秩模型全局波动的SPDE极限

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英文标题：
《SPDE limit of the global fluctuations in rank-based models》
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作者：
Praveen Kolli, Mykhaylo Shkolnikov
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider systems of diffusion processes (\"particles\") interacting through their ranks (also referred to as \"rank-based models\" in the mathematical finance literature). We show that, as the number of particles becomes large, the process of fluctuations of the empirical cumulative distribution functions converges to the solution of a linear parabolic SPDE with additive noise. The coefficients in the limiting SPDE are determined by the hydrodynamic limit of the particle system which, in turn, can be described by the porous medium PDE. The result opens the door to a thorough investigation of large equity markets and investment therein. In the course of the proof we also derive quantitative propagation of chaos estimates for the particle system.
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中文摘要：
我们考虑扩散过程系统（“粒子”）通过其秩相互作用（在数学金融文献中也称为“基于秩的模型”）。我们证明，随着粒子数的增加，经验累积分布函数的涨落过程收敛于一个带加性噪声的线性抛物型SPDE的解。极限SPDE中的系数由粒子系统的流体动力极限确定，而流体动力极限又可以用多孔介质PDE来描述。这一结果为彻底调查大型股票市场及其投资打开了大门。在证明过程中，我们还推导了粒子系统混沌估计的定量传播。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> SPDE_limit_of_the_global_fluctuations_in_rank-based_models.pdf (304.23 KB)

2022-5-25 12:12:14 上传

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关键词：PDE SPD Mathematical Fluctuations Quantitative

SPDE排名模型Praveen KOLLI和MYKHAYLO SHKOLNIKOVAbstract的全球波动极限。我们考虑扩散过程系统（“粒子”）通过其等级相互作用（在数学金融文献中也称为“基于等级的模型”）。我们表明，随着粒子数的增加，经验累积分布函数的波动过程收敛于具有加性噪声的线性抛物线SPDE的解。极限SPDE中的系数由粒子系统的流体力学极限确定，而粒子系统的流体力学极限又可由多孔介质PDE描述。这一结果为彻底调查大型股票市场及其投资打开了大门。在证明过程中，我们还推导了粒子系统混沌传播的定量估计。简介我们研究实线上的相互作用扩散过程（“粒子”）系统，其动力学由SDEs（1.1）dX（n）i（t）=b给出Fρ（n）（t）X（n）i（t）dt+σFρ（n）（t）X（n）i（t）dB（n）i（t），i=1，2，n、 这里b，σ是从[0，1]到R，（0，∞), ρ（n）（t）：=nPni=1δX（n）i（t）是时间t时粒子系统的经验度量，Fρ（n）（t）是ρ（n）（t）的累积分布函数，B（n），B（n），B（n）是独立的标准布朗运动。请注意，过程X（n）的漂移和扩散系数与值b相同千牛和σ千牛当X（n）i（t）的秩（从左）在X（n）（t），X（n）（t），X（n）n（t）是k。这允许识别（1.1）由Fernholz和Karatzas引入的所谓随机投资组合理论的Rankbase模型（见[FK，第13节]）。基于秩的模型近年来在纯概率论和应用概率论中受到了广泛的关注。

最初，它们是在[BP]中分段线性滤波问题的背景下出现的一个特例，其中（1.1）建立了弱唯一性（弱存在性是[SV，练习12.4.3]中一般结果的结果）。最近对基于等级的模型重新产生兴趣的原因是，它们是捕捉美国公司间资本分配形状和稳定性的首选工具。我们参考【Fe，图5.1】了解70年来美国资本分配曲线的曲线图，并参考【CP】和【IPS】了解基于等级的模型中关于其形状和稳定性的数学结果型号。在这种情况下，人们对系统的大n行为（1.1）特别感兴趣，该系统描述了当一个人考虑数千家公司时，资本分配的演变。后者的股票包括机构投资者的典型投资组合，资本分配的变化是其投资决策的核心。部分由NSF拨款DMS-1506290.2 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO SHKOLNIKOVWe支持的研究指出，（1.1）属于粒子系统通过其平均场相互作用的一般框架，其分析起源于墨西哥的开创性工作【Mc】。在分歧过程中，关于该主题的一般结果可以总结如下。

