期权定价序贯蒙特卡罗方法的一些贡献

我们还可以估算锌/锌-1通过\\ZnZn-1=MXm=1W（m）n-1αnX（m）1:n.4使用加权函数4。1在SMC中，使用加权函数的目标是创建一系列中间目标密度，这些密度试图接近最佳重要性采样密度，以引导粒子朝向感兴趣的区域。考虑离散时间随机过程X1：非一般空间XN。假设我们要估计算法1，一个通用的SMC算法1：设置初始权重W（m）=1/m，归一化常数的初始估计tc=1.2：对于n=1 do3：样本X（m）~ q（x），4：计算非标准化权重wX（米）,5： 归一化常数的更新估计值bC=bC×PMm=1wX（米）,6： 计算归一化权重W（m）∝ WX（米）,7： 如果满足重采样标准，则8：重采样nw（m），X（m）oMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）oMm=1和setnW（m），X（m）oMm=1←n1/M，X（M）oMm=1,9：else10：setnW（M），X（M）oMm=1←nW（m），X（m）oMm=1.11：对于n≥ 2 do12：样品X（m）n~ qn公司xn | X（m）1:n-1.设置X（m）1:n←X（m）1:n-1，X（m）n,13： 计算增量权重αnX（m）1:n和非标准化权重wnX（m）1:n=W（m-1） n个-1αnX（m）1:n,14： 更新归一化常数的估计值bCn=bCn-1×PMm=1wnX（m）1:n,15： 计算归一化权重W（m）n∝ 西尼罗河X（m）1:n,16： 如果满足重采样标准，则17：重采样nw（m）n，X（m）1：noMm=1，以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）1：noMm=1和setnW（m）n，X（m）1：noMm=1←n1/M，X（M）1：标称值=1,18：elsesetnW（M）n，X（M）1：标称值=1←nW（m）n，X（m）1：标称值=1。该过程函数的期望值H（X1:N）。基本蒙特卡罗方法模拟进程的M个独立化nx（M）1：NoMm=1，其中X（M）1：n表示第M个实现。E【H（X1:N）】估计为bymmxm=1HX（m）1:N.如果H的形式是H（X1:N）在大多数空间xn上为零，而仅在一个小子集上为非零，则H的大多数X（m）1:N’s将为零。

这会导致最终估计值的高方差。更具体地说，由于XN是样本空间，我们写：=XN=S∪ S、 在哪里=x1：N∈ XN:H（x1:N）=0andS公司=x1：N∈ XN:H（x1:N）6=0.如果P（X1:N∈ S） 远大于P（X1:N∈ S） ，模拟M个独立的实现将导致大多数位于S。我们的目标是使用SMC模拟更多来自S的粒子。为了做到这一点，我们考虑了一系列正势函数Gn:Xn→ R、 n=1，2，N这样qnn=1Gn（X1:n）=1，writeh（X1:n）=“NYn=1Gn（X1:n）#H（X1:n）。目标是选择Gn，使其通过SMC的称重和重采样步骤引导粒子进入SThrn。当在路径空间上进行此操作时，生成的算法有时称为回火。[7]考虑这一点，并展示如何在路径空间上构建一个中间目标密度的艺术序列，将粒子引导到感兴趣的区域。但是，在路径空间上执行此操作会导致计算成本较高，并且我们不在路径空间上执行此操作。4.2屏障选项我们考虑在一系列监测日期T<····<Tp=T和一系列上下屏障LT，LTp公司∈ Rdand UT，UTp公司∈ 分别为Rd。我们假设障碍条件是，所有基础资产的价值在监测时都位于各自的障碍内。这是一个过于简单的假设，使我们更容易演示各种方法；也可以使用更复杂的屏障条件。为了便于记法，我们将TIF从屏障中移除，并将其简单地替换为i。设Xn=（Sn-1，序号）∈R2D用于n≥ 1，让H表示时间T的payoff函数。随机变量序列X1:n构成马尔可夫链。

