秩模型全局波动的SPDE极限

假设1.1和命题2.5保证函数x 7→ BR（t，x）和x 7→ σR（t，x）是在t的每个紧区间上具有统一边界Lipschitz常数的Lipschitz。因此，对于假设1.1的初始条件λ或任何确定性初始条件（参见[KS，第5章，定理2.5和2.9]），存在（2.5）的唯一强解。此外，X是与算子b（R（t，·））ddx+σ（R（t，·））ddx，t有关的鞅问题的唯一解≥ 因此是一个强马尔可夫过程（见[SV，定理7.2.1和6.2.2]）。对于初始条件λ，假设1.1允许我们应用[JR，推论1.13]来确定非线性鞅问题t的解的一维分布，其中ρ（t），t≥ 0，因此解本身由'X的定律L（'X）给出，因此（2.6）L（'X（t））=ρ（t），t≥ 0.我们现在的目标是应用[Ar]的结果得出结论，在假设1.1下，存在'X的跃迁密度，并满足aussian上下限。Tofluctions在基于秩的模型7中，如【Ar，定理5】中所示，确定'X的跃迁密度与pa r abolicPDE的弱基本解，我们确定a T>0，并考虑Cauchy问题（2.7）ut+b（r）ux+σ（r）ux=f，u（T，·）=0，其中f∈ L（[0，T]×R）∩ L∞（[0，T]×R）。我们不认为b（R）和σ（R）是有界的，并且x 7→σ（R（t，x））是具有一致有界Lipschitz常数s fort的Lipschitz∈ [0，T]。

因此，根据[Kr2，定理2.1和备注2.2]，存在（2.7）的唯一解u，u，ut，ux，uxx∈ L（[0，T]×R），由（2.8）u（T，x）=-EZTtf（r，`X（r））dr\'X（t）=X, （t，x）∈ [0，T]×R。特别是，u∈ L∞（[0，T]×R），因此g（T，x）：=-f（T- t、 x），S（t，x）：=R（t- t、 x），（t，x）∈ [0，T]×R函数v（T，x）：=u（T- t、 x），（t，x）∈ [0，T]×R是（2.9）vt的弱解-b（S）- σ（S）σ′（S）Sxvx公司-σ（S）vxx=g，v（0，·）=0在[Ar，定理5（ii）]的意义上。后一个定理适用，因为b（S）-根据假设1.1和命题2.5，σ（S）σ′（S）sx和σ（S）在[0，T]×R上有界，σ（S）在[0，T]×R上远离0。将[Ar，定理5（ii）]的结论与（2.8）进行比较，我们得到了'x的跃迁密度p（t，x；r，z）的存在性，并识别了p（t-r、 x；T-t、 z）作为（2.9）中PDE对应的弱基本解。因此，[Ar，定理10（ii）]得出以下结果。提案2.6。满足假设1.1。然后，过程X具有转变密度p，因此T>0:C-1（右- t）-1/2e-C（z-x） /（r-t）≤ p（t，x；r，z）≤ C（r- t）-1/2e-C-1（z-x） /（r-t） ，0≤ t<r≤ T、 x，z∈ R（2.10）带C∈ （1，∞) 可能取决于T。特别是，如果'X（0）按照λ分布，则（2.11）T>0：sup0≤T≤TE公司|\'X（t）| 2+η< ∞.混沌估计的传播本节致力于定理1.6的证明。定理1.6的证明。第1步。解决任何问题≥ 2和T>0。我们的目标是采用命题2.2，为此，我们将通过涉及（2.3）左侧的数量来估计（1.13）的左侧。为此，我们首先观察到成对（X（n）i，(R)X（n）i），i=1，2。

