期权定价序贯蒙特卡罗方法的一些贡献

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英文标题：
《Some Contributions to Sequential Monte Carlo Methods for Option Pricing》
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作者：
Deborshee Sen, Ajay Jasra and Yan Zhou
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Pricing options is an important problem in financial engineering. In many scenarios of practical interest, financial option prices associated to an underlying asset reduces to computing an expectation w.r.t.~a diffusion process. In general, these expectations cannot be calculated analytically, and one way to approximate these quantities is via the Monte Carlo method; Monte Carlo methods have been used to price options since at least the 1970\'s. It has been seen in Del Moral, P. \\& Shevchenko, P.V. (2014) `Valuation of barrier options using Sequential Monte Carlo\' and Jasra, A. \\& Del Moral, P. (2011) `Sequential Monte Carlo for option pricing\' that Sequential Monte Carlo (SMC) methods are a natural tool to apply in this context and can vastly improve over standard Monte Carlo. In this article, in a similar spirit to Del Moral, P. \\& Shevchenko, P.V. (2014) `Valuation of barrier options using sequential Monte Carlo\' and Jasra, A. \\& Del Moral, P. (2011) `Sequential Monte Carlo for option pricing\' we show that one can achieve significant gains by using SMC methods by constructing a sequence of artificial target densities over time. In particular, we approximate the optimal importance sampling distribution in the SMC algorithm by using a sequence of weighting functions. This is demonstrated on two examples, barrier options and target accrual redemption notes (TARN\'s). We also provide a proof of unbiasedness of our SMC estimate.
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中文摘要：
期权定价是金融工程中的一个重要问题。在许多具有实际意义的场景中，与标的资产相关的金融期权价格简化为计算期望w.r.t.~扩散过程。一般来说，这些期望值无法通过分析计算得出，估计这些量的一种方法是通过蒙特卡罗方法；至少从20世纪70年代起，蒙特卡罗方法就被用于期权定价。这在Del Moral，P.\\&Shevchenko，P.V.（2014）`使用顺序蒙特卡罗对障碍期权进行估价\'和Jasra，A.\\&Del Moral，P.（2011）《期权定价的序贯蒙特卡罗》（Sequential Monte Carlo for option pricing）指出，序贯蒙特卡罗（SMC）方法是在这种情况下应用的自然工具，可以大大改进标准蒙特卡罗方法。在本文中，本着与Del Moral，P.\\&Shevchenko，P.V.（2014）`使用序贯蒙特卡罗对障碍期权进行估值\'和Jasra，a.\\&Del Moral，P.（2011）`期权定价的序贯蒙特卡罗\'类似的精神，我们表明，通过构建一系列随时间变化的人工目标密度，使用SMC方法可以获得显著收益。特别地，我们通过使用一系列加权函数来近似SMC算法中的最优重要性抽样分布。这在障碍期权和目标应计赎回票据（TARN）两个示例中得到了证明。我们还提供了SMC估计无偏的证明。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Some_Contributions_to_Sequential_Monte_Carlo_Methods_for_Option_Pricing.pdf (2.76 MB)

2022-5-25 13:52:15 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 期权定价 蒙特卡罗 蒙特卡 Quantitative

DEBORSHEE SEN，AJAY JASRA&YAN Zhou，新加坡国立大学统计与应用概率系，117546，SG，对期权定价顺序蒙特卡罗方法的一些贡献。电子邮件：deborshee。sen@u.nus.edu；staja@nus.edu.sg；stazhou@nus.edu.sgAbstractPricing期权是金融工程中的一个重要问题。在许多实际利益的情况下，与标的资产相关的金融期权价格降低到计算预期值W。r、 t.分化过程。一般来说，这些期望值无法通过分析计算得出，估计这些量的一种方法是通过蒙特卡罗方法；至少从20世纪70年代起，蒙特卡罗方法就被用于定价期权。从[9，16]中可以看出，顺序蒙特卡罗（SMC）方法是在这种情况下应用的自然工具，可以大大改进标准蒙特卡罗方法。在这篇文章中，本着与[9，16]相似的精神，我们表明，通过构建一系列随时间变化的艺术目标密度，使用SMCmethods可以获得显著的收益。特别是，我们使用一系列加权函数来近似SMC算法中的最优重要性抽样分布。这在障碍期权和目标应计赎回票据（TARN）两个示例中得到了证明。我们还提供了SMC估计无偏的证明。关键词：差异；序贯蒙特卡罗；Option PricingAMS科目分类：Primary 91G60；辅助65C05。AcknowlementsAj得到新加坡教育部学术研究基金一级拨款（R-155-000156-112）的支持，并与新加坡国立大学的RMI和CQF合作。

