%TN+（e-\'-αt- 1+(R)αt1！）%TN？M= δ（e-\'-αt- 1） %T对于二阶，即O（δ），系数为：%T((-\'\'αt）2！（δN）+∞Xn=3(-\'\'αt）nn！δN？Mn-2N+（δN）(R)Mn-2+（n- 3） δ（N？M）)= %T型((-\'\'αt）2！（δN）+∞Xn=3(-\'\'αt）nn！δN+（δN）+（N- 3） δN)= %Tδ“∞Xn=2(-\'\'αt）nn！（n）- 1） N#=%Tδ“(-(R)αt）∞Xn=2(-(R)αt）n-1（n- 1） 哦！N-∞Xn=2(-\'\'αt）nn！N#=%Tδ(-\'-αt）（e-\'-αt- （1）- （e）-\'-αt- 1+(R)αt）N=δ%T1.- E-\'-αt- \'-αte-\'-αt最后，我们得到了结果%TeMt=%T+δ（e-\'-αt- 1） %TN+δ（1- E-\'-αt- \'-αte-因此，我们有%TeMtR-1（%TeMt）T=%TR-1%+δ（e-\'-αt- （1）%TR公司-1NT%+%TNR-1%+δ（1- E-\'-αt- \'-αte-αt）（%TR-1（NT）+%TNR-1%）+δ（e-\'-αt- 1） %TNR-1NT%+O（δ），那么我们可以简化为%TeMtR-1（%TeMt）T=%TR-1%+2δ（e-\'-αt- 1） %TNR-1%+2δ（1- E-\'-αt- \'-αte-\'αt）%TNR-1%+δ（e-\'-αt- 1） %TNR-1NT%+O（δ）注意到两个重要事实，（%TN）1j=ρjcj- ρjKPi=1ρiciand（NR-1%）j1=cjσj- cjKPi=1ρiσi，j=1。。。，K、 我们最终获得：%TR-1%=KXi=1ρiσi%TNR-1%=KXi=1ρiciσi-KXi=1ρiciKXi=1ρiσi%TNR-1%=KXi=1ρiciσi-KXi=1ρiσiKXi=1ρici-KXi=1ρiciKXi=1ρiciσi+KXi=1ρiσiKXi=1ρici！%TNR公司-1NT%=KXi=1ρiciσi- 2KXi=1ρiciKXi=1ρiciσi+KXi=1ρiσiKXi=1ρici！现在，我们设置a=KXi=1ρiσiB=2δKXi=1ρiciσi-KXi=1ρiciKXi=1ρiσi！C=2δKXi=1ρiciσi-KXi=1ρiσiKXi=1ρici-KXi=1ρiciKXi=1ρiciσi+KXi=1ρiσiKXi=1ρici！D=δ“KXi=1ρiciσi- 2KXi=1ρiciKXi=1ρiciσi+KXi=1ρiσiKXi=1ρici#因此，我们获得了%的TeMsR-1（%TeMs）t说明我们在这个方程中省略了O（δ）项=ZT公司A+B（e-\'-αs- 1） +C（1- E-\'-αs- \'-αse-αs）+D（e-2’’αs+1- 2e类-(R)αs）基于此，我们得到近似值：VT=ZT%TeMsR-1（eMs）T%ds≈2’’α（2B- 4C级- 3D）+（A- B+C+D）T+（2C′α+CT-B′α+2D′α）e- \'-αT-D2′αe-2’’αT=^VT（δ）然后，在αk=(R)α（1+δck）的情况下，我们发现'α=KXi=1ρiαi=KXi=1ρi'α（1+δci）=α+δ'αKXi=1ρici，其中'α>0，δ>0。