分数布朗运动的高斯-马尔可夫替代定价

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英文标题：
《A Gaussian Markov alternative to fractional Brownian motion for pricing
  financial derivatives》
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作者：
Daniel Conus and Mackenzie Wildman
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Replacing Black-Scholes\' driving process, Brownian motion, with fractional Brownian motion allows for incorporation of a past dependency of stock prices but faces a few major downfalls, including the occurrence of arbitrage when implemented in the financial market. We present the development, testing, and implementation of a simplified alternative to using fractional Brownian motion for pricing derivatives. By relaxing the assumption of past independence of Brownian motion but retaining the Markovian property, we are developing a competing model that retains the mathematical simplicity of the standard Black-Scholes model but also has the improved accuracy of allowing for past dependence. This is achieved by replacing Black-Scholes\' underlying process, Brownian motion, with a particular Gaussian Markov process, proposed by Vladimir Dobri\\\'{c} and Francisco Ojeda.
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中文摘要：
用分数布朗运动代替Black-Scholes的驱动过程，可以将过去对股票价格的依赖性纳入其中，但面临一些重大下跌，包括在金融市场实施套利。我们将开发、测试和实现一种简化的替代方法，以替代使用分数布朗运动为衍生工具定价的方法。通过放宽布朗运动过去独立性的假设，但保留马尔可夫性质，我们正在开发一个竞争模型，该模型保留了标准Black-Scholes模型的数学简单性，但也提高了考虑过去依赖性的准确性。这是通过用弗拉基米尔·多布里（Vladimir Dobri）{c}和弗朗西斯科·奥杰达（Francisco Ojeda）提出的一种特殊的高斯-马尔可夫过程取代布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的基本过程布朗运动来实现的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_Gaussian_Markov_alternative_to_fractional_Brownian_motion_for_pricing_financia.pdf (663.84 KB)

2022-5-25 13:56:38 上传

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关键词：分数布朗运动 马尔可夫 布朗运动 Mathematical Quantitative

金融衍生工具定价的分数布朗运动的高斯-马尔可夫替代方法Daniel Conus和Mackenzie Wildmanbstract用分数布朗运动代替Black-Scholes的驱动过程，布朗运动允许纳入过去对股票价格的依赖性，但面临一些重大下跌，包括在金融市场实施套利时发生的情况。我们将开发、测试和实施一种简化的替代方案，以替代使用分数布朗运动对衍生品进行定价。通过放宽布朗运动过去独立性的假设，但保留马尔可夫性质，我们正在开发一个竞争模型，该模型保留了标准Black-Scholes模型的数学简单性，但也提高了考虑过去依赖性的准确性。这是通过用Vladimir Dobri'c和Francisco Ojeda提出的一种特殊的高斯马尔可夫过程取代Black-Scholes的基本过程布朗运动来实现的。1简介根据诺贝尔奖得主布莱克-斯科尔斯金融衍生品定价模型[2]，我们假设基础股价（St）t∈[0，∞)行为符合随机微分方程（SDE）dSt=St（udt+σdWt），（1）初始条件S（0）=S∈ R+和其中u∈ R是股票价格的漂移，σ∈ （0，∞) 是其波动率，和（Wt）t∈[0，∞)是一个标准的布朗运动过程。此SDE的解决方案是使用It^o演算实现的（例如，参见[17]）；namelySt=SexpσWt+ut-σt.回顾该模型施加的一些假设：短期利率r已知且恒定，没有交易成本，股票价格具有恒定且已知的波动率σ和漂移u，股票价格的变化是对数正态分布的，股票价格的未来变化仅取决于当前值，且与过去无关。