YZ得到新加坡教育部学术研究基金二级拨款（R-155-000-143-112）的支持。1简介基本（或普通）期权是一种金融产品，为期权持有人提供在期权到期日或之前以固定价格购买或出售特定数量标的资产的权利。今天有许多更复杂的选项（称为奇异选项）在使用；这些问题往往更具实际意义，也更难处理。在许多具有实际意义的场景中，正如我们在本文中所述，基础资产的价值可以通过一个差异化过程来描述；在完全市场中，期权的价值可以表示为在风险中性概率下的预期，即潜在差异过程路径的函数。一般来说，这些期望值无法进行分析计算。蒙特卡罗（MC）方法是用于近似这些数量的标准方法，自[3]以来，它已广泛用于期权定价。随后，应用了各种各样的蒙特卡罗方法（【14】提供了全面的介绍）。相对于其他数值方法，蒙特卡罗方法在期权定价中的重要性在于其处理高维积分的能力。这要么在期权的时间参数（路径依赖）中，要么在基础维度（一篮子期权）中，更普遍的是在这两者中。然而，期权定价文献中指出，标准蒙特卡罗估计值可能会受到高可变性的影响。

从[9、16、17]中可以看出，在许多实际感兴趣的情况下，顺序蒙特卡罗（SMC）方法可以大大优于更标准的蒙特卡罗技术。序贯蒙特卡罗方法是一类从维数递增的分布序列中进行抽样的一般方法，在工程、统计学、物理学和其他相关领域有着广泛的应用。域。[11] 介绍并展示了如何将基本上所有的粒子过滤方法解释为通用SMC算法的一些特殊实例。SMC方法利用一系列粒子密度，通过一组称为粒子的M个样本，依次逼近目标。在大多数情况下，不可能将利益分配用作提案。因此，必须通过重要性权重纠正提案和目标之间的差异。在大多数实际情况下，这些重要性权重的方差随着算法时间的增加而增加。在某种程度上，这可以通过重采样过程来处理，该过程包括从当前加权样本中进行替换采样，然后将其重置为1/M（自适应重采样）。权重的可变性通常通过有效样本量（ESS）来衡量。随着M的增长，一些收敛结果已得到证明[4、5、6、12]。SMC方法最近也被证明在某些高维环境中是稳定的[1]。本文的主要贡献如下。我们开发了加权函数的形式化框架；这种技术已经在[8、9、10、16]中隐式或显式地使用过。利用该框架，我们开发了高维环境下障碍期权定价的定制方法。

它还适用于目标应计赎回票据（TARN）的定价，TARN是另一种广泛交易的路径依赖型期权，其难以准确估值。在理论方面，我们证明了当使用自适应重采样方案时，SMC估计的无偏性。本文的结构如下。在第2节中，我们提供了期权定价的背景细节。第3节对SMC方法进行了基本总结。在第4节中，我们给出了加权函数框架及其在期权定价问题中的应用。第5节对我们的方法进行了数值说明。附录给出了我们的SMC估计在自适应重采样情况下的无偏性证明。在本文的其余部分中，我们使用符号RDR表示d维欧氏空间andRd+≡ （0，∞)d、 具有均值u和方差σ的正态分布用N表示u，σ其密度在x处表示为十、u，σ. Id表示d维单位矩阵。E表示期望值。2期权有两种基本类型：买入期权和卖出期权。看涨期权赋予买入权，看跌期权赋予卖出权。在这方面，有两种主要的选择——美国和欧洲。美国期权可以在到期前的任何时候行使，而欧洲期权只能在到期后行使。本文重点讨论欧洲期权。欧洲买入/卖出期权被称为vanillaoptions，因为它们的结构相对简单。奇异期权是一种比一般交易的普通期权更为复杂的期权。路径相关期权就是一个例子，在这种情况下，支付取决于到期日之前某些（或所有）时间点的基础价值。

