秩模型全局波动的SPDE极限

较低的数量倾向于（5.20）EΓ（0，X（1）（0））-EΓ（0，X（1）（0））+2 EZtZRγ（s，x）σ（R（s，x））ρ（s）（dx）ds在极限n内→ ∞, 可以通过将Sko-rokhod嵌入定理（Du，定理3.5.1）的形式应用于序列ρ（n），n∈ N、 利用几乎确定的弱收敛σ（Fρ（N）（s）（x））ρ（N）（s）（dx）=2d∑N（Fρ（N）（s）（·））→2 d∑（R（s，·））=σ（R（s，x））ρ（s）（dx），s∈ [0，t]（5.21）并引用支配收敛定理（回想一下，γ和σ由一个假设所限定）。特别地，（5.18）中连续鞅的一维分布是一致可积的，因此限制过程Mγ必须是所有γ的连续鞅∈ Cl,l ∈ {1，2，…，m}。最后，对于nyγ∈ Cl, γ∈ C▄lSkorokhod嵌入定理在序列ρ（n），n中的另一个应用∈ N、 （5.21）中的收敛性和支配收敛定理表明，在[0，min（tl, t▄l)]在与γ相关的（5.18）连续鞅之间，キγ在规律上收敛于（5.22）ZtZRγ（s，x）キγ（s，x）σ（R（s，x））ρ（s）（dx）ds，t∈ [0，最小值（tl, t▄l)]在极限n内→ ∞. 此外，另一个依赖于分部积分的一致可积性论证，即假设1.1（a），p=4的不等式（3.2），BurkholderDavis-Gundy不等式（参见[KS，第3章，定理3.28]）以及γ和σ的有界性，允许将（5.2 2）中的过程识别为Mγ和Mγ之间的二次协变量过程。这和命题2.3得出结论，概率空间支持Mγ，γ∈ Cl, l ∈ {1，2，…，m}承认在[0，tm]×R上的一个正交鞅测度dM（s，x），在[Wa，定义pp]的意义上。

287–288]二次变异测度（5.23）dhMi（s，x）=σ（R（s，x））ρ（s）（dx）ds在[0，tm]×Rand上，与dM（s，x）无关，满足（5.24）Mγ（t）=ZRγ（0，x）β（Fλ（x））dx+ZtZRγ（s，x）dM（s，x），t∈ [0，tl]对于所有γ∈ Cl, l ∈ {1，2，…，m}。为了确定白噪声（5.25）dW（s，x）：=σ（R（s，x））-1Rx（s，x）-[0，tm]×R上的1/2dM（s，x），16 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO Shkolnikoven，识别（5.26）Mγ（t）=ZRγ（0，x）β（Fλ（x））dx+ZtZRγ（s，x）σ（R（s，x））Rx（s，x）1/2dW（s，x），t∈ [0，tl]对于所有γ∈ Cl, l ∈ {1，2，…，m}。关于此类l γ很容易跟随。获取任意l γ它需要从C中选择一系列函数l收敛到γ，使用后者的语句并传递到极限。我们继续对温和溶液G fr om（1.9）进行命题5.1的模拟。提案5.3。假设假设1。1保持不变。然后，对于任何t>0，R上的度量值G（t，x）dx和G（s，x）1[0，t]×R（s，x）ds dx在[0，t]×R上，根据（1.9）中的温和溶液G定义，几乎肯定是有限的，并且对于[0，t]×R上的每个函数，其在s中是连续可微分的，在x中是两次连续可微分的，在x中是紧支撑的一个hasZRγ（t，x）G（t，x）dx-ZRγ（0，x）G（0，x）dx-ZtZR公司γs（s，x）+γx（s，x）b（R（s，x））+γxx（s，x）σ（R（s，x））G（s，x）dx ds=ZtZRγ（s，x）σ（R（s，x））Rx（s，x）1/2dW（s，x）。（5.27）证明。第1步。