目前对期权定价理论的研究主要包括放松标准模型的一个或多个假设和研究新模型。在模型中加入随机波动性，放松了基础股票具有恒定波动性的假设，如赫尔（Hull）[8]和赫斯顿（Heston）[6]。Leland[10]开发了一个包含交易成本的Black-Scholes模型。正如默顿（Merton）[13]首次考虑的那样，加入跳跃扩散过程而不是布朗运动是放松对数收益的高斯特性的一种方法。在股票价格过程中使用布朗噪声，假设股票价格的对数增量在不相交的时间间隔内是独立的。放松这一假设的一种方法是在SDE（1）中使用分数布朗运动代替布朗运动。分数布朗运动是由Mandelbrot和van Ness[12]引入的，是一个维纳过程，通过一个额外的参数，Hurst指数H，来衡量长程依赖的强度，从而将时间依赖性纳入其中。定义1.1。分数布朗运动（ZH（t））t∈[0，∞), 是实值中心高斯过程，其中H∈ （0，1），使得ZH（0）=0几乎可以肯定andE[ZH（t）ZH（s）]={t2H+s2H- |T- s | 2H}。注意，当H=，这相当于标准布朗运动过程。对于H>的值，过程的增量正相关，H越接近1，过程表现出更强的长记忆。相反，如果H<，分数布朗运动的增量是负相关的。Hu和Oksendal【7】和Sottinen【18】在Black-Scholes SDE中用分数布朗运动代替了布朗运动：dSt=St（udt+σdZH（t））。

（2） Hu和Oksendal【7】利用Wick微积分解决了这个微分方程；namelySt=SexpσZH（t）+ut-σt2H.1962年至1987年对每日回报的实证研究[15]给出了纳入股价过去相关性的一个动机，该研究表明，标准普尔500指数的赫斯特指数约为0.61，95%置信区间为（0.57,0.69）。如果指数价格没有过去的相关性，我们预计赫斯特指数为0.5。（另请参阅[11]和[16]中关于日志返回具有长期依赖性的参数。）然而，该模型的一个主要缺点是它会导致非半鞅股价过程。这允许在金融市场中进行套利，并且无法通过使用Wick演算而不是it^o演算来接受明确的对冲策略。例如，参见[18]及其参考文献。考虑到分数布朗运动使用的这些问题，我们引入并实施了“Dobri’c-Ojeda过程”，最初由Vladimir Dobri’c和Francisco Ojeda在【3】中提出并定义。Dobri'c-Ojeda过程是一个高斯-马尔可夫过程，具有与分数布朗运动相似的性质，尤其是依赖于时间增量，我们将此过程作为Black-Scholes随机微分方程（1）中分数布朗运动的替代过程。在【3】之后，我们首先考虑分数高斯场Z=（ZH（t））（t，H）来确定Dobri’c-Ojeda过程∈[0，∞)概率空间上的×（0,1）(Ohm, F、 P）由协方差定义{ZH（t）ZH（s）}=aH，H{t | H+H+| s | H+H- |T- s | H+H}，其中H，H=-πpΓ（2H+1）sin（πH）pΓ（2H+1）sin（πH）×Γ(-（H+H））cos（H）- H） πcos公司（H+H）π对于H+H6=1pΓ（2H+1）Γ（3- 2H）sin（πH）=：aH=：aH，对于H+H=1，其中Γ（t）=R∞xt公司-1e级-xdx是常用的Gamma函数。该油田的存在于【4】中。