本文考虑了两种路径相关期权，即障碍期权和塔恩期权，我们将简要介绍这两种期权。2.1考虑d类标的资产的集合；这也称为篮子。我们用Rt表示∈ R篮子中资产的价值。RTI通常由一个分化过程建模。其中一个过程是具有漂移和挥发度的aBlack-Scholes模型dtRt=u（t，Rt）dtRt+σ（t，Rt）RtdWt，（1），其中u：R+×Rd→ Rdis漂移函数，σ：R+×Rd→ Rdi是波动率，Wt表示Rd中的布朗运动，平均值为0，协方差矩阵∑。可以合理地假设WT是归一化的，即所有i的∑i，i=1；这一假设是有效的，因为标度因子可以包含在波动率项中。还有一个利率r，它也可以取决于时间。一般来说，除了在简单的场景中，很难对（1）进行分析。这导致文献（[14]）中提供了几种分类方法，其准确性和复杂性水平各不相同。最广泛使用的离散化方法之一是Euler-Maruyama离散化，我们在本文中对其进行了研究；然而，也可以使用其他离散化方案，从而降低偏差。考虑离散化时间点0=t<t<···<tN=t。通过让S表示对数R，并在Stn的位置写入SNI，（1）isSn+1=Sn的Euler Maruyama离散化+u（n，Sn）-σ（n，Sn）δtn+σ（n，Sn）pδtnZn（2），对于n=1，N、 其中Zn~ Nd（0，∑），0表示Rd中的原点，δtn=tn+1- tn.这里我们不关注离散化的级别。给定一个特定的离散化，我们将我们的方法应用于它。

然而，此处开发的方法可用于多级设置（如【13】所示）；在本文中，我们不会对此进行进一步探讨。为了保持简单，我们假设漂移u=0。我们处理两种情况，一种是波动率σ为常数，另一种是它取决于标的资产的价格。我们现在描述了两种路径相关选项，稍后将演示我们在这些选项上的方法。2.2障碍期权障碍期权是一种奇特的衍生工具，通常是针对基础资产的期权，其价值在达到预设障碍水平时，要么使期权存在，要么使已经存在的期权失效。篮子也存在障碍期权，障碍条件通常可定义为基础资产的函数。例如，基础资产的功能可以是其价值的平均值，也可以是其价值的最大值。有两种障碍期权：o如果基础资产价值的某个函数违反了预先规定的障碍，则该期权开始存在，称为“敲入”；如果基础资产价值的某个函数违反了预先规定的障碍，则该期权终止，称为“敲出”。我们考虑淘汰选项。只要在到期之前的某些（或所有）时间点，基础的值满足屏障条件，这些选项就是“活动的”。如果违反了障碍条件，期权“失效”，导致零支付。如果该期权在到期日仍然“有效”，那么它会给出类似于看涨期权或看跌期权的支付（取决于期权类型）。我们考虑一篮子d标的资产和基于这些资产的障碍期权。

障碍期权很难使用标准MC定价，因为大多数（如果不是全部）粒子都会导致零回报，这会导致最终估计的高方差。由于资产价值随时间演变的连续性，这是可以应用SMC方法的自然示例；实际上[9]谈到了SMC方法如何在这种情况下使用。我们扩展了他们的方法，并表明即使采用启发式方法，在论文第5节中选择hn也可以获得显著的收益。我们在上面有一点滥用符号，其中我们使用u（n，Sn）和σ（n，Sn）分别表示u（tn，Rtn）和σ（tn，Rtn）。如果u是一个非0的常数，那么扩展我们提出的方法就很简单了。如果它是资产价值的函数，我们可以做类似于我们在稍后考虑的局部波动率模型中所做的事情。2.3目标应计赎回票据目标累计赎回票据（TARN）提供了一段时期内支付的上限金额，提前终止（淘汰）的可能性由对累计金额施加的目标水平决定。在一系列现金流日期（称为结算日期）支付一定金额的款项，直至达到目标水平。TARN的支付功能是路径依赖的，因为在结算日的支付取决于资产的即期价值以及截至结算日的累计支付金额。通常，TARN定价的商业软件解决方案基于MC方法。外汇交易中使用的TARN产品有不同的版本。为简单起见，我们在此考虑TARN的一种特殊形式。考虑一系列筛选日期0<T<T<····<Tp=T和函数f:Rd→ R、 函数f分解为其正、负两部分，即f=f+- F-.

