异质性对羊群行为和系统性风险的影响

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英文标题：
《The effect of heterogeneity on flocking behavior and systemic risk》
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作者：
Fei Fang, Yiwei Sun and Konstantinos Spiliopoulos
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The goal of this paper is to study organized flocking behavior and systemic risk in heterogeneous mean-field interacting diffusions. We illustrate in a number of case studies the effect of heterogeneity in the behavior of systemic risk in the system, i.e., the risk that several agents default simultaneously as a result of interconnections. We also investigate the effect of heterogeneity on the \"flocking behavior\" of different agents, i.e., when agents with different dynamics end up following very similar paths and follow closely the mean behavior of the system. Using Laplace asymptotics, we derive an asymptotic formula for the tail of the loss distribution as the number of agents grows to infinity. This characterizes the tail of the loss distribution and the effect of the heterogeneity of the network on the tail loss probability.
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中文摘要：
本文旨在研究非均匀平均场相互作用扩散中的有组织群集行为和系统风险。我们在许多案例研究中说明了系统内系统性风险行为中异质性的影响，即由于相互关联，多个代理同时违约的风险。我们还研究了异质性对不同代理的“群集行为”的影响，即当具有不同动力学的代理最终遵循非常相似的路径并密切遵循系统的平均行为时。利用拉普拉斯渐近，我们导出了当代理数增长到无穷大时损失分布尾部的渐近公式。这描述了损失分布的尾部以及网络的异质性对尾部损失概率的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：系统性风险 羊群行为 系统性 异质性 Applications

异质性对股票行为和系统风险的影响*, 孙逸伟+和康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯（Konstantinos Spiliopoulos）2017年6月12日摘要本论文的目的是研究异质平均场相互作用差异中的有组织流动行为和系统风险。我们在许多案例研究中阐明了系统风险行为中异质性的影响，即多个代理因互连而同时违约的风险。我们还研究了异质性对不同药物“堵塞行为”的影响，即当具有不同动力学的药物最终遵循非常相似的路径并密切跟踪系统的平均行为时。利用拉普拉斯渐近，我们推导出了当代理数增长到整数时损失分布尾部的渐近公式。这描述了损失分布的尾部以及网络异质性对尾部损失概率的影响。1简介系统性风险是指互联系统的大量组件在短时间内发生故障，从而导致系统整体故障的风险，例如参见【Fouque和Langsam，2013年，Garnier等人，2013b，Spiliopoulos，2015年】。植绒行为是指系统的所有或大部分组件或多或少遵循相同行为的现象，例如参见【Motsch和Tadmor，2011】。系统性风险和流动行为这两种现象当然是不同的，它们描述的是不同的，但同时也是相关的问题。本文的目的是研究在一个相互作用的系统中，异质性对系统风险和锁定行为的影响。例如，在金融市场中，系统性风险和流动性的综合影响可能意味着池中的大多数组成部分都处于违约状态。

在可靠性方面，由交互组件组成的大型系统可能具有*波士顿大学数学与统计系(feifang@bu.edu)+波士顿大学数学与统计系(yiweisun94@hotmail.com)波士顿大学数学与统计系(kspiliop@math.bu.edu)中央连接，对系统的正常运行至关重要。单个部件的故障会增加中央连接件和其他部件的应力，使整个系统更有可能发生故障。在保险业中，该系统可以代表一组保险单。我们考虑平均场相互作用差异的程式化模型：dY（i）t=αiNNXj=1Y（j）t- Y（i）tdt+σidW（i）t，i=1。。。，N（1.1）模型（1.1）是一个足够简单的数学分析模型，但能够捕捉异质性对系统风险和锁定行为影响的一些主要特征。我们在本文中的目标不是提供一个高效复杂的模型，而是解释在一个合理丰富但简单的模型中可以预期的现象。为了诱导异质性，我们假设并非所有αi和/或并非所有σi都相等。不同成分的相互作用，即系统的不同成分，通过平均场经验平均值Npj=1Y（j）t。每个W（i）t，i=1。。。，N表示独立的标准布朗运动。差异系数σi表示与代理i相对应的波动性，其大小表示代理i的性能稳定性。系数αi表示整个系统对代理i的影响程度。

动力学（1.1）意味着代理人i被吸引到时间t时的水平Y t=NPNj=1Y（j）。例如，在银行金融系统中，Y（i）t可以代表代理人i在时间t时的对数货币储备，参见【Fouque和Ichiba，2013】。论文【Fouque和Sun，2013】研究了均匀情况下的系统（1.1），即当αi=α，σi=σ，对于每个i=1。。。，N他们发现，随着α的增加，每个Y（i）的行为更接近平均值Y=NNPj=1Y（j）t的行为。这种现象导致了所谓的“flocking effect”，即所有轨迹在路径空间中遵循相同的行为。【Fouque和Sun，2013年】的主要结论是，较大的α会增强“锁定效应”，这可能会导致系统更大的稳定性，也可能会增加系统风险（即增加系统中大量组件发生故障的可能性）。在本文中，我们考虑了非均匀情况，其中并非所有αi或σi’都相等。对于固定违约水平η<0，我们使用拉普拉斯渐近来描述整个系统违约事件的概率a：=（min0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η） 。我们发现，在极限值中为N→ ∞,该概率为e级-ηN2VT，其中vt具体取决于αi\'s和σi\'s。在αi=α和σi=σ的情况下，我们恢复了公式VT=Tσ，如【Fouque和Sun，2013年】。此外，在某些感兴趣的情况下，我们得到了概率的非渐近界sup0≤T≤T | Y（i）T-(R)Yt |>δ, 证明α和σ对堵塞行为的影响。