n的大数定律→ ∞ （“水动力极限”）是在假设漂移和扩散系数与粒子当前位置有关的联合连续性以及G¨artnerin[Ga]的经验测量的情况下获得的（参见[Le]，[Oe1]，了解更严格假设下的先前结果）。对于漂移系数rrb（X（n）i（t），y）ρ（n）（t）（dy），在流体动力极限周围建立了高斯函数，田中在[Ta]中具有两次连续的可差函数b和恒定的扩散系数（关于梯度型漂移系数的情况，另见[Oe2]）。同时，Sznitman[Sz1]证明了在无漂移且具有两次连续可微分函数σ的扩散系数rrσ（X（n）i（t），y）ρ（n）（t）（dy）的情况下，函数的高斯性质。最后，Dawson和G¨artner[DG]研究了仅取决于粒子当前位置的连续漂移系数和连续扩散系数的情况下，水动力极限周围的大偏差。由于干燥系数和扩散系数的不连续性，所述结果均不适用于系统（1.1）。尽管如此，（1.1）中系数的特殊结构使得推导该系统的水动力极限成为可能（见[JR，命题2.1]和[DSVZ，推论1.6]，[S，定理1.2]）。更具体地说，设M（R）是R上的概率测度空间，具有弱收敛拓扑和C（[0，∞), M（R））是从[0]开始的连续函数空间，∞) 赋予M（R）局部一致收敛的拓扑结构。给定初始位置X（n）（0），X（n）（0），X（n）n（0）是i.i.d。

根据概率测度λ和有限的一阶矩，以及（1.1）中的b和σ是连续的，函数t 7→ ρ（n）（t），n∈ N在C中以概率收敛（[0，∞), M（R））到确定性极限t 7→ ρ（t）。此外，相关的累积分布函数R（t，·）：=Fρ（t）（·），t≥ 0表示多孔介质方程Cauchy问题的广义解：（1.2）Rt=-B（R）x+∑（R）xx，R（0，·）=Fλ（·），其中B（R）：=Rrb（a）da，∑（R）：=Rrσ（a）da（（1.2的广义解的定义3）在下面的定义2.4中简要回顾）。在fa-ct中，在附加力矩和正则性假设下，【DSVZ，定理1.4】表明序列t 7→ ρn（t），n∈ 满足C中的大偏差原则（[0，∞), M（R））。在本文中，我们关注粒子系统（1.1）的波动。为此，我们引入了R上的空间有限符号测度，将其视为C（R）的对偶，并赋予了相关的弱-* 拓扑结构。同样，我们为t>0定义空间M fin（[0，t]×R），并为每个空间配备相应的弱-* 拓扑结构。通过（R）值过程（1.3）t 7研究粒子系统（1.1）的波动→ Gn（t）（dx）：=√n（Fρ（n）（t）（x）- R（t，x））dx，n∈ 按t索引∈ [0，∞), 以及工艺（1.4）t 7→ Hn（t）（ds，dx）：=√n（Fρ（n）（s）（x）- R（s，x））dx ds，n∈ 分别以M fin（[0，t]×R）表示，t>0。注意，测量值Gn（t），t≥ 0属于M fin（R），度量值Hn（t），t>0是M fin的元素（[0，t]×R），t>0只要概率度量值ρ（t），t的第一个矩≥ 0是基于秩的模型3中的有限和波动，一致有界于t的紧凑区间。在以下假设下，情况就是这样（见下面的估计（2.11））。假设1.1。