我们确定t>0和im，以在第一步中验证（5.28）EZR | G（t，x）| dx< ∞ 和EZtZR | G（s，x）| dx ds< ∞.为此，我们将（1.9）的右侧插入第一个期望值，并使用三角形不等式、Fubini定理和Jensen不等式将结果限定为（5.29）E锆β（Fλ（y））dy公司+锆ZtZRσ（R（s，y））Rx（s，y）p（s，y；t，x）dy ds1/2倍。Fubini定理和高斯分布的标度特性进一步揭示了（5.29）中的第一个和是标准高斯分布的第一个绝对矩与RRPFλ（y）（1）的乘积-Fλ（y））dy.由于假设1.1（a）和【BL，函数Jon第25页的讨论】，后一个积分是有限的。为了估计（5.29）中的第二个和，我们结合了σ的有界性（参见假设1.1（b）），不等式p（s，y；t，x）≤ C（t- s）-1/2（参见（2.10））和同一性（5.30）ZRRx（s，y）p（s，y；t，x）dy=Rx（t，x）（由于扩散系数x的马尔可夫性质，见第2.2小节）达到CZR的上限（5.31Zt（t- s）-1/2Rx（t，x）ds1/2dx=C t1/4ZRRx（t，x）1/2dx，基于秩的模型17中的波动，其中C<∞ 仅取决于sup[0,1]σ和（2.10）中的常数。此时，关于柯西分布（5.32）ZRRx（t，x）1/2dx=πZRRx（t，x）1/2（1+x）π（1+x）dx的Jensen不等式≤π1/2ZRRx（t，x）（1+x）dx1/2估计值（2.11）意味着（5.28）中的第一个预期值是确定的。此外，根据Fubini定理，由于刚刚得到的估计一致地有界于t的每个紧区间，因此（5.28）中的第二个期望也是有限的。第2步。

为了推导恒等式（5.27），我们定义了一个函数γ，如（1.9）中所述，并从G的定义中推断出ZRγ（t，x）G（t，x）dx=ZRγ（t，x）ZRG（0，y）p（0，y；t，x）dy dx+ZRγ（t，x）ZtZRσ（R（s，y））Rx（s，y）1/2p（s，y；t，x）dW（s，y）dx。（5.33）此外，γ和σ的有界性以及估计值zrzr | G（0，y）| p（0，y；t，x）dy dx=ZR | G（0，y）| dy<∞,（5.34）ZRZtZRRx（s，y）p（s，y；t，x）dy ds dx≤ CZRZt（t- s）-1/2Rx（t，x）ds dx<∞（5.35）（更多详细信息请参见步骤1）允许我们使用经典和随机Fubini\'s定理（请参见[Wa，定理2.6]，并注意，在我们的情况下，其中的判定量度是δИy（dy）dy ds），并重写（5.33）asZRG（0，y）ZRγ（t，x）p（0，y；t，x）dx dy+ZtZRσ（R（s，y））Rx（s，y）1/2ZRγ（t，x）p（s，y；t，x）dx dW的右侧（s，y）。（5.36）接下来，我们使用It^o公式和Fubini定理来确定Zrγ（t，x）p（s，y；t，x）dx=Eγ（t，’X（t））\'X（s）=y= γ（s，y）+EZts（Arγ）（r，’X（r））dr\'X（s）=y= γ（s，y）+ZtsZR（Arγ）（r，x）p（s，y；r，x）dx dr，其中（5.37）（Arγ）（r，x）：=γs（r，x）+γx（r，x）b（r（r，x））+γxx（r，x）σ（r（r，x）），（r，x）∈ [0，t]×R.18 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO Shkolnikova将此观察结果应用于（5.36）中的表达，我们得到ZRG（0，y）γ（0，y）dy+ZRG（0，y）ZtZR（Arγ）（R，x）p（0，y；R，x）dx dr dy+ZtZRσ（R（s，y））Rx（s，y）1/2γ（s，y）dW（s，y）+ZtZRσ（R（s，y））Rx）1/2ZtsZR（Arγ）（R，x）p（s，y；R，x）dx dr dW（s，y）。（5.38）在这一点上，由于f（Arγ）和σ（cf）的有界性。