障碍期权的价格为QD=E“H（ST）pYi=11{STi∈ （Li，Ui）}#，我们在此假设利率为0。如果利率是r，那么将有一个eRTr（t）dt乘以QD的系数。这是一个常数，仅在（已知）比例因子范围内影响估计方差。其中1{STi∈ （Li，Ui）}=dYj=11{STi，j∈ （李，j，Ui，j）}。STi、j、Li、jand Ui、jdenote分别是STi、LIAN和Ui的第j个组件。在这种情况下，S=RdN，S=s∈ RdN:sTi，j∈ （Li，j，Ui，j），i=1，2，p、 j=1，2，D,S=S\\S。【9】中的作者介绍了一种SMC算法来估计价格。建议密度q被选为与基础离散化相关的密度。对于每个时间间隔（Ti-1，Ti）他们向前模拟直到Tiand，然后从仍在屏障内的粒子中重新采样时间Ti时突破屏障条件的粒子。他们的算法是算法2。据评论，他们不使用自适应版本的重采样，而是始终重采样。屏障选项的算法2 SMC 1：设置初始权重W（m）=1/m，归一化常数的初始估计值bc=1.2：对于n=1 do3：样本X（m）~ q（x）.4：对于n≥ 2 do5：样品X（m）n~ qn公司xn | X（m）n-1.设置X（m）1:n←X（m）1:n-1，X（m）n.6： 如果n∈ {T，…，Tp}，假设n=Tkthen7：计算非标准化权重w（m）k=w（m）k-1×1nS（m）Tk∈ （Lk，英国）o，8：归一化康斯坦贝克=bCk的更新估计-1×PMm=1w（m）k，9：计算归一化权重W（m）k∝ w（m）k，10：重新采样nw（m）n，X（m）1：noMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）1：noMm=1和setnW（m）n，X（m）1：noMm=1←n1/M，X（M）1：标称值=1。估计价格为青岛银行=bCp×MXm=1W（m）pHS（m）N.此外，由于基本上只计算归一化常数，因此不存在路径退化问题。

与标准MC估计器相比，在监控时间从屏障内的路径对屏障外的路径进行重采样可以提高估计器的效率。有人认为，对于持续波动性，在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的背景下，可以对价格进行抽样，以确保在一个步骤中，该过程始终存在；见【15】。然而，如果在时间Ti时只有极少数粒子满足势垒条件，则该估计值也将具有较高的方差。例如，如果：维度d高；障碍条件是狭窄的，即Liand UI相互靠近；波动率σ较高；时间间隔（Ti-1，Ti）较大。我们的目标是引入一系列正权重函数，以便解决这个问题。为了做到这一点，我们写下路径退化是指重复的重采样步骤导致相同粒子X1:N的多个副本。这导致基于整个路径的估计不可靠。QD=Eh（S）h（S）h（S）×hT（ST）hT-1（ST-1） ×hT+1（ST+1）×hT+2（ST+2）hT+1（ST+1）×hTp-1（STp-1） hTp公司-1.-1（STp-1.-1） ×hTp-1+1（STp-1+1）×hTp-1+2（STp-1+2）hTp-1+1（STp-1+1）×···×hTp（STp）hTp-1（STp-（1）= h（S）×E“NYn=1Gn（Xn）#，（3），其中Gn（Xn）=Gn（Sn-1，Sn）=hn（Sn）hn-1（序号-1） ，n/∈ {T+1，T+1，…，Tp-1+1}，GTi+1（XTi+1）=GTi+1（STi，STi+1）=hTi+1（STi+1），对于i=1，2，P- 1，且hti（STi）=1{STi∈ （Li，Ui）}对于i=1，2，p、 hn，n/∈ {T，T，…，Tp}，是正加权函数序列。在算法2中，它们只是1。我们试图更仔细地选择它们，以近似最佳重要采样密度。算法为算法3。估算价格为青岛银行=小时（S）×bCNMXm=1W（m）NHS（m）N.