此外，我们还利用蒙特卡罗模拟数值探讨了Y（i）的行为和事件A的尾部损失概率。我们对异质性的影响特别感兴趣，并得出了许多有趣的结论（在第2节和第3节中详细解释）：（i）如果αi=每个i的α，则σi越大，系统的波动性越大。随着α变大，“膨胀效应”变得更加明显，但σi越大，自然会导致偏离平均行为。（ii）如果每个i的αi=α，则VT=Tσ*= T限制→∞NNXi=1σi，这意味着系统行为中的异质性影响通过有效平均扩散σ来描述*. 这意味着σ越大*导致更大的损失概率。（iii）在αi=α的情况下，我们得到概率P的精确界sup0≤T≤T | Y（i）T-(R)Yt |>δ, 这表明膨胀行为由formf（σ，···，σN）α的一项控制。这就解释了为什么α值很大会产生强烈的膨胀行为，同时也表明了波动性的影响，因为函数f的形式是明确的。（iv）在不同的αi和σi的情况下，我们发现，当中等大小的试剂数量足够大时，系统更稳定，即αi和σii值适中的试剂数量远远大于αi或σi值较小或较大的试剂数量。

这可以被认为是代理构成的网络异质性（在本例中是一个完整图）的影响。（v） 同时，我们发现，在系统中，所有代理违约的概率都较小，其中具有较大αialso的代理具有相对较大的σi，相应地，具有较小αialso的代理具有较小的波动率σi。我们还从理论上分析了VT的形式，这说明了αi和σi（vi）相互作用的影响。就系统的有组织流动行为和稳定性而言，即使药剂构成的种群结构的组成发生看似微小的变化，也可能产生巨大的后果。金融系统中的系统性风险是近年来增长很多的一个主题。我们请读者参考【Fouque和Langsam，2013】了解该主题的一般介绍，并参考【Fouque和Ichiba，2013，Garnier等人，2013，Garnier等人，2013b，Giesecke等人，2013，Spiliopoulos，2015，Sowers和Spiliopoulos，2015】了解异质金融网络中与系统风险相关的集群、罕见事件和大偏差。在本文中，我们考虑一个StylezedModel。我们的主要目标是研究异质性和系统结构对库存行为和系统风险的影响。我们考虑了一个简单的模型，该模型易于分析，但同时又非常丰富，足以捕捉不同类型的有趣行为。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们研究了αi=α对于每个i的情况，但对于某些i 6=j，σi6=σj1。我们研究了异质性对Y（i）的“膨胀效应”的影响，以及缺省概率nnpi=1Y（i）t的尾部。在第3节中，我们研究了αi6=αjand和σi6=σj1对于某些i 6=j的更丰富的情况。

我们从数值和理论上探讨了这种情况，刻画了控制平均损失分布尾部的VT；这就是定理3.2。在这种一般情况下，vticomplex的公式，即使它是显式的。为了更好地理解，在αi=(R)α（1+δci），0<δ的特殊情况下，我们推导了VTvia Taylor展开的近似值 1关于δ，这是引理3.4。当然，当δ=0时，我们得到了第2节推导的更简单的公式。我们以结论和未来工作结束第4章。2相同的α，但不同的σ，我们从探索不同的挥发度如何影响N种药剂的违约概率开始。因此，我们假设σi，i=1。。。，对于每个代理i，N不一定相同，但我们假设它们都共享相同的平均反转参数α。因此，对于所有i=1。。。，N方程式（1.1）的形式为：dY（i）t=αNNXj=1Y（j）t- Y（i）tdt+σidW（i）t（2.1）为了理解尾部违约概率和锁定的行为，我们首先关注达到违约状态的集合平均的行为。基于方程（2.1）和非重要假设Y（i）=0，i=1。。。，N，我们得到：Y（i）t=αZtNNXj=1Y（j）s- Y（i）sds+σiW（i），然后我们得到nxi=1Y（i）t=αZtNXj=1Y（j）s-NXi=1Y（i）sds+NXi=1σiW（i）t=NXi=1σiW（i）t（2.2）基于此关系，我们使用布朗运动的反射原理得到以下结果：Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η！=Pmin0≤T≤TNNXi=1σiW（i）t≤ η！=2P级qPNi=1σiNWT≤ η= 2ΦNη√TqPNi=1σi其中，wt表示时间t的标准布朗运动。使用拉普拉斯渐近，我们得到：Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η！≈ 2经验值(-Nη2T（PNi=1σi）），η<0。因此，我们得出了以下定理定理2.1。考虑扩散过程Y（i）t，对于i=1。。。，N如（2.1）所示。设VT=Tσ*, 其中σ*= 画→∞NPNi=1σi。假设σ*存在和确定。