，n具有相同的分布（由于（1.1）的弱唯一性和（1.11）的强唯一性），因此（1.13）的左侧可以重写为对称形式（3.1）nnXi=1Ehsup0≤T≤TX（n）i（t）-\'\'X（n）i（t）pi。8 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO SHKOLNIKOVNext，我们使用X（n）i和'X（n）i满足的SDE（1.1）和（1.11），元素不等式（3.2）（r+r）p≤ 2p级-1（rp+rp），r，r≥ 0，Burkholder-Davis-Gundy不等式（参见[KS，第3章，定理3.28]），以及b的Lipschitz性质和σ，以发现所有t∈ [0，T]a和i=1，2，n： Ehsup0≤s≤TX（n）i（s）-(R)X（n）i（s）| pi≤C、EZt公司Fρ（n）（s）（X（n）i（s））-R（s，(R)X（n）i（s））ds公司P+C、EZt公司Fρ（n）（s）（X（n）i（s））-R（s，(R)X（n）i（s））ds公司p/2,（3.3）其中C<∞ 仅取决于p和b和σ的Lipschitz常数。将Jensen不等式应用于（3.3）右侧的每个求和，我们得到了进一步的上界（3.4）C EZt公司Fρ（n）（s）（X（n）i（s））- R（s，(R)X（n）i（s））pds,其中C<∞ 可以根据T、p和b和σ的Lipschitz常数来选择。（3.2）givesC E的另一个应用Zt公司Fρ（n）（s）（X（n）i（s））- R（s，X（n）i（s））pds+ C、EZt公司R（s，X（n）i（s））- R（s，(R)X（n）i（s））pds,（3.5）其中C<∞ 仍然是T、p和b和σ的Lipschitz常数的函数。现在，我们取（3.5）中i=1，2，…，的第一个总和的平均值，n和getCnnXi=1EZt公司Fρ（n）（s）（X（n）i（s））- R（s，X（n）i（s））pds= CZtE公司nnXi=1Fρ（n）（s）（X（n）i（s））- R（s，X（n）i（s））Pds=CZtEnnXk=1Fρ（n）（s）（X（n）（k）（s））- R（s，X（n）（k）（s））Pds，（3.6），其中X（n）（1）（s）≤ X（n）（2）（s）≤ ··· ≤ X（n）（n）（s）是向量的顺序统计量X（n）（s），X（n）（s），X（n）n（s）.在这一点上，函数y 7的[Kr1，第439页上的定理]→P1级≤i<j≤n{yi=yj}onrn揭示了概率1保持Fρ（n）（s）（X（n）（k）（s））=kn，k=1，2，n forLebesgue a.e.s∈ [0，T]。

这和（3.2）允许CZTE根据上述公式估算（3.6）的最终结果nnXk=1千牛- R（s，(R)X（n）（k）（s））P+ EnnXk=1R（s，(R)X（n）（k）（s））- R（s，X（n）（k）（s））Pds，（3.7）基于秩的模型中的波动，其中'X（n）（1）（s）≤\'\'X（n）（2）（s）≤ ··· ≤\'X（n）（n）（s）是向量的顺序统计量\'X（n）（s），\'X（n）（s），\'\'X（n）n（s）和C<∞ 仅取决于T、p和b和σ的Lipschitz常数。第2步。根据r代表（2.2），我们很容易确定数量nPnk=1千牛- R（s，(R)X（n）（k）（s））Pin（3.7）as（3.8）E可湿性粉剂nnXk=1δk/n，nnXk=1δR（s，(R)X（n）（k）（s））P.观察结果（2.6）显示R（s，’X（n）（1）（s））≤ R（s，’X（n）（2）（s））≤ ··· ≤ R（s，(R)X（n）（n）（s））作为[0，1]上均匀分布的n i.i.d.样本的顺序统计量。因此，Wpand（3.2）的三角形不等式意味着（3.8）中的期望值的上界为（3.9）2p-1E级可湿性粉剂nnXk=1δk/n，νP+ 2p级-1E级可湿性粉剂υ、 nnXi=1δUiP在命题2.2的符号中。使用（3.9）中第一个期望的表示式（2.2）和（3.9）中第二个期望的命题2.2，我们得出上限（3.10）2p-1n-p+2p-1cpp/2n-p/2，其中C是命题2.2中的常数。第3步。将估计值（3.5）、（3.7）和（3.10）放在一起，我们得出了不等式nnxi=1Ehsup0≤s≤TX（n）i（s）-\'\'X（n）i（s）圆周率≤ CZt公司N-p+n-p/2+EnnXk=1R（s，X（n）（k）（s））- R（s，(R)X（n）（k）（s））P+ EnnXi=1R（s，X（n）i（s））- R（s，(R)X（n）i（s））P所有t的ds（3.11）∈ [0，T]，其中C<∞ 是T、p和Lipschitz常数b和σ的函数。