注意，当H=H时，zhi是分数布朗运动过程，当H=H=时，zhi是标准布朗运动过程。在此字段中，对于H+H=1的情况，定义过程（MH（t））t∈[0，∞), givenbyMH（t）=E（ZH（t）| FHt），（3），其中FHt=σ（ZH（r）：0≤ R≤ t） 。正如下面2.1所证明的，过程mh是关于（FHt）t的鞅≥这一事实在[3]中未作说明。MH（t）的二阶矩由[MH（t）]=cMt2给出-2H，（4），其中cM=aHΓ（3/2-H） 2HΓ（H+1/2）Γ（3-2H），见【3】。我们还将证明MH（t）是高斯中心的，具有独立增量和协方差E[MH（t）MH（s）]=cM（s∧ t） 2-2H（见2.2）。通过将分数布朗运动投影到分数高斯场Z上，我们使用这个过程MH来获取分数布朗运动的一些信息。我们寻求一个近似分数布朗运动的形式为ψH（t）MH（t）的过程，其中ψH（t）是一些确定性系数。我们发现了MHin的这一系数，即E（ZH（t）给出的与ZH的最小二乘差- ψH（t）MH（t）），最小化。由于该期望值在ψH中是二次的，因此由ψH（t）给出的最小ψHis：=E（ZH（t）MH（t））EMH（t）。ψH（t）的闭合形式解见【3】：ψH（t）=2HΓ（3- 2H）Γ（H+1/2）aHΓ（3/2- H） t2H型-1： =cψt2H-1、我们可以最终确定Dobri’c-Ojeda工艺（VH（t））t∈[0，∞]asVH（t）=ψH（t）MH（t），（5），其中ψH（t）=cψt2H-1和mh（t）=E[ZH（t）| FHt]，其中H+H=1。注意，当H=，过程VH（t）是布朗运动。为了理解Dobri’c-Ojeda过程VH与分数布朗运动ZH的近似程度，考虑差异过程H（t）：=ZH（t）- VH（t）。如文献[3]所证明的，EYH（t）=dHt2H=dHEZH（t），fordH=1- 2HΓ（1/2+H）Γ（3- 2H）Γ（3/2- H） 。因此，对于H∈ （0.4，1），我们预计这在大多数市场是合理的，VH接近ZHW，相对误差不超过12%。

如上文所述，我们预计H在典型市场中约为0.6，很少低于0.4。图1显示了dH，它表示VHfrom ZH的相对误差，作为H的函数。图1：dH图。Dobri'c-Ojeda过程的一个有用特性是它有一个it^o微分表示，并且是asemi鞅。在2.5中，我们将证明存在布朗运动过程（Wt）∈[0，∞)适应过滤（FHt）t∈[0，∞)所以我们可以写vh（t）=CtH-1/2dWt+（2H- 1） t-1VH（t）dt，其中C是确定性常数。本文的主要目标是在Black-Scholes SDE（1）中应用Dobri'c-Ojeda过程作为噪声：dSt=St（udt+σdVH（t））。我们强调，当H=1/2时，这相当于原始的Black-Scholes SDE。然而，Dobri'c-Ojeda过程的主要优点是其半鞅性质，允许使用It^o演算。为了给期权定价，下一步自然是描述该模型的风险中性度量。这与Black-Scholes模型不同，因为漂移中存在1/t项，如我们在3中所示。1、这导致了processexp预期的爆炸Ztγsds在0处，其中γ是Girsanov定理中的漂移校正。为了解决这个问题，我们定义了一个改进的Dobri’c-Ojeda流程（Vt） t型∈[0，∞)其中漂移为0，直到时间t= > 根据修改后的Dobri'cOjeda流程，我们实现了风险中性度量Q对于修改后的股票价格流程t） t型∈[0，∞)对于固定 > 0使用Novikov条件[14]。

在欧洲看涨期权的情况下，我们在该风险中性指标下找到了一个价格公式：Ft=StΦσCrT2H- t2H2H- D- 柯-r（T-t） Φ(-d） 式中，C是一个确定性常数，与文献中的通常情况一样，T是到期日，K是履约价格，Φ是标准正态累积分布函数，d=ln堪萨斯州T- r（T- t） +σCT2H型-t2H2HσCqT2H-t2H2H。测度Q的形式收敛性对于街道，风险中性度量Q是一个开放性问题。最后，我们讨论了使用标的资产的历史价格估算赫斯特指数H和波动率σ的技术，然后比较了Black-Scholes SDE中使用布朗运动、分数布朗运动和Dobri’c-Ojeda过程计算的历史期权价格。我们发现，当参数H相似时，使用Dobri'c-Ojeda过程的模型实际上近似于使用分数布朗运动的期权价格。然而，当赫斯特指数H使用较小的值时，Dobri’c-Ojeda过程似乎优于竞争模型。Dobri\'c-Ojeda模型与H small的分数布朗运动模型表现不同并不奇怪，因为对于小H值，这两个过程有显著差异（见图1），然而，Dobri\'c-Ojeda模型对H small的精度提高表明，在某些情况下，股价不遵循分数布朗运动过程。2 Dobri'c-Ojeda过程在本节中，我们将证明Dobri'c-Ojeda过程的一些性质，如第1.2.1节中定义的MH（t）的性质首先注意，过程MH（t）对于所有t>0都是高斯的，因为它是高斯过程的条件期望，ZH（t）。通过定义，过程MH（t）也满足E[MH（t）]=0和E[MH（t）]=cMt2-2小时。以下命题在[3]中陈述，无需证明。

