期权定价序贯蒙特卡罗方法的一些贡献

我们也应该考虑到这一时间，但我们只对一个值运行它。图1：当我们针对布朗桥时，对于m=1和k=540的障碍期权，对于常数波动模型，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3）；在左图中，尺寸D=10；在右图中，波动率σ=0.08.0.08 0.09 0.10 0.11 0.12σ010203040508 9 10 11 12D01020304050图2：当我们以“最优”目标为目标时，m=1和K=540的障碍期权的MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3），对于恒定波动率模型；在左图中，尺寸D=10；在右图中，波动率σ=0.08。它的波动性很快。我们在图表中不考虑运行时间的原因是我们相信可能会进一步优化代码。目的是证明在SMC中使用加权函数的好处。5.1.2本地波动率模型本地波动率模型在实践中使用更频繁，因为它们通常更准确。此处考虑的局部波动率函数是波动率σat0值之间的线性插值。12、0.11、0.105、0.101、0.097、0.093、0.098、0.10、0.105、0.11、0.17以及10-6、60、70、80、90、100、110、120、130、140、10。在这种情况下，我们不知道S1:N的边际密度。为简单起见，我们仍然假设所有链的波动率函数都相同，并按以下方式进行近似。考虑单链。如果我们知道E S，E S。，然后我们可以用σ（E Sn）近似σ（Sn）。

我们将E Sn近似如下（假设离散化的时间步长δtn为常数）：E[Sn | Sn-1] =序号-1.-σ（Sn-1） δt=> E序号=E序号-1.-δt Eσ（Sn-（1）≈ E序列号-1.-δtσ（E Sn-1） ；（5） 因此，我们迭代地近似E Sn和σ（E Sn）。我们首先近似E Sby（5）；根据这个估计，我们近似E Sby（5），并继续这样做。我们将pn（Sn）近似为Bpn（Sn）=dYj=1Д序号，jE序列号-1.-σ（E Sn-1） δt，σ（E Sn-1） nδt迭代。1、我们从布朗桥加权函数开始，使用目标密度中先前估计的σ（E Sn）值，并像以前一样将0.2σ（E Sn）添加到标准偏差中。与恒定波动率模型一样，我们在一维中模拟M=10000个粒子（对于局部波动率模型），并查看存活粒子的边际均值和方差。我们将其称为“最优”目标，并在SMC算法中对其进行定位。结果如图3所示。我们观察到了显著的收益，正如预期的那样，随着尺寸的增加，收益会变得更加显著。这是因为粒子存活的概率随着维数的增加而变小。当我们以“最优”为目标时，收益更为显著。就运行时间而言，观察结果与恒定波动率模型的情况相同。因此，即使考虑到运行时间，算法3的性能也优于算法2。5.2 TARNsWe再次假设，我们可以一天一次模拟前进。我们取固定日期的数量p=24，固定日期之间的间隔k=30天。这大致相当于一个TARN，在该TARN中，每个月底的现金流最多持续两年。我们考虑了波动率的不同值。如果粒子停留在(-90、110），如果在第四个月底之前逃逸，则支付正收益。

我们再次比较了标准MC和Algorithm3（将其称为“SMC”）。我们注意到，和障碍期权相反，在这种情况下，我们预计在波动率较低的情况下，SMC比通常的MC表现更好。这是因为在这种情况下，该地区波动率较低的概率较低，而在障碍期权的情况下，波动率较高的概率较低。这就是为什么我们在本节中限制自己的波动率值低于第5.1.5.2.1节中的恒定波动率模型。当标的证券遵循布莱克-斯科尔斯动力学，波动率σ为常数时，我们可以使用Euler-Maruyama离散化一次直接模拟前k天。我们运行不同波动率值的算法并报告结果。我们尝试三种（越来越复杂，但更直观的）权重函数，试图让粒子逃逸。在最简单的版本中，我们选择hn（s1:n）为（sn- S） 。这只会给第n个月末远离Sat的热门文章带来更高的权重。我们得到了图4中的结果。然后我们注意到，对于1，时间n的目标密度是成比例的hn（s1:n）p（s1:n）≤ N≤ 5、如果我们选择hn（s1:n）为形式hn（sn），则时间n的目标密度的边缘与hn（sn）pn（sn）成比例，其中pn（sn）是时间n的s1:Nat的边缘密度。因为我们的目标是（sn- S） ，我们选择hn（sn）=（sn-S） /pn（sn），结果如图5所示。可以看出，除了最后几例外，具有加权函数的SMC在大多数情况下都表现得更好。最后几种情况对应更高的挥发度，在这种情况下，粒子逃逸的概率增加。

