分数布朗运动的高斯-马尔可夫替代定价

（VH（t））t的二次变化∈[0，∞)由【VH，VH】t=C2Ht2H给出，其中C=CψpcM（2- 2H），如上所述。3使用Dobri\'c-Ojeda过程的期权定价我们用Black-Scholes随机微分方程中的Dobri\'c-Ojeda过程替换布朗运动：dSt=St（udt+σdVt）。为了简化表示法，我们删除了VH（t）、MH（t）和FHt中的下标H。注意，当H=1/2时，我们有一个几何布朗运动过程，因此在不丧失一般性的情况下，我们假设H 6=1/2。使用它^ocalculus，我们可以明确地求解ste：让Yt=ln St。然后我们得到dyt=dStSt-（dSt）（St）=udt+σdVt-σd[V，V]t，因此乘以2.6，Yt=Y+ut+σVt-σ[V，V]t=Y+ut+σVt-σC2Ht2H，表示ST=Sexput+σVt-Cσ4Ht2H. （7） 与原始模型一样，我们定义（Bt）t∈[0，∞)为无风险确定不变利率r>0的债券价格过程，即dBt=rBtdt，或Bt=ERT，对于所有t≥ 0.3.1风险中性度量衍生工具定价综合模型的下一个自然步骤是确定arisk中性度量的存在，即与我们的原始度量P相等的度量，在此度量下，贴现股票价格过程dZt=Zt（σdVt+（u- r） dt），是鞅。通过2.5，我们得到dzt=σCtH-1/2Zt（dWt+γtdt），其中γt=2H- 1立方厘米-1/2-HVt+u- rσCt1/2-H、 （8）实现风险中性度量Q的标准技术是通过显示γtsatis fies Novikov条件或Kazamaki条件（见【14，Ch 8，§1】）来调用Girsanov定理。到目前为止，这仍然是一个开放的问题，因为通常的技术在这种情况下无法工作。例如，我们将证明Novikov的条件无法满足以下命题。提案3.1。对于0≤ T≤ 对于（8）中定义的γtas，我们有经验值Ztγsds= ∞. （9） 证明。我们可以把γs=写成-1.-2HVs+2ABs-2 HVS+Bs1-2H，其中A和B是确定的且恒定的。

因此，我们有经验值Ztγsds≥ 经验值EZt公司像-1.-2HVs+2ABs-2 HVS+Bs1-2小时ds公司= 经验值AcMZts-1ds经验值B2（2- 2H）t2-2小时= ∞,根据Jensen不等式和Vt的性质，在不使用Girsanov定理的情况下确定风险中性概率测度仍然是一个开放的问题。同时，为了解决这一问题并找到风险中性措施，我们建议将VTV替换为Vt、 定义为与2.5中给出的扩散过程略有不同。由于问题在于漂移的1/t项，我们只需“扭转”漂移直到某个时间 > 我们可以使用修改后的Dobri’c-Ojeda工艺V继续采用标准技术，如【17】所示t股票价格SDE。定义3.2。允许 > 定义修改后的Dobri’c-Ojeda流程（Vt） t型∈[0，∞), bydVt=CtH-1/2dWt+cψ（2H- 1） t2H型-200万吨[,∞)（t） dt，（10），其中C=CψpcM（2- 2H）。导致（9）在时间t=0时爆炸的VT漂移部分为0，直到在时间t=对于任何可接受的 > 0，我们将在3.6中看到。我们将使用V驱动的模型进行衍生品定价并确定期权价格。我们首先证明关于V的几个性质t、 首先，我们证明（10）中的两个积分都定义得很好。使用它^o等距，E“CZtsH公司-1/2周#= CZts2H-1ds=C2Ht2H<∞. （11） 对于t≤ , 第二个积分是0。表明对于t>, 使用2.2，wehaveE“cψ（2H- 1） Zts2H-2Ms[,∞)（s） ds公司#=cψ（2H- 1） Zt公司Zt公司s2H公司-2s2H-2E【MsMs】dsds=cψ（2H- 1） Zt公司Zt公司s2H-2s2H-2cM（s∧ s） 2-2Hdsds=2cMcψ（2H- （1）2H（t2H- 2H）-2小时- 1（t2H-1.- 2小时-（1）< ∞.（12） 这表明Vt、 如（10）所示，定义良好。提案3.3。修改后的Dobri’c-Ojeda流程（Vt） t型∈[0，∞)所有人的满意度 > 0,1。E【V】t] =0表示所有t>0和2。E[（Vt） ]=Ct2H2Hif t≤ C2Ht2H+2C（2H- 1） 2H（t2H- 2H）+2cMcψ（2H- （1）2H（t2H- 2H）-2小时-1（t2H-1.- 2小时-（1）如果t>.证据1.

对于t≤ , 到3.2，我们有t] =ECZtsH公司-1/2周= 0因为它是平方可积的期望值，所以它是o积分。对于t>, 由于过程（Mt）是阿马丁格尔过程，因此期望值为零，因此我们有t] =ECZtsH公司-1/2dWs+cψ（2H- 1） Zts2H-2Ms[,∞)（s） ds公司=ECZtsH公司-1/2周+ Ecψ（2H- 1） Zts2H-2Ms[,∞)（s） ds公司=cψ（2H- 1） Zts2H-2E[毫秒]1[,∞)（s） ds=0.2。对于t≤ , 我们有t） i=C2HT2在上述（11）中有。对于t>, 如上文（12）所述，我们有eh（Vt） i=E“CZtsH公司-1/2dWs+cψ（2H- 1） Zts2H-2Ms[,∞)（s） ds公司#=C2Ht2H+2Ccψ（2H- 1） E类Zt公司ZtsH公司-1/2小时-2MsdWsds+ 2cMcψ（2H- （1）2H（t2H- 2H）-2小时- 1（t2H-1.- 2小时-（1）=C2Ht2H+2C（2H- 1） 2H（t2H- 2H）+2cMcψ（2H- （1）2H（t2H- 2H）-2小时- 1（t2H-1.- 2小时-（1）.请注意，可以使用与2.5：E证明中相同的鞅表示来计算中间项ZtZt公司上海-1/2小时-2MsdWsds=Zt公司s2H公司-2E类MsZtsH公司-1/2周ds=pcM（2- 2H）Zts2H公司-2E类Zsu1/2-HdWuZtsH公司-1/2周ds=pcM（2- 2H）Zts2H公司-2Zs∧tdu ds=pcM（2- 2H）2H（t2H- 2H）。这就是3.3的证明。修改后的Dobri’c-Ojeda过程的二次变化紧随3.2。提案3.4。（V）的二次变化t） t型∈[0，∞)由[V]给出, 五、]t=C2Ht2H，其中C=CψpcM（2- 2H），如上所述。修改后的Dobri’c-Ojeda过程与原始的Dobri’c-Ojeda过程具有相同的二次变化，因为虽然漂移分量已经修改，但只有鞅部分对二次变化有贡献。提案3.5。对于H∈ （0，1）固定，过程（Vt） t型∈[0，∞)如3.2所述，在t中统一收敛于L中(Ohm) 几乎可以肯定的是，最初的Dobri’c-Ojeda工艺（Vt）t∈[0，∞)像 → 0.证明。对于 > 0，定义流程（Nt） t型∈[0，∞)拜恩t=Vt- 五、t对于所有t≥ 0