为了完整性，我们在这里证明它。提案2.1。过程MH（t）是关于FHt的鞅。证据让t>0。根据MH（t）的定义，我们有E[| MH（t）|]=EEZ1级-H（t）| FHt≤ EE|Z1级-H（t）| | FHt= E[| Z1-H（t）|]<∞,自Z1起-H（t）是高斯分布。还有一点需要说明，对于0≤ s<t，E[MH（t）| FHs]=MH（s）。根据TowerRule和MH（t）（3）的定义，我们得到了[MH（t）| FHs]=EE（ZH（t）| FHt）| FHs=EZH（t）| FHs=EZH（t）- ZH（s）| FHs+ EZH（s）| FHs=EZH（t）- ZH（s）| FHs+ MH（s）。这仍然表明EZH（t）- ZH（s）| FHs= 0、修复V∈ FHs。在不丧失一般性的情况下，设V={ZH（u）∈B} 对于一些u≤ 其中B是Borel集。ThenE[V（ZH（t））- ZH（s））]=E[1{ZH（u）∈B} ZH（t）]- E[1{ZH（u）∈B} ZH（s）]。首先，请注意，对于协方差为ρ的任何一对标准联合正态随机变量X和Y，以及对于任何Borel集B，E[1X∈BY]=ρE【1X∈BX]。这可以通过定义第三个随机变量（Y）轻松验证- ρX）/p1- ρ、 它与X无关。此外，对于任何中心的联合高斯随机变量X和Y，分别具有方差σX和σY，以及协方差ρ，对于任何Borelset B，E[1X∈BY]=ρσXE[1X∈BX]。因此，我们有E[1{ZH（u）∈B} ZH（t）]=aHuE[ZH（u）]EZH（u）∈BZH（u）同样地，E[1{ZH（u）∈B} ZH（s）]=aHuE[ZH（u）]EZH（u）∈BZH（u）. 这表示E[V（ZH（t））- ZH（s））]=0对于所有随机变量V∈ FHsand so EZH（t）- ZH（s）| FHs= 0、提案2.2。鞅过程MH具有独立的增量和协方差E[MH（t）MH（s）]=cM（s∧ t） 2-2小时。证据在不丧失一般性的情况下，假设s<t。然后根据上述2.1和（4），E[MH（t）MH（s）]=E[（MH（t）- MH（s））MH（s）]+E（MH）= cMs2-2小时。因此，E[MH（t）MH（s）]=cM（s∧ t） 2-2小时。（6） 为了证明增量的独立性，我们假设s<t且h>0很小。