当粒子逃逸的可能性较低时，SMC表现得更好，这正是我们想要的。进一步研究这个问题，我们发现逃逸的粒子可以通过两种方式之一逃逸：向左或向右。我们确定σ=0.05的值，并运行10000份链副本。我们的目标是观察逃逸粒子的精确边缘分布。我们观察到大约20%的粒子向左逃逸，80%的粒子向右逃逸。这当然适用于固定σ，但我们使用这些边际近似值作为目标（我们使用法线的混合），并对σ的不同值运行SMC算法。结果如图6所示。在这种情况下，也观察到了显著的收益，并且比之前的收益还要多。在这种情况下，我们也在尝试近似最佳重要性密度。在本节的上述三个示例中，我们观察到SMC的运行时间少于MC的两倍。因此，我们可以得出与障碍期权类似的结论，这表明即使在考虑运行时间的情况下，SMC的表现也优于MC。5.2.2局部波动率模型在这种情况下，波动率σ是基础Rt价格的函数。我们不能再一次模拟远期平日，我们现在一次模拟一天远期。在这种情况下，前5个时段每天都会引入权重函数。我们考虑一个波动率函数，最小值为100，且在100两侧都增加。100处的值为0.036。（90、110）中的值小于0.04，超出该值时更高。我们选择这一点是因为σ的低值意味着逃逸的粒子更少，但对于确实逃逸的粒子，我们可以更自由地探索空间。

局部波动率函数是0.055、0.051、0.045、0.041、0.037、0.035、0.038、0.04、0.045、0.05、0.055的波动率σ值与基础R值之间的线性插值-6、60、90、93、98、100、103、107、110、140、10。我们从最简单的加权函数hn（s1:n）=（sn）开始- S） 。在这种情况下，我们观察到算法3的标准偏差比MC的标准偏差低1.83倍。由于SNI的边缘密度未知，我们选择了边缘的粗略近似值并使用它。我们选择Pn（sn）=Д序号S+u-0.04δtn，0.04δt作为近似值。这是snif的密度，波动率为常数0.04。我们运行10000copies的链子，查看向左和向右逃逸的链子。然后，我们选择图3：对于m=1的障碍期权，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3），对于局部波动性模型，K=540；左图是我们瞄准布朗桥的时候；正确的数字是我们何时瞄准“最佳”。图4：在恒定波动率情况下，使用TARN最简单的加权函数，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3）。图5：在恒定波动率情况下，使用简单的加权函数forTARN，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3）。图6:MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3），在恒定挥发性情况下，使用正态密度的混合物作为TARN的目标。混合法线（在本例中，比例为0.3和0.7）并重复实验。我们观察到SMC的标准偏差是MC的2.33倍。在这种情况下，SMC的运行时间是普通MC的两倍。这意味着，虽然在本例中使用SMC可以取得一些收益，但它们并不像以前那么重要。

这是因为局部波动率函数很低（在0.035左右的范围内），仅适用于一些基础值，这表明人们实际上应该给予更高的权重，以迫使粒子逃逸。然而，这确实说明了使用SMC而非MC的潜在好处。6结论我们在SMC中正式提出了加权函数的概念。其主要思想是尝试使用相对启发式的加权函数技术来估计最佳重要性密度的顺序，为潜在的有利粒子赋予更多的权重。我们在金融业的两个例子中证明了这一点，但这可以扩展到其他情况（例如[16，17]中的情况）。我们还看到，随着我们接近最佳重要性密度，收益会不断增加。然而，即使使用近似值也会带来显著的收益。由于这一想法相当普遍，因此它有可能被用于金融领域，为其他类型的路径依赖型期权定价，例如[16]中的亚洲期权。它也可用于边际预期的估计，即跳跃差异定律（以及一些控制问题）；例如，参见[17]。加权函数的基本概念也适用于高维滤波问题。总之，本文中的观点对文献中以前出现的许多观点进行了简单的形式化。本文对这项工作进行了许多扩展。例如，人们可以自适应地确定序列中的潜在函数，尽管这是以统计偏差为代价的。其他想法包括进一步应用和适应可以使用多层蒙特卡罗方法的问题（例如。