（a） 存在η>0和dλ∈ M（R）使得λ具有丰富的密度和阶数（2+η）的有限矩，并且初始位置sX（n）（0），X（n）（0），X（n）n（0）根据λ为所有n表示i.i.d∈ N、 （b）（1.1）中的函数s b和σ与局部H¨older连续导数不同。在继续之前，值得指出的是，（1.3）和（1.4）的过程提供了对formsZRγ（x）Gn（t）（dx）的可观测值的访问=√新西兰元Zxγ（y）dy（ρ（n）（t）（dx）-ρ（t）（dx）），（1.5）ZtZRγ（s，x）Hn（t）（ds，dx）=√nZtZRZxγ（s，y）dy（ρ（n）（s）（dx）-函数γ的ρ（s）（dx））ds（1.6）∈ C（R）∩ L（R）和（1.7）γ∈ C（[0，t]×R）：γ（s，·）∈ L（R）代表Lebesgue a.e.s∈ 分别为[0，t]。我们的主要结果如下。定理1.2。假设假设1.1保持并考虑SPDE（1.8）Gt的温和溶液GO=b（R）Gx个+σ（R）Gxx+σ（R）R1/2x˙W，G（0，·）=β（Fλ（·）），其中R是柯西问题（1.2）的唯一广义解，˙W是时空白噪声，β是独立于˙W的标准布朗桥。更具体地说，设G为G（t，x）=ZRβ（Fλ（y））p（0，y；t，x）dy+ZtZRσ（R（s，y））Rx（s，y）1/2p（s，y；t，x）dW（s，y），（t，x）∈ [0，∞) ×R，（1.9），其中p d enotes与算子b（R（t，·））ddx+σ（R（t，·））ddx，t相关的鞅问题解的转移密度≥ 0和二重积分应该在It^o意义上理解。然后，有以下收敛：（a）M fin（R）-值过程Gn，n∈ N在有限维分布中趋向于t 7→ G（t，x）dx。（b） 过程Hn，n∈ N取M（[0，t]×R）中的值，t>0在有限维分布意义上收敛到t 7→ G（s，x）1[0，t]×R（s，x）ds dx，也与（a）中的过程结合。备注1.3。

定理1.2的结果表明，在对数资本化紧随（1.1）之后的大型股票市场中，资本l分布的演变可近似为t 7→ R（t，·）+n-1/2G（t，·），误差为o（n-1/2）。这表明，如果将[Fe，图5.1]中的资本分布4 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO-Shkolnikov曲线的非规范化版本组合到一个曲面上，该曲面的高度编码了在任何给定时间与任意对数大写相关的相对秩，则该曲面应类似于随机曲面R+n的典型实现-1/2G索引为[0，∞) ×R。因此，通过（1.5）、（1.6）的观察值，可以通过随机曲面R+n的相应观察值来获取大型股票市场的属性-1/2克。备注1.4。从（1.9）可以看出，SPDE（1.8）的温和解G是协方差为ZrZr的平均零高斯过程Fλ（最小值（y，y））- Fλ（y）Fλ（y）p（0，y；t，x）p（0，y；t，x）dydy+Zmin（t，t）ZRσ（R（s，y））Rx（s，y）p（s，y；t，x）p（s，y；t，x）dy ds（1.10），介于任何G（t，x），G（t，x）之间。备注1.5。对于常数b和σ（当粒子独立时）和a fixedt≥ 0 Gn（t），n的收敛性∈ N属于[dGM，定理2.1]的框架（另见[BL，推论3.9]）。这里使用的拓扑是L（R）上的弱拓扑，其结果是利用子类型2空间中的中心极限定理建立的。由于粒子之间的依赖性，在一般情况下，我们不能使用相同的机器，而是需要从确定Gn（t），n的紧密性开始∈ 直接地。因此，我们选择使用空间M fin（R）而不是L（R），因为它提供了一个更合适的紧性标准。在定理1.2的证明过程中，我们获得了粒子系统（1.1）混沌的第一个定量传播结果。

混沌的一般传播（见[Sz2]）表明，对于大n，（1.1）的弱解应接近d'X（n）i（t）=b的强解R（t，(R)X（n）i（t））dt+σR（t，(R)X（n）i（t））dB（n）i（t），\'X（n）i（0）=X（n）i（0），i=1，2，n、 （1.11）其中B（n），B（n），B（n）表示（1.1）中的标准布朗运动。关于（1.11）的唯一强解的存在性，我们参考以下命题2.5的讨论。写入ρ（n）（t）：=nPni=1δ′X（n）i（t），t≥ 0表示与i.i.d.粒子\'X（n），\'X（n），….相关的经验测量路径，我们的目标是比较ρ（n）（·）和ρ（n）（·）。作为距离的概念，我们为p引入≥ 1在具有p阶有限矩的R上概率测度空间上的Wasserstein度量：（1.12）Wp（u，ν）=inf（Y，Y）E|Y- Y | p1/p，其中最大值是所有随机向量（Y，Y）上的ta-ken，因此Yi根据u分布，Ya根据ν分布。我们的混沌定量传播结果如下。定理1.6。假设假设1.1成立。然后，对于所有p>0和T>0，存在一个常数C=C（p，T）<∞ 这样（1.13）N∈ N、 1个≤ 我≤ 编号：Ehsup0≤T≤TX（n）i（t）-\'\'X（n）i（t）圆周率≤ C、n-第2页。排名模型5的波动，尤其是当p≥ 1一个有（1.14）N∈ 编号：Ehsup0≤T≤TWp公司ρ（n）（t），’ρ（n）（t）圆周率≤ C、n-第2页。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们准备了用于证明定理1.2和1.6的各种结果：Wassersteindistances的一些性质以及后者与经验测度的关系（来自[BL]和[dGM]），以及（1.2）解的PDE估计（来自[Gi]）及其对相关扩散过程的影响（包括基于[Ar]和[Kr2]中结果的跃迁密度的高斯下界和上界）。