（4） 路径退化再次不是问题，因为我们仍然在本质上估计归一化常数。该估计是无偏的，附录中提供了证据。由于HTI是在时间Ti时STI位于屏障内的指示器，因此在这种情况下，在监测时间位于屏障外的路径也以概率1丢弃。然而，与算法2不同的是，在这里，我们寻求为粒子赋予更高的权重，我们认为这些粒子在监测时有更高的机会进入屏障。当使用加权函数时，所寻求的是最佳重要性抽样密度的近似值，即St（在时间t）的密度，条件是它在时间ti，i=1，2，p、 在考虑屏障选项的情况下，这对应于STi∈ （Li，Ui）。这是通过赋予粒子更高的重量来实现的，这些粒子有时存活的几率更高。例如，远离屏障的粒子比靠近屏障的粒子存活的几率更低。这是我们选择加权函数背后的直观想法，这在第5.1.4.3节TARNS中进行了说明。我们考虑基于单个基础资产的TARN。由于主要问题出现在函数f不连续时，我们考虑不连续f来说明我们的方法。Letf（右）=2（右- 110）+20，如果r>1102（80-r） r<90时+20-20如果90≤ R≤ 110此函数在90和110处有两个大跳跃。负现金流量和正现金流量分别为ΓL=100和ΓG=200。我们记得，我们之前假设利率为0。这一点现已得到证实。在这种情况下，标准MC不能有效使用的主要原因如下。使用MC，大多数物品在第一个五天内都留在（90110）内。

这导致MC估计中的粒子贡献为-100.然而，在第一个五年算法3 SMC中，偶尔有一个粒子逃逸（90110），用于加权函数的期权定价1：设置初始权重W（m）=1/m，归一化常数的初始估计c=1.2：对于n=1 do3：样本X（m）~ q（x），4：计算非标准化权重SW（m）=W（m）×GX（米）,5：更新归一化常数的估计值TBC=bC×PMm=1w（m），6：计算归一化权重W（m）∝ w（m），7：如果满足重采样标准，则8：重采样nw（m），X（m）oMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）oMm=1和setnW（m），X（m）oMm=1←n1/M，X（M）oMm=1,9：elsesetnW（M），X（M）oMm=1←nW（m），X（m）oMm=1.10：对于n≥ 2 do11：样品X（m）n~ qn公司xn | X（m）n-1.设置X（m）1:n←X（m）1:n-1，X（m）n,12： 计算非标准化权重SW（m）n=W（m）n-1×GnX（m）n,13： 更新归一化常数的估计值bCn=bCn-1×PMm=1w（m）n，14：计算归一化权重W（m）n∝ w（m）n，15：如果满足重采样标准，则16：重采样nw（m）n，X（m）1：noMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）1：noMm=1，并设置nw（m）n，X（m）1：noMm=1←n1/M，X（M）1：标称值=1,17：elsesetnW（M）n，X（M）1：标称值=1←nW（m）n，X（m）1：标称值=1。日期和贡献的价值与-100，因为f的大幅跳跃。这导致MC估计的方差很高。即使利率为正，这一困难仍将存在。因此，为简单起见，我们假设利率为0。为了回到前面的表示法，让S=log（R）∈ R和定义g（s）=f（es）。那么，letg（S1:N）：=100+τXi=1g（STi）是新的payoff函数，在这里我们写了S1:Nin代替（St，St，…，StN）。通过这样定义g，问题已经转化为以前使用的格式。

在这种情况下，S=RN，S=（s1：N∈ RN：L：=Xi=1g-（sTi）=100），S=（s1:N∈ RN：L：=Xi=1g-（sTi）<100）。粒子位于应力强度因子中（且仅当粒子在第一个五天内保持在（90110）以内时）。P（S） P（S），例如，如果波动率较低或时间间隔Ti- Ti公司-1较小。值得注意的是，这与障碍期权的情况相反（在这种情况下，我们认为时间间隔和波动性较大）。我们考虑一系列正加权函数h，h，hTand writeg（s1:N）=“TYn=1hn（sn）hn-1（序号-1） #×g（s1:N）hT（sT），其中h（s）≡ 1.我们基本上在做与障碍期权相同的事情。我们的目标是再次引导粒子进入S，我们表明，这可以通过在算法3.5数值结果中使用一些简单的权重函数来实现。在本节中，我们从数值上演示了使用权重函数的好处。为了比较算法2和3的标准偏差，我们将它们运行100次，每次运行100000个粒子。然后查看100个估计值的标准差，并报告相对标准差（标准差的比率）。5.1障碍期权我们考虑资产价值独立演变的障碍期权。这转化为∑=Id。选项类型为call。我们假设我们可以一次模拟一天的前进。一种常见的监控策略是，在总共p个时间段内，每k天监控一次基础资产。在这种情况下，对于i=1，…，Ti=ik，p和N=pk。我们选择k=540，p=1。算法2在p天结束时重新采样，因此通过选择屏障内的所有重新采样粒子来重置粒子系统。因此，我们使用算法3期望的增益只能在系统复位之前，这就是为什么我们选择p=1。