此外，函数x 7→ R（s，x）是Lipschitz常数一致有界的Lipschitz，因为s在[0，T]中根据命题2.5和（3.12）nnXk=1变化X（n）（k）（s）-\'\'X（n）（k）（s）p=Wpρ（n）（s），’ρ（n）（s）P≤nnXi=1X（n）i（s）-\'\'X（n）i（s）p通过Wpin的表示（2.2）和定义（1.12），因此∈ [0，T]：nnXi=1Ehsup0≤s≤TX（n）i（s）-\'\'X（n）i（s）圆周率≤CN-p+n-p/2t+CZtnnXi=1Ehsup0≤R≤sX（n）i（r）-\'\'X（n）i（r）pids，（3.13）10 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO Shkolnikov，其中C<∞ 仅取决于T，p，b和σa的Lipschitz常数以及Rxon[0，T]×R的上确界。期望估计值（1.13）是（3.1）的结果，这是由于（3.1）的表示和Gronwall引理。第4步。对于p∈ （0，2），我们选择一个p′∈ [2，∞) 并通过不等式（3.14）从p′的（1.13）推导出p的（1.13）nnXi=1Ehsup0≤T≤TX（n）i（t）-\'\'X（n）i（t）圆周率≤nnXi=1Ehsup0≤T≤TX（n）i（t）-\'\'X（n）i（t）p′ip/p′。最后，我们通过estimatesEhsup0链从（1.13）中获得（1.14）≤T≤TWp公司ρ（n）（t），’ρ（n）（t）ip≤ Ehsup0≤T≤TWp公司ρ（n）（t），’ρ（n）（t）圆周率≤ Esup0≤T≤TnnXi=1X（n）i（t）-\'\'X（n）i（t）P≤nnXi=1Ehsup0≤T≤TX（n）i（t）-\'\'X（n）i（t）所有p的pi（3.15）va lid≥ 1.4、子序列极限的存在本节的主要结果是下一个命题，该命题确定了流动过程有限维分布的子序列极限的存在∈ N和Hn，N∈ N、 它是定理1.2证明中的一个关键因素。提案4.1。假设假设1.1 i满足。那么，对于所有m∈ N和0<t<···<t（4.1）的每个子序列Gn（0），Gn（t），Gn（tm）、Hn（t）、Hn（t），Hn（tm）, N∈ NHA是另一个子序列，其在法律上收敛于m fin（R）m+1×m fin（[0，t]×R）×m fin（[0，t]×R）×m fin（[0，tm]×R）。证据根据Prokhorov定理，在[FGH]的形式下，p。

119]证明了（4.1）中的Random向量定律形成了一致紧序列。此外，由于紧集的乘积是紧的，我们只需要证明≥ 0和t>0与序列Gn（s），n相关的定律∈ N和Hn（t），N∈ N均匀紧密。鉴于Banach-Alaoglu定理（参见【La，第12章，定理3】），任何固定的≥ 如果所有>0存在一个C<∞ 这样（4.2）N∈ N：PkGn（s）kT V>C< 和PkHn（t）kT V>C< 式中，k·kT v代表总变化范数。根据Gn的定义，n∈ N和Hn（t），N∈ N在（1.3）和（1.4）中，（4.2）的两个不等式可以重写为√新西兰元Fρ（n）（s）（x）- R（s，x）dx>C< ，（4.3）P√nZtZRFρ（n）（r）（x）- R（R，x）dx dr>C< 。（4.4）基于秩的模型的波动11表示（2.1）允许将这些进一步重写为（4.5）P√n W（ρ（n）（s），ρ（s））>C< ，P√nZtW（ρ（n）（r），ρ（r））dr>C< 。应用马尔可夫不等式，万德·富比尼定理的三角形不等式从上面的（4.5）中找到了两个概率√nCEW（ρ（n）（s），’ρ（n）（s））+√nCEW（(R)ρ（n）（s），ρ（s））,（4.6）√nCEZtW（ρ（n）（r），’ρ（n）（r））dr+√中兴通讯W（(R)ρ（n）（r），ρ（r））dr，（4.7）。根据（1.14），[BL，定理3.2和泛函Jon p.25的讨论]，（2.11）和（2.6），我们可以使所有n的估计（4.6），（4.7）小于∈ N通过选择足够大的C<∞. 5、子序列极限的确定在本节中，我们确定了位置4.1的子序列极限，并完成了定理1.2的证明。下一个建议是实现这种身份识别的第一步。提案5.1。假设假设1.1成立并让（5.1）G∞（0），克∞（t） ，G∞（tm），H∞（t） ，H∞（t） ，H∞（tm）是（4.1）中数列定律的极限点。