然后通过上面的（6），E[（MH（t+h））- MH（t））（MH（s+h）- MH（s））]=0。由于过程MH是高斯的，这表明MH具有独立的增量。接下来，我们将证明鞅过程mh从0到t的二次变化由cmt2给出-2小时。首先，我们将证明下面的引理，将在2.4的证明中使用，然后在4.2中使用。引理2.3。以下近似值适用于Mt=MH（t）的偶数矩：E[(Mti）2k]≤ （2k- 1） ！！厘米（2- 2H）（ti∧ ti公司-1） 1个-2小时ti公司k、 其中k≥ 1和Mti=Mti- Mti公司-1.证明。利用（4）和中值定理，E[(Mti）]=E【Mti】- 2E【MtiMti-1] +E[Mti-1] =cMt2-2嗨- 2E类[(Mti+Mti-1） Mti公司-1] +cMt2-2嗨-1=cMt2-2嗨- 2E类[MtiMti公司-1]- 2E【Mti-1] +cMt2-2嗨-1=cMt2-2嗨- 2cMt2-2嗨-1+cMt2-2嗨-1=厘米（t2-2嗨- t2级-2嗨-（1）≤厘米（2- 2H）（ti∧ ti公司-1） 1个-2小时ti。由于过程mt是高斯的，因此k的结果如下≥ 1，根据需要。提案2.4。对于n>0，设ti=itn，i=0。。。，n是（3）中定义的[0，t]和Mt=MH（t）的划分序列。Thenlimn公司→∞nXi=1(Mti）- cMt2-2小时= 0和下限→∞nXi=1(Mti）=cMt2-2公顷。s、 在哪里Mti=Mti- Mti公司-1.证明。因为函数f（t）=t2-2他的可积性，我们有cM（2- 2H）Pni=1t1-2嗨T→ cMt2-2哈兹→ ∞ 在陆地上几乎可以肯定。因此，通过三角不等式，可以证明nXi=1(Mti）- 厘米（2- 2H）nXj=1t1-2Hj公司T→ 0as n→ ∞. 使用2.2中证明的MH的独立增量，我们得到nXi=1(Mti）- 厘米（2- 2H）nXj=1t1-2Hj公司T=EnXi=1(Mti）- 厘米（2- 2H）nXj=1t1-2Hj公司T=nXi=1nXj=1E(Mti）E(Mtj）- 2厘米（2- 2H）nXi=1nXj=1E(Mti）t1级-2Hj公司t+厘米（2- 2H）nXi=1nXj=1t1-2 Hit1-2Hj公司(t） 。由2.3可知，在H<1/2和H的情况下，该值均以0为界≥ 1/2。Borel-Cantelli暗示几乎肯定收敛。2.2 VH（t）的性质接下来，我们证明了Dobri’c-Ojeda过程具有It^o差异表示。提案2.5。

存在一个布朗运动过程（Wt）∈[0，∞)适应过滤（FHt）t∈[0，∞)使Dobri'c-Ojeda工艺（VH（t））t∈[0，∞)如（5）所述，是一个It^o微分过程，满足随机微分方程Dvh（t）=CtH-1/2dWt+（2H- 1） t-1VH（t）dt，其中C=CψpcM（2- 2H）。证据根据2.4，MH的二次变化由[MH，MH]t=cMt2给出-2小时。因此，根据鞅的表示定理（见[9，Thm 4.2]），存在一个适应过滤（FHt）的布朗运动过程∈[0，∞)其中dMH（t）=pcM（2- 2H）t1/2-HdWt。因此，dVH（t）=d（ψH（t）MH（t））=ψH（t）dMH（t）+MH（t）dψH（t）=ψH（t）pcM（2- 2H）t1/2-HdWt+（ψH（t）-1VH（t））d（cψt2H-1） =cψpcM（2- 2H）t2H-1/2-HdWt+c-1ψt-2H+1VH（t）cψ（2H- 1） t2H型-2dt=cψpcM（2- 2H）第-1/2dWt+（2H- 1） t-1VH（t）dt。请注意，尽管存在漂移因子，但由于VH（t）的阶数为tH，该方程已得到很好的定义。还需要说明的是，我们可以将这个微分写成dvh（t）=cψpcM（2- 2H）第-1/2dWt+cψ（2H- 1） t2H型-2MH（t）dt，使用VH（t）（5）的定义。该表示的鞅部分具有与Riemann-Liouville分数积分zh（t）=Γ（H+1/2）Rt（t）类似的形式-s） H类-1/2dWs（见[1]），但它是非预期的，因此它是可积的，而分数积分则不是。我们认为，分歧的漂移项以某种方式补偿了这种差异，并在保持半鞅过程的同时模拟分数布朗运动。Dobri'c-Ojeda过程二次变化的封闭式方程如下：推论2.6。