在下文中，我们将算法2称为“MC”，将算法3称为“SMC”。算法在维度d和波动率σ=（σ，…，σd）的不同值上运行。回顾（3），任何时候n的目标密度与hn（sn）pn（s1:n）成比例，其中pn（s1:n）表示s1:n的密度。这意味着时间n的目标边缘密度与hn（sn）pn（sn）成比例，式中，Pn（sn）表示s1:Nat时间n的边际密度。我们用epn（sn）表示时间n的目标密度。5.1.1恒定波动率模型由于我们的篮子由d个独立资产组成，我们选择边际目标密度（在不同时间点）为d（非标准化）密度的乘积。也就是说，epn:Rd→ R为epn（sn）=Qdj=1epn，j（sn，j），其中sn=（sn，1，…，sn，d）。在恒定波动率的情况下，1:Nat时间n的边际密度是已知的，用pn（sn）=Qdj=1pn，j（sn，j）表示；这只是d高斯的乘积。因此，加权函数为hn（sn）=Qdj=1[epn，j（sn，j）/pn，j（sn，k）]。我们选择σ=···=σd=σ。由于我们的目标是在时间k时将粒子推向屏障内部，因此我们考虑了一个（一维）布朗桥，其挥发性σ在B0处固定，j=S0，jand Bk，j=Kj：=（Lj+Uj）/2。然而，由于布朗桥的方差随着时间接近k而变为0，我们不能直接使用它，因为它会导致高方差。所以我们在布朗桥的标准差上加上0.2σ。值得注意的是，0.2σ在某种程度上是一种任意选择。这不一定是最好的选择，我们也不这么认为；这个选择只是为了说明使用加权函数的好处。我们已经注意到，即使使用其他值，我们所需要做的就是确保目标密度不会趋于退化。

在实践中，我们仅在时间n=2k/3后引入权重函数，因为我们希望让粒子最初探索空间，然后在时间k时为更可能位于屏障内的粒子赋予更高的权重。结果如图1所示。通过使用这些函数，我们观察到标准偏差的增益。总的来说，如果不同链的波动率、初始价格和执行价格不同，我们可以考虑将d个不同的布朗桥密度的乘积作为加权函数。由于实际目标是估计最佳重要性密度，因此我们尝试在简单的设置中进行此操作，以查看其效果有多好。给定粒子在时间k存活的边缘密度可以近似为高斯密度。事实上，这就是我们之前选择targeteddistribution作为布朗桥时所做的。我们可以先模拟一维粒子，然后观察

相对于图1，我们可以观察到标准MC方法的改进。然而，这一结果并不是很明显，它说明了即使是简单的直觉使用布朗桥也能很好地完成。值得注意的是，即使选择波动率为0.08并在一个维度上运行该链，我们也观察到其他波动率值也会增加。这表明，即使不同链的波动性不同，我们也可以简单地在一维中运行一条链，其波动性值在波动性范围内，并且仍然可以得到不错的结果。关于运行时间的注意事项：我们观察到MC的运行时间少于SMC的三倍（即使没有对代码进行过多优化）。因此，如果我们考虑运行时间，我们可以在运行带有M个粒子的SMC的同时运行带有3M个粒子的MC。使用3M颗粒的MC的标准偏差为√M颗粒比MC少3倍。因此，即使考虑到运行时间，SMC的表现也优于MC。在最后一个示例中，此外，我们使用10000个粒子运行MC。