在第3节中，我们证明了定理1.6，将其简化为[BL，定理4.8]对均匀分布中i.i.d.样本的经验测度与均匀分布本身之间的预期瓦瑟斯坦距离的估计。然后在第4节中使用定理1.6来确定过程Gn，n的有限维分布的紧密性∈ N和Hn，N∈ N通过概率测度的wf表示，以其累积分布函数表示。在第5节中，我们通过确定Gn，n的有限维分布的极限点，得出定理1.2的证明∈ N和Hn，N∈ N、 我们的论点依赖于与SPDE（1.8）（见引理5.2）和适当耦合结构（见命题5.4的证明）相关的martinga-le问题的初步版本。确认。我们要感谢卡梅伦·布鲁格曼（CameronBruggeman）在本文件编写的早期阶段所进行的富有启发性的讨论。我们还感谢安尼斯·卡拉查斯（IoannisKaraTzas）的许多有益评论。2、准备工作2。1、瓦瑟斯坦距离和经验测量。对于p≥ 1考虑具有p阶有限矩的R上的两个概率度量u，ν。设Fu，Fνbetheir累积分布函数和qu，qν为其分位数函数。下文重复使用了Wp（u，ν）的以下众所周知的表示法（参见例如【BL，第2.3节】）。提案2.1。在上一段的设置中，它保持sw（u，ν）=ZRFu（x）- Fν（x）dx，（2.1）Wp（u，ν）=Zqu（a）- qν（a）掌上电脑1/p，p≥ 1.（2.2）此外，我们还对来自均匀分布的i.i.d.样本的经验测量值与均匀分布本身之间的预期Wasserstein距离进行了估计。这些数据摘自【BL，定理4.8】。提案2.2。让你，你。根据[0，1]上的均匀分布ν，为i.i.d。

然后，存在一个常数C<∞ 使（2.3）E可湿性粉剂nnXi=1δUi，νP1/p≤ C p1/2n-1/2，p≥ 1，n∈ N、 最后，我们回顾了[dGM，定理2.1]中经验累积分布函数的函数中心极限定理（另见[BL，推论3.9和6 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO Shkolnikov对函数Jon p.25的讨论]）。该结果产生（1.8）中的初始条件。提案2.3。满足假设1.1（a）。然后，序列Gn（0，·），n∈ N在L（R）（a因此在M（R））中弱收敛于β（Fλ（·）），其中β是一个标准布朗桥。2.2。多孔介质方程和相关的扩散过程。我们转向问题（1.2）的广义解的性质以及相关的微分过程。首先，我们简要回顾了这种广义解决方案的【Gi，定义3】（另请参见原始参考文献【DK，定义1.1】）。定义2.4。R（0，·）=Fλ（·）的有界连续非负函数R称为柯西问题（1.2）的广义解ifZttZxxζxB（R）+ζxx∑（R）+ζtR dx dt=Zxxζ（t，·）R（t，·）dx-Zxxζ（t，·）R（t，·）dx+Zttζx（t，x）∑（R（t，x））dt-Zttζx（t，x）∑（R（t，x））dt（2.4），对于所有0≤ t<t，x<x，函数ζ：[t，t]×[x，x]→ R在t中连续可微分，在x中连续可微分两次，且满足ζ（·，x）=ζ（·，x）=0。根据假设1.1和mina∈[0,1]∑′（a）=mina∈[0,1]σ（a）>0，我们可以将[Gi，定理4和7]与以下命题相结合。提案2.5。满足假设1.1。然后，Cauchy问题m（1.2）允许唯一的广义解R。此外，其分布导数Rx可以由[0，T]×R形式的任何条带上的有界函数表示。我们通过讨论SDE（2.5）d'X（T）=b来结束本小节R（t，’X（t））dt+σR（t，’X（t））dB（t）满足每个过程X（n）i。