假设1.1（b））和估计值ZR | G（0，y）| ZtZRp（0，y；r，x）dx dr dy=ZR | G（0，y）| t dy<∞,（5.39）ZTZRZRX（s，y）p（s，y；r，x）dy ds dx dr≤ CZtZRZr（r- s）-1/2Rx（r，x）ds dx dr<∞（5.40）经典和随机Fubini定理适用于（5.38）中的第二和第四求和，（5.38）中的总表达式等于ZRγ（0，y）G（0，y）dy+ZtZR（Arγ）（r，x）ZRG（0，y）p（0，y；r，x）dy dx dr+ZtZRσ（r（s，y））Rx（s，y）1/2γ（s，y）dW（s，y）+ZtZR（Arγ）（r，x）ZrZRσ（r（s，y））Rx（s，y）1/2p（s，y）；r，x）dW（s，y）dx）dx dr=ZRγ（0，y）G（0，y）dy+ZtZR（Arγ）（r，x）G（r，x）dx dr+ZtZRγ（s，y）σ（r（s，y））Rx（s，y）1/2dW（s，y）。（5.41）这完成了命题的证明。我们现在可以确定命题4.1的后续限制。提案5.4。假设假设1。1是满足的。那么，在（4.1）中的序列定律中，任何后续的限制都具有与以下相同的分布G（0，x）dx，G（t，x）dx，G（tm，x）dx，G（s，x）1[0，t]×R（s，x）ds dx，G（s，x）1[0，t]×R（s，x）ds dx，G（s，x）1[0，tm]×R（s，x）ds dx,（5.42），其中G是（1.9）中的温和溶液。证据第1步。我们考虑一个概率空间，它支持s在定律中的一个极限点（5.43）G∞（0），克∞（t） ，G∞（tm），H∞（t） ，H∞（t） ，H∞（tm）并将其与SPDE（1.8）的温和溶液偶联。为此l ∈ {1，2，…，m}我们选取一个可数稠密子集Cl[0，t]上的函数空间l] ×R在s中连续可差，在基于秩的模型中两次波动19在x中连续可差，且紧支撑。我们注意到（5.2）的随机变量l γ在{1，2，…，m}和C上变化l定义了基本概率空间。此外，根据命题5.1，它们的联合分布必须是（5.3）中随机变量的联合分布。

因此，通过【Ka，定理5.3】，我们可以在基础概率空间的扩大上定义连续过程的可数集合，其条件分布给定（5.2）中的随机变量，其中l γ在{1，2，…，m}和C上变化l与连续过程（5.44）ZtZRγ（s，x）σ（R（s，x））Rx（s，x）1/2dW（s，x），t的条件分布相同∈ [0，tl], γ∈ Cl, l = 1，2，mgivenZt公司lZRγ（s，x）σ（R（s，x））Rx（s，x）1/2dW（s，x），γ∈ Cl, l = 1，2，m、 ZRγ（0，x）β（Fλ（x））dx，γ∈ Cl, l = 1，2，m、 （5.45）因此，扩大的概率空间支持[0，tm]×R上的s或t正交鞅测度dM（s，x）（在[Wa，定义见第287-288页]的意义上）以及[0，tm]×R上的二次变差测度（5.46）dhMi（s，x）=σ（R（s，x））Rx（s，x）dx ds，我们可以定义[0，tm]×R上的白噪声dW（s，x）（如（5.25）所示）。最后，我们将G（t，x）=ZRp（0，y；t，x）G给出的SPDE（1.8）在[0，tm]×R上的温和解设为Gbe∞（0）（dy）+ZtZRσ（R（s，y））Rx（s，y）1/2p（s，y；t，x）dW（s，y），（t，x）∈ [0，tm]×R.（5.47）特别是，命题5.3和我们的耦合结构确保Zrγ（tl, x） G（tl, x） dx公司-Zt公司lZR（Asγ）（s，x）G（s，x）dx ds=ZRγ（tl, x） G级∞（tl)（dx）-Zt公司l锆（Asγ）（s，x）H∞（tl)（ds，dx），γ∈ Cl, l = 1，2，m、 （5.48），并标记为（5.37）。第2步。We fix an公司l ∈ {1，2，…，m}与连续函数g:[0，tl] ×R→ rw紧支撑，考虑后向柯西问题（5.49）Asu=g，u（tl, ·) = 0开[0，tl] ×R.如（2.7）后面的pa R图所述，【Kr2，定理2.1】的条件适用于方程（5.49），并保证存在u，ut，ux，ux的解UW∈ L（[0，tl] ×R）。