然后，计算了zrγ（tl, x） G级∞（tl)（dx）-ZRγ（0，x）G∞（0）（dx）-Zt公司l锆γs（s，x）+γx（s，x）b（R（s，x））+γxx（s，x）σ（R（s，x））H∞（tl)（ds，dx），ZRγ（0，x）G∞（0）（dx），（5.2）asl γ在{1，2，…，m}上变化，函数空间在[0，tl] ×R在s中连续可微分，在x中连续可微分两次，且紧密支持，与（5.3）Zt的一致l在定理1的符号中，ZRγ（s，x）σ（R（s，x））Rx（s，x）1/2dW（s，x），ZRγ（0，x）β（Fλ（x））dx。2、5.1号提案的提出依赖于其声明的适当初步版本。对于每个固定n∈ N设Bn，∑nbe[0，1]上的分段常数函数，跳跃为N，N，1和（5.4）Bn（k/n）=nkXj=1b（j/n），∑n（k/n）=nkXj=1σ（j/n），k=0，1，n、 12 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO SHKOLNIKOVLemma 5.2。假设满足假设1.1。然后，对于任何n∈ N、 t>0且函数γ在[0，t]×R上，函数γ在s中连续可微，在x中连续可微两次，且紧支撑着函数γ（t，x）Gn（t）（dx）-ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）-ZtZRZ公司γs（s，x）+γx（s，x）b（aFρ（n）（s）（x）+（1- a） R（s，x））+γxx（s，x）σ（aFρ（n）（s）（x）+（1- a） R（s，x））da Hn（t）（ds，dx）=-√nnXi=1Ztγ（s，X（n）i（s））σ（Fρ（n）（s）（X（n）i（s）））dB（n）i（s）+√nZtZRγx（s，x）（Bn- B） （Fρ（n）（s）（x））+γxx（s，x）（∑n- ∑）（Fρ（n）（s）（x））dx ds。（5.5）引理证明5.2。

如前所述固定n、t和γ，我们观察到柯西问题（1.2）广义解的定义2.4意味着Zrγ（t，x）R（t，x）dx-ZRγ（0，x）R（0，x）dx=zzrγs（s，x）R（s，x）+γx（s，x）B（R（s，x））+γxx（s，x）∑（R（s，x））dx ds。（5.6）为了找到用Fρ（n）（·）（·）代替R（·，·）的恒等式（5.6），我们对Γ（s，x）应用It^o\'s公式：=-R∞xγ（s，y）dy，得到zrΓ（t，x）ρ（n）（t）（dx）-ZRΓ（0，x）ρ（n）（0）（dx）=nnXi=1Ztγ（s，x（n）i（s））σ（Fρ（n）（s）（x（n）i（s）））dB（n）i（s）+ZtZRΓs（s，x）+Γx（s，x）b（Fρ（n）（s）（x））+Γxx（s，x）σ（Fρ（n）（s）（x））ρ（n）（s）（dx）ds。（5.7）接下来，我们使用分部求和（注意limx→∞Γ（s，x）=0和limx→∞Γs（s，x）=0表示所有s∈ [0，t]通过紧支撑假设γ）to computezrΓ（s，x）ρ（n）（s）（dx）=-ZRγ（s，x）Fρ（n）（s）（x）dx，s∈ {0，t}，（5.8）ZRΓs（s，x）ρ（n）（s）（dx）=-ZRγs（s，x）Fρ（n）（s）（x）dx，s∈ [0，t]，（5.9）ZRΓx（s，x）b（Fρ（n）（s）（x））ρ（n）（s）（dx）=-ZRγx（s，x）Bn（Fρ（n）（s）（x））dx，s∈ [0，t]，（5.10）ZRΓxx（s，x）σ（Fρ（n）（s）（x））ρ（n）（s）（dx）=-ZRγxx（s，x）∑n（Fρ（n）（s）（x））dx，s∈ [0，t]，（5.11）排名模型的波动13，其中Bn，∑根据（5.4）定义。将恒等式（5.8）-（5.11）插入（5.7）中，我们得到Zrγ（t，x）Fρ（n）（t）（x）dx-ZRγ（0，x）Fρ（n）（0）（x）dx=-nnXi=1Ztγ（s，X（n）i（s））σ（Fρ（n）（s）（X（n）i（s）））dB（n）i（s）+ZtZRγs（s，x）Fρ（n）（s）（x）+γx（s，x）Bn（Fρ（n）（s）（x））+γxx（s，x）∑n（Fρ（n）（s）（x））dx ds。（5.12）在这一点上，我们取方程（5.12）和（5.6）之间的差值b，将得到的方程乘以√n、 使用形式为sbn（Fρ（n）（s）（x））的微积分基本定理- B（R（s，x））=Bn（Fρ（n）（s）（x））- B（Fρ（n）（s）（x））+Zb（aFρ（n）（s）（x）+（1- a） R（s，x））（Fρ（n）（s）（x）- R（s，x））da，（5.13）∑n（Fρ（n）（s）（x））- ∑（R（s，x））=∑n（Fρ（n）（s）（x））- ∑（Fρ（n）（s）（x））+Zσ（aFρ（n）（s）（x）+（1- a） R（s，x））（Fρ（n）（s）（x）- R（s，x））da（5.14）并重新排列项，以（5.5）结尾。

