股票指数盈亏不对称的时间尺度效应

更准确地说，影响了与特征时间长度Tc（Tc<T）的自动相关的Tc/T部分。所以，当T减小时，我们预计的不是asharp，而是自相关的平滑衰减。例如，如果我们将每日收益的原始时间序列分割为T=500交易日的间隔，我们将得到41个时间窗口。在图2的顶部面板中，我们标记了两个这样的时间窗口。随机重排所有窗口的顺序，我们从底部面板的图中获得时间序列rs（t），其中我们标记了两个选定时间窗口的新位置。从图1中我们了解到，对于T=1，盈亏对称性消失。考虑到现在T=25个交易日的时间窗口和相同的|ρ|=5σ返回水平，我们观察到盈亏不对称几乎与原始时间序列中一样明显（图3）。因此，可以得出结论，导致|ρ|=5σ回报水平不对称的自相关在短于T=25个交易日的时间尺度上表现出来。同样的结果也可以在SNP500和NASDAQ100指数的情况下找到（见补充材料）。为了更好地理解非皮尔逊型自相关的相关时间尺度，以及指数动力学与简单布朗动力学之间的差异，我们计算了多种回报水平（ρ）和时间窗长度（T）的数量。0.0040.0080.0120.016τ[交易日]原始ρ=-5σρ=+5στ[交易日]T=25ρ=-5σρ=+5σ图3。（彩色在线）左：指数中原始道琼斯工业平均指数的投资范围分布。右图：使用T=25个交易日的时间窗口对指数进行反向统计。相同颜色的叠加曲线对应不同的排列。

逆统计考虑的回报水平比回报波动率大五倍：|ρ|=5σ≈ 5%。τρ（T）*ρ=-5σρ=+5σT=120 40 60 80 100吨[交易日]0.51.520 40 60 80 100吨[交易日]w（T）np=1np=10np=100np=1000图。4.（在线彩色）顶板：τ的位置*|ρ|（T）（绿色）和τ*-|ρ|（T）（红色）与完全shu | ed情况相比，ρ|=5σ对数回归水平的T时间窗shu |（T）（红色）最大值，τ*ρ（1）=14天（b缺失）。虚线黑色和灰色水平线对应于τ*|ρ|=24和τ*-|ρ|=分别为11天，显示用于指导试验。插图显示了w±（T，1）相异性参数。底部面板：不同NP置换对应的不对称水平w（T），使用τ*ρ(∞) = 13天。灰化垂直线表示T=25 shu-free窗口大小，另见图3。如图1所示，dailyreturns的r（t）时间序列的组织方式如下，τ*±|ρ|正/负回报水平的最大值位置相对于τ向右/向左移动*ρ（1）完全饱和指数的最大值（T=1）。因此，随着时间窗口的T大小逐渐减小，这些差异会逐渐消失（见图4的顶部面板）。最大值（τ）的位置*|ρ|（T），τ*-|ρ|（T））确定为最可能的首次通过时间，即τ*ρ（T），其中：p（τ*ρ（T））>p（τρ（T））， τρ（T）6=τ*ρ（T）。（7） 请注意，T→ ∞ 极限给出了最佳投资期限，因此我们可以使用符号τ*ρ(∞) = τ*ρ。可以定义一个参数，用T时间窗和完全指数W±（T，1）表征指数的不相似程度=τ*±|ρ|（T，1）τ*±|ρ|(∞, 1） ，（8）在这里我们引入了符号τ*±|ρ|（T，1）=τ*±|ρ|（T）- τ*ρ（1），（9）来自图。

4我们了解到，shu-free窗口方法影响两个最大值τ的位置*相对于τ的±|ρ|（T）*ρ（1）。我们还从插图中了解到，w+（t，1）和w-（T，1）具有类似的趋势：w-（T，1）≈ w+（T，1）。（10） 类似地，也可以将衡量股指原始时间序列不对称程度的参数定义为正收益和负收益最佳投资水平的相对时间差：w（T）=τ*ρ（T）τ*ρ(∞), （11） 使用τ*ρ（T）=τ*|ρ|（T）- τ*-|ρ|（T）。（12） 从式（10）可以看出，上述三个参数是等效的：w（T）≈ W-（T，1）≈ w+（T，1）（13）在下文中，为了方便起见，我们将使用w（T）参数作为不对称性的度量。为了改进统计，对NPDifferent排列的结果进行平均。此外，对于每种不同的排列，通过从间隔{1，T}的原始时间序列中随机选择第一天，也会重新进行分区。通过这种方式，我们可以避免在长度为T的时间窗口中对每日收益进行相同的分区。因此，与大型股市崩盘相对应的对数回报率将出现在不同排列的时间窗口中的不同位置。通过增加npofpermutations的数量，曲线变得更加平滑。底部图4显示了显示此趋势的结果，即|ρ|=5σ再翻转水平。我们观察到，对于np=1000，波动相当低。在下文中，该值将用于所有统计。