损益过程定义如下：Gk=kXi=1f+（RTi）和Lk=kXi=1f-（RTi），分别是正现金流和负现金流的金额。有两个现金流截止时间τ（L）和τ（G）定义为τ（L）：=inf{k:Lk≥ ΓL}和τ（G）：=inf{k：Gk≥ ΓG}，这是第一次正现金流和负现金流分别跨越其切分。总停止时间τ定义为τ：=inf{τ（L），τ（G），p}，这是正现金流或负现金流第一次穿过边界。TARNis的价格是总体现金流的预期值，E【Pτi=1f（RTi）】。在这里，我们假设利率为0，如果不是，那么期望值将是一个加权和，其权重与贴现因子相对应。我们假设利率为0的原因将在第4.3节中解释。在这种情况下，应用标准MC方法的主要困难在于函数f可能是不连续的。可以使用SMC方法，我们将在后面介绍。3序贯蒙特卡罗方法MC方法是一类一般的MC方法，从目标概率密度{πn（x1:n）}n的序列中依次采样≥1增加维度，其中每个分布πn（x1:n）定义在乘积空间Xn上。写入πn（x1:n）=γn（x1:n）Zn，只需要γn:Xn→ R点式已知。具体而言，归一化常数Zn=RXnγn（x1:n）dx1:nma可能未知，并通过SMC方法获得估计值。SMC提供π（x）的近似值和Zat时间1的估计值，然后是π（x1:2）的估计值和Zat时间2的估计值，依此类推。这些方法的工作原理是使用一系列重要的采样和重采样步骤传播M个粒子的集合。

在下文中，上标（m）应表示第m个粒子。当我们用上标（m）写一个操作时，我们的意思是它发生在所有m个粒子上。选择一个建议密度qn（x1:n），并由此建议粒子。建议密度具有以下结构：qn（x1:n）=qn-1（x1:n-1） qn（xn | x1：n-1） =q（x）nYk=1qk（xk | x1：k-1） 。提出粒子后，使用分解wn（x1:n）=γn（x1:n）qn（x1:n）=γn递归计算相关的非正规化权重-1（x1:n-1） qn公司-1（x1:n-1） γn（x1:n）γn-1（x1:n-1） qn（xn | x1：n-1） 。这些可以用wn（x1:n）=wn的形式写入-1（x1:n-1） αn（x1:n）=w（x）nYk=1αk（x1:k），其中增量权重函数αk（x1:k）由αk（x1:k）=γk（x1:k）γk给出-1（x1:k-1） qk（xk | x1:k-1） 。这些是为每个粒子计算的。权重wn（x1:n）未标准化，因为它们加起来不超过1。它们通过除以总和进行归一化，归一化权重用Wn表示。一旦我们获得了M个加权粒子的集合，它们将根据其权重snw（M）noMm=1进行重新采样。这是一个关键步骤，可确保系统不会塌陷为极少数重量极高的粒子。重新选择采样指标ni（m）noMm=1，以便PI（m）n=j= W（j）n。然后通过设置X（m）1:n来更新系统← X（I（m）n）1：与非W（m）n← 1个1/M≤ M≤ M、 重采样是昂贵的，在实践中，仅当权重的方差很高时才进行重采样。其中一种方法是使用有效样本大小（ESS），在n asESS=PMm=1时确定W（m）n如果ESS低于某个阈值（通常取M/2 orM/3），则在时间n执行重采样。算法1描述了一种通用的SMC算法。我们有两个近似值πn（x1:n）：bπn（x1:n）=MXm=1W（m）nδX（m）1:n（x1:n）和‘πn（x1:n）=MXm=1W（m）nδX（m）1:n（x1:n），如果在时间n不使用重采样，则这两个近似值相等。这里δ表示Diracδ函数。