我们声称（5.48）意味着Zru（tl, x） G（tl, x） dx公司-Zt公司lZR（Asu）（s，x）G（s，x）dx ds=ZRu（tl, x） G级∞（tl)（dx）-Zt公司lZR（Asu）（s，x）H∞（tl)（ds，dx）。（5.50）20 PRAVEEN KOLLI和MYKHAYLO Shkolnikov因为（5.50）两侧的第一个积分由于终端条件in（5.49）而消失，并且g=Asu可以从可数稠密子集c（[0，tl] ×R），从（5.50）可以得出G（s，x）1[0，tl]×Rds dx=H∞（tl)（ds，dx）适用于所有l ∈ {1，2，…，m}然后从（5.48）得出G（tl, x） dx=G∞（tl)（dx）适用于所有l ∈ {1，2，…，m}，完成命题的证明。要从（5.48）中获得（5.50），必须证明可以选取函数γ（κ），κ∈ C中的Nl（5.51）γ（κ）（tl, ·) → u（tl, ·) 和Asγ（κ）→ Asu=g一致为κ→ ∞.为此，我们回顾了SDE（2.5）的解X，并观察到时间齐次马尔可夫过程∈ [0，tl] 是关联SDE的唯一弱解，因此也是算子As的局部马尔金问题的唯一弱解（参见例如[Ka，定理18.7]）。后者具有有界连续系数，因此（s，(R)X（s）），s∈ [0，tl] 是一个Feller过程，它的生成器是AS的独特扩展，它是在[0，tl] 在[0，t]上的连续函数空间中的×R适当域l] ×R在本质上消失（参见例如[Ka，定理18.11]）。接下来，我们使用随机表示（5.52）u（s，x）=-中兴通讯g（r，’X（r））\'X（s）=Xdr，（s，x）∈ [0，tl] ×对于（5.49）的解（参见前面（2.8）的解释）。以及流程的Fellerproperty∈ [0，t]和支配收敛定理表明u是连续的。此外，由于g具有紧凑的支撑，而diffusion'X具有有界系数，因此u在整体上消失。

最后，表示（5.52）揭示了过程（5.53）u（s，’X（s））- u（0，(R)X（0））-Zsg（r，’X（r））dr，s∈ [0，t]是一个鞅，因此，与Dynkin公式相反（参见[RY，Chaptervi，Proposition 1.7]），u属于Asu=g的域。尤其是，uadmit采用（5.51）中所述的近似值。我们用定理1.2的证明来结束这一节。定理1.2的证明。根据命题4.1，（4.1）中序列的每个子序列都有一个在定律中收敛的子序列。此外，根据命题5。4后者的极限必须具有（5.42）中随机向量的分布。因此，（4.1）中的整个序列在法律上收敛于（5.42）中的r andom向量，这正是定理1.2的内容。参考文献D.G.Aronson（1968）。线性抛物方程的非负解。安。斯库拉诺姆。辅助。比萨岛22号，第607-694页。[英国石油公司]R.F.Bass，E.Pardoux（198 7）。分段常数系数差异的唯一性。概率。理论相关领域76，第557-572页。【Bi】P.Billingsley（1999年）。概率测度的收敛性。第二版约翰·威利父子出版社，纽约。排名模型的波动21【BL】S.Bobkov，M.Ledoux（2014）。一维经验测度、有序统计和Kantorovich迁移距离。预印本可在atmath获得。umn。埃杜/~bobko001/预印本/2014BL订单。统计数字13.pdf。【CP】S.Chatterjee，S.Pal（2011年）。相互作用差异的组合分析。J、 Theoret。概率。24，第939-968页。【DG】D.A.Dawson，J.G¨artner（1987年）。弱相互作用差异的McKean-Vlasov限值存在较大偏差。《随机20》，第247-308页。【dGM】E.del Barrio，E.Gin\'E，C.Matr\'an（1999年）。经验分布和真实分布之间Wasserstein距离的中心极限定理。安。概率。27，第1009-1071页。A.Dembo，M.Shkolnikov，S.R.S.Varadhan，O。

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