[2] ）。估计的无偏性我们证明了当自适应地和多项式地进行重采样时，估计的无偏性。A、 1额外定义：设τ<τ<···<τrbe连续重采样时间，设eτ（n）为时间n之前的最新重采样时间，如果在时间n之前没有进行过重采样，则eτ（n）=0。还定义τ=0，τr+1=n。定义n（x1:n）=nYt=eτ（n）+1αn（x1:n），V（m）n=vnX（m）1:nMvn，其中VN=MMXj=1vnX（j）1:n.如果在时间n执行重采样，则nv（m）noMm=1是重采样权重。对于任何测试函数ψ：XN→ R、 我们用bψ或=PMm=1V（m）Nψ估计ψN：=EπN[ψ（X1:N）]X（m）1:N我们通过ZMN=Qr+1s=1vτs来估计归一化常数。定义：eH（m）τs=v··vτshτsX（m）1：τs, H（m）τs=v···vτshτsX（m）1：τs,其中hτs（x1：τs）=Qτsn=1αn（x1：n）。观察h（m）τs-1eH（m）τs=vτs×Qτsn=1αnX（m）1:nQτs-1n=1αnX（m）1:n=vτsX（m）1：τsvτs=MV（m）τs=>eH（m）τsV（m）τs=MH（m）τs-1.（6）确定似然比asLN（x1:N）=πN（x1:N）QNn=1qn（xn | x1:N-1） ，并删除ψ或=MMXm=1LNX（m）1:NψX（m）1:NH（m）eτ（N）=MZNMXm=1γNX（m）1:NQNn=1qnX（m）n | X（m）1：n-1.ψX（m）1:Nv···vτrQτrn=1αnX（m）1:n=v···vτrvτr+1ZNMXm=1vNX（m）1:NMvNψX（m）1:N=ZMNZNbψ或。第三个等式是因为τr+1=N。将A（m）τ定义为A（m）τ=1和A（m）τs=AI（m）τs-1.τs-1，其中我们称I（m）τs-1是τs处第m个粒子的重采样指数-第1个重采样步骤。LetF2t-1=σnX（m）：1≤ M≤ Mo[编号X（m）1：τs，X（m）1：τs+1，A（m）τs: 1.≤ s<t，1≤ M≤ Mo公司,F2t=σF2t-1【n】X（m）1：τt，A（m）τt: 1.≤ M≤ Mo公司;这些是分别在第t次重采样步骤之前和之后由与M个粒子相关的随机变量生成的σ场。Letef（·）≡ ψ1的Nand定义≤ N≤ N，efn（x1:N）=等式ψ（X1:N）LN（X1:N）| X1:N=X1:N, （7） 其中Eqdenotes为提案密度下的预期值。Thenefn（x1:n）=等式efN（X1:N）X1:n=X1:n.

LetZ（m）2s-1=hefτsX（m）1：τs-efτs-1.X（m）1：τs-1.iH（m）τs-1，Z（m）2s=efτsX（m）1：τsH（m）τs-MXj=1V（j）τsefτsX（j）1：τseH（j）τs.A.2主要结果建议A.1。NZ（1）k，Z（M）k, Fk：1≤ K≤ 2r+1是一个鞅差级数，meψ或- ψN=2r+1Xk=1Z（1）k+···+Z（M）k备注A.1。它来自于ψORi=ψN的命题=> EZMNZNbψ或= ψN=> EhZMNbψORi=ZNψN.取ψ≡ 1生成所需的结果。命题A.1的证明。我们观察到Z（m）+···+Z（m）2r+1=rXs=1Z（m）2s+r+1Xs=1Z（m）2s-1=rXs=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-MXj=1V（j）τsefτsX（j）1：τseH（j）τs+r+1Xs=1hefτsX（m）1：τs-efτs-1.X（m）1：τs-1.iH（m）τs-1=-efτX（m）τH（m）τ+r+1Xs=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-1.-rXs=1MXj=1V（j）τsefτsX（j）1：τseH（j）τsThus，MXm=1Z（m）+···+Z（m）2r+1= -MefτX（m）τH（m）τ+MXm=1r+1Xs=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-1.-MXm=1rXs=1MXj=1V（j）τseH（j）τsefτsX（j）1：τs= -MefτX（m）τH（m）τ+r+1Xs=1MXm=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-1.-MXm=1rXs=1MXj=1MH（j）τs-1efτsX（j）1：τs=MXm=1efτr+1X（m）τr+1H（m）τr- MefτX（m）τH（m）τ=meψ或- ψN第二个等式来自6，最后一个等式是因为τ=0和τr+1x1：τr+1= 均衡器ψX1：NLN公司X1：N|X1：τr+1=X1：τr+1= ψx1：τr+1LN公司x1：τr+1=>efτr+1X（m）1：τr+1H（m）τr=LNX（m）1:NψX（m）1:NH（m）eτ（N）as X（m）1：τr+1=X（m）1：与eτ（N）=τr。让em表示m粒子系统下的期望。为了证明鞅差性质，我们观察到emhz（m）Fi=EMefτX（m）1：τH（m）τ-MXj=1V（j）τefτX（j）1：τeH（j）τF= EM公司efτX（m）1：τH（m）τ-MMXj=1efτX（j）τH（j）τF从（6）=EMefτX（m）1：τH（m）τ-MMXj=1efτX（j）τF当H（j）=1=0时。最后一个等式是因为X（1）1：τs，X（M）1：τs给定F2s-1是M i.i.d.随机向量的值，取X（j）1：τs，概率为V（j）τs。