那么，我们有那个Limn→∞-Nlog Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η=η2VT。（2.3）因此，如果N足够大，则以下近似值适用：Pmin0≤T≤TNNXi=1Y（i）t≤ η！≈ E-Nη2Tσ*（2.4）根据上述等式，如果σ*增加，对于某些t，经验lmeannpni=1Y（i）t降至η以下的概率∈ [0，T]将增加。这验证了尾部违约概率随着PNI=1σi的函数而增加的假设。接下来，我们转向锁定行为。为了定量了解膨胀行为，我们需要在给定δ>0的情况下，控制sup0≤T≤T | Y（i）T-(R)Yt |>δ.提案2.2。考虑扩散过程Y（i）t，对于i=1。。。，N如（2.1）所示。设κi=q（1- 1/N）σi+（1/N）Pj6=iσj。然后，对于任何δ>0，我们有sup0≤T≤T | Y（i）T-(R)Yt |>δ≤ 2经验值(-Δκiα（1- E-2αT）（2.5）特别是，命题2.2表明，膨胀行为由“膨胀”参数f=maxi=1，···，Nκiα=（1）控制- 1/N）maxi=1，···，Nσi+NPj6=iσjα，这表明如果α大，σ小，那么粒子在概率上紧随平均值的变化。命题2.2的证明。

根据（2.2），我们得到R（i）t=Y（i）t-(R)Ytsatis fiesr（i）t=-αZtR（i）sds+σiW（i）t-NNXi=1σiW（i）t由于维纳过程的独立性，W（i）t，i=1。。。，N、 我们得到了在分布r（i）t=-αZtR（i）sds+κiW（i，N）t解决这个SDE，我们得到r（i）t=κiZte-α（t-s） dW（i，N）s~ N0，κi2α（1- E-2αt）设λ>0，则我们有，使用eλR（i）t的子鞅性质：Psup0≤T≤T | R（i）T |>δ≤ 2P级sup0≤T≤TR（i）t>δ= 2P级sup0≤T≤TeλR（i）t>eλδ≤ 2e类-ΔλE[EλR（i）T]≤ 2e类-Δλ+λκi2α（1-E-2αT）在λ上最小化，我们得到了sup0≤T≤T | R（i）T |>δ≤ 2e类-δ（κiα（1-E-2αT））-1包括命题的证明。3不同的α和不同的σ在本节中，我们研究了不同的相互作用和不同的波动性组合如何影响库存行为和尾部违约概率分布。我们还研究了系统结构对其稳定性的影响。3.1数值模拟和动机为了激发讨论，我们首先使用标准Euler格式进行数值求解（1.1）。我们绘制了N个agent的两组轨迹来比较两种极端情况：（i）A组：αi小的agent有大的σi，而αi大的agent有小的σi；（ii）B组：具有小αi的代理也具有小σi，而具有大αi的代理也具有大σi。也就是说，我们设计了两个组：A组：{（α，σ）{1,2}，（α，σ）{3,4,5,6,7}，（α，σ）{8,9,10}={（1,2），（10，1），（100，0.5）}B组：{（α，σ）{1,2}，（α，σ）{3,4,5,6,7}。}，（α，σ）{8,9,10}}={（1，0.5），（10，1），（100，2）}。样本轨迹和损失分布分别如图1、图3和图2、图4所示。在两个轨迹图中，两条浅灰色线是（α，σ）{1,2}的轨迹；五条深灰色线是（α，σ）{3,4,5,6,7}的轨迹；三条黑线是（α，σ）{8,9,10}的轨迹。

实心水平线表示默认标高η=-0.7，中间粗体红线表示平均轨迹。我们将尾部违约概率称为所有代理违约的概率。图1：A组的轨迹{（1，2），（10，1），（100，0.5）}图2：B组的轨迹{（1，0.5），（10，1），（100，2）}图3：尾部违约概率为0.261的损失分布图4：尾部违约概率为0.012的损失分布备注3.1。有趣的是，系统结构中的这种看似微小的变化对其行为和稳定性有着深远的影响。此外，我们有以下观察结果o观察结果1：从图1和图3中，我们可以看到具有：（i）小αi，（ii）大σi，和（iii）此类试剂总数的小比例的试剂，并不密切遵循平均行为。然而，它们的巨大波动性对整个系统的趋势（或平均行为）有着显著的贡献。其他代理的轨迹似乎遵循平均行为。同时，所有N个代理违约的概率都很高观察结果2：从图2和图4中，我们看到具有：（i）大αi和（ii）大σi的代理更接近平均行为，即“膨胀效应”更为明显。此外，发生大规模违约现象的可能性相对较小。现在我们介绍稳定化的概念，它将在下面的部分中使用。稳定或稳定行为是指系统进入默认状态的困难程度。也就是说，系统越稳定，系统中的代理发生故障的难度就越大。从【Fouque和Sun，2013年】中，我们知道，在均匀情况下，在σ的合理值下，只有当α的大小足以引起“膨胀行为”时，α才控制系统的稳定性。