我们现在准备给出命题5.1的证明。位置证明5.1。第1步。通过定义，（5.2）中的随机变量是Zrγ（t）定律中的极限l, x） Gn（tl)（dx）-ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）-Zt公司l锆γs（s，x）+γx（s，x）b（R（s，x））+γxx（s，x）σ（R（s，x））Hn（tl)（ds，dx），ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）（5.15），沿适当的n序列∈ N、 接下来，我们注意到收敛ρ（N）→ 概率ρ，单位为C（[0，∞), 命题2.5的正则性结果意味着概率（5.16）sup（s，x）的收敛性∈[0，tl]×RFρ（n）（s）（x）- R（s，x）→ 0，l = 1，2，m、 通过将序列ρ（n），n的Skorokhod表示定理以[Du，定理3.5.1]的形式结合起来，可以很容易地看出这一点∈ 利用命题2.5的正则性结果，首先得到几乎确定的点态收敛Fρ（N）（s）（·）→R（s，·）表示所有s≥ 由于所涉及的所有函数都是累积分布函数，因此几乎可以确定收敛ρ（n）→ ρin C（[0，∞), M（R）），几乎确定的收敛性Fρ（n）（·）（·）→ 实际上，R（·，·）在形式为[0，t]×R的所有集合上都是一致的。（5.16）的收敛性与b的Lipschitz性质σ（参见假设1.1（b））表明，（5.15）以及n的14 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO SHKOLNIKOVa序列中随机变量的定律极限∈ N等于zrγ（t）定律中的极限l, x） Gn（tl)（dx）-ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）-Zt公司lZRZ公司γs（s，x）+γx（s，x）b（aFρ（n）（s）（x）+（1- a） R（s，x））+γxx（s，x）σ（aFρ（n）（s）（x）+（1- a） R（s，x））da Hn（tl)（ds，dx），ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）沿n的相同序列∈ N、 接下来，我们应用引理5.2，发现后一个法律限制必须等于-√nnXi=1Ztlγ（s，X（n）i（s））σ（Fρ（n）（s）（X（n）i（s）））dB（n）i（s）+√新西兰元l锆γx（s，x）（Bn- B） （Fρ（n）（s）（x））+γxx（s，x）（∑n- ∑）（Fρ（n）（s）（x））dx ds，ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）沿n的相同序列∈ N

此外，由于函数b和σ是Lipschitzby假设1.1（b），因此suprema sup[0,1]| Bn-B |和sup[0,1]|∑n-∑Cn无法删除-1具有常数C<∞ 仅取决于B和σ的Lipschitz常数。因此，有必要研究（5.17）的法律限制-√nnXi=1Ztlγ（s，X（n）i（s））σ（Fρ（n）（s）（X（n）i（s）））dB（n）i（s），ZRγ（0，X）Gn（0）（dx）沿相同的n序列∈ N如前所述。第2步。考虑连续鞅序列（5.18）ZRγ（0，x）Gn（0）（dx）-√nnXi=1Ztγ（s，X（n）i（s））σ（Fρ（n）（s）（X（n）i（s）））dB（n）i（s），t∈ [0，tl]按n索引∈ N、 在哪里l γ在{1，2，…，m}和可数稠密子集上变化l函数空间o n[0，t]l] ×R在s中连续可微分，在x中连续可微分两次，并得到紧密支持。通过调用命题2.3，将每个鞅写成具有相同初始值的时变标准布朗运动（参见[KS，第3章，问题4.7]），并使用假设的γ和σ有界性，可以很容易地通过[Bi，定理7.3]的紧性准则来验证每个序列的紧性。特别地，n的每个序列∈ （5.18）的连续马氏体收敛到所有γ的相应极限过程Mγ的子序列a long∈ Cl, l ∈ {1，2，…，m}。现在，让Γ（s，x）：=-R∞xγ（s，y）dy与之前一样，通过部分积分，重新校准抽运1.1（a），应用p=2的不等式（3.2），并在基于秩的模型15中使用It^o等熵波动，我们得出估计值EΓ（0，X（n）（0））- EΓ（0，X（n）（0））+ 2 EZtZRγ（s，x）σ（Fρ（n）（s）（x））ρ（n）（s）（dx）ds（5.19）在（5.18）中随机变量的二阶矩上，具有相同的t值。