此外，EMhZ（m）Fi=EnefτX（m）1：τ-efτX（m）1：τoH（m）τF= EnefτX（m）1：τ-efτX（m）1：τoFH（m）τ=0。最后一个等式是因为eemhefτsX（m）1：τsF2（s-1） i=EM均衡器ψ（X1:N）LN（X1:N）X1：τs=X（m）1：τsF2（s-（1）= 均衡器ψ（X1:N）LN（X1:N）X1：τs-1=X（m）1：τs-1.=efτs-1.X（m）1：τs-1..最后一个等式是条件期望的塔式性质。以这种方式进行，可以看到nZ（1）k，Z（M）k, Fk：1≤ K≤ 2r+1是一个鞅差序列。参考文献【1】Beskos，A.、Crisan，D.&Jasra，A.（2014）。关于高维序贯蒙特卡罗方法的稳定性。安。应用程序。概率。，241396–1445。[2] Beskos，A.、Crisan，D.Jasra，A.、Kamatani，K.&Zhou，Y.（2014）。在高维中实现稳定的粒子过滤器。arXiv预印本。[3] Boyle，P.P.（1977年）。选项：蒙特卡罗方法。J、 财务部。经济。，4323-338。[4] Chan，H.P.&Lai，T.L.（2013）。隐马尔可夫模型中粒子滤波的一般理论及其应用。安。统计员。，412877-2904。[5] Del Moral，P.（2004年）。费曼-卡克公式：谱系和相互作用粒子系统及其应用。斯普林格：纽约。[6] Del Moral，P.（2013年）。蒙特卡罗积分的平均场模拟查普曼和霍尔：伦敦。[7] Del Moral，P.、Doucet，A.&Jasra，A.（2006）。顺序蒙特卡罗采样器。J、 R.统计学家。Soc。B、 68411–436。[8] Del Moral，P.，Garnier，J.（2005年）。罕见事件的谱系粒子分析。安。应用程序。概率。154496–2534。[9] Del Moral，P.&Shevchenko，P.V.，（2014年）。使用序贯蒙特卡罗法评估障碍期权。arXiv预印本。[10] Del Moral，P.和Murray，L.M.（2014）。具有高信息量观测的序贯蒙特卡罗。arXiv预印本。[11] Doucet，A.&Johansen，A.（2011）。粒子过滤与平滑教程：十五年后。在《非线性滤波手册》（eds.D.Crisan et B。

罗佐夫斯基），牛津大学出版社：牛津。[12] Douc，R.和Moulines，E.（2008）。加权样本的极限定理及其在序贯蒙特卡罗方法中的应用。安。统计员。，362344–2376。[13] Giles，M.（2008）。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3），607-617。[14] Glasserman，P.（2003）。金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格：纽约。[15] Glasserman，P.&Staum，J.（2001）。障碍期权模拟的一步生存条件。Op.Res.，49923-937。[16] Jasra，A.&Del Moral，P.（2011年）。期权定价的序贯蒙特卡罗法。斯托赫。肛门。应用程序。，29292–316。[17] Jasra，A.，&Doucet，A.（2009）。扩散过程的顺序蒙特卡罗方法。过程。R、 Soc。A、 4653709–3727。