为了保持一致，我们总是执行相同数量的置换，以及τ*±|ρ|原始索引的值通过采用较大的窗口大小T来计算∞= 1000：τ*ρ（1000）→ τ*ρ(∞), 自τ起*±|ρ|（1000）→ τ*±|ρ|。通过确定τ的值，可以提高W（T）结果的准确性*p（τρ）分布的适当fit的±|ρ|（T）最大值。为了以这种方式进行，首先必须找到合适的拟合形式，然后再进行假定的非线性拟合。这种更复杂的方法超出了本研究的范围。在这里，我们的目的是对非皮尔逊型相关性的特征时间尺度进行粗略估计，这是导致增益-损失不对称的原因。五、 特征时间尺度首先是逆统计中最大值的平均位置，τ*ρ、 研究了不同的回归水平ρ。我们再次考虑了原始索引的情况和T=1时间窗的索引。结果如图5所示。结果表明了一些有趣的结论。对于原始指数，我们发现只有当收益率超过2σ时，才能观察到收益-损失不对称性，并且随着ρva值s的增加而增加。对于T=1，我们消除了指数中所有类型的自相关，正如人们自然预期的那样，所有收益率都会出现收益-损失不对称性。τ的指数ntγ+=1.8*|ρ|（ρ）标度[公式（5）]更接近于简单布朗动力学（γ=2）的预测，与原始指数相比，其中ρ>0时γ+=1.5 3，γ-= ρ<0时为1.33。这使我们能够得出结论，与原始布朗运动相比，T=1的指数给出的动力学更接近于简单的布朗运动，但在统计上仍然与这种简单模型的预测不同。

我们认为，shu’ed指数的γ<2的值是经验收益率分布比高斯分布更厚的结果，这一行为也已在合成时间序列中得到证明（见附录）。从图5中的第三个面板中，我们可以得出结论，不对称的性质强烈依赖于ρ返回水平：对于较小的返回值ρ∈ [3σ，7σ]正值的不相似性更大，而τρ*（a）|ρ|-|ρ|γ+=1.53γ-=1.331 10τρ*±|ρ|[σ]（b）|ρ|-|ρ|γ+=1.75γ-=1.805 10 15 20 25 30τρ*±|ρ|[σ]（c）|ρ|-|ρ| T=12图。5.（在线彩色）τ的缩放*ρ正（绿色虚线曲线）和负（红色连续曲线）ρ回报水平的最佳投资期限，使用原始DJIAindex（第一面板）和shu’ed index（第二面板）onlog对数标度。黑色虚线和灰色连续线表示|ρ|>3σ回归水平的斜率。|ρ|>3σ极限用细垂直线表示。图例中给出了缩放指数。我们还提供了一个带有插图的比较图，该图使用轴上的线性刻度显示了小回归水平区域（第三个面板）：|ρ|∈ [σ，8σ]。回报水平越大，负回报的差异性越明显。接下来，我们研究了w（T）不对称参数与时间窗长度T的函数关系，对于那些在原始索引中可以明显观察到增益低于对称性的ρ值：（|ρ|∈ [3σ，7σ]）。我们没有考虑收益水平大于7σ，因为在这种情况下，统计数据变得很差。结果如图6所示。我们从图中了解到，随着传输时间窗口的长度T的减小，增益-损失不对称的数量也减少了。

绘制在对数刻度上的结果显示了可检测的切割值Tc，其中index0中的自动相关性。11 10 100 1000T[交易日]w（T）|ρ|=3σ|ρ|=5σ|ρ|=7σ图6。（彩色在线）在σ波动率（np=1000）方面，不同ρ回报水平的T时间窗口中，shu-freing后仍存在不对称性。受到窗户装饰方法的强烈影响。这表明了相关自相关关系的特征时间尺度，其结果取决于收益率。对于更高的回报率，我们发现10- 间隔30天。这些限制由图6中的虚线表示。NASDAQ100 andS和P500指数也得到了类似的结果，尽管它们从组成部分股票价值计算的方式与DJIA有很大不同（参见附录中的图11）。所有这些结果表明，与文献[33]中报告的相比，导致损益不对称的非n-Pearson型自相关的特征时间显著减少。人们可以想出许多其他更复杂的方法来确定Tccharacteristic时间尺度。一种可能性是使用相关性通常以指数方式衰减的假设，然后尝试e型指数函数-| 1的T/θ- w（T）|。在这种近似下，θ将产生特征时间。如图7所示，这种指数衰减确实是T<30天极限的合理近似值。此外，拟合θ值（如图所示）与图6中的visua lestimates一致。计算机程序控制交易，称为程序交易，始于20世纪70年代，到20世纪80年代被广泛使用。计算机处理的资产交易量在21世纪初开始迅速增长。如今，这一交易量已超过总交易量的40%。

一个合理的假设是，程序交易改变了股票市场的动态和统计特征，因为程序交易与人工交易相比，是基于预先定义的算法。为了研究程序交易对道琼斯工业平均指数反向统计的影响，我们将该指数分为两部分：1928年至1980年，主要是人类交易时期；1980年至2011年，程序交易持续存在。计算不对称参数作为T0的函数。010.120 40 60 80 100吨[交易日]；ρ|=3σ|ρ|=5σ|ρ|=7σθ3σ=5.86θ5σ=20.57θ7σ=32.27图。7.（在线彩色）DJIAindex的不对称性度量：| 1- w（T）|在对数正态标度上，根据σ波动率，不同ρ回报水平的曲线。非Pearson类型相关性随着e的减少而减少-T<30天（T∞= 1000）。对于|ρ|=5σ，可以得到图8中顶部面板上显示的结果。从图8的结果可以清楚地观察到，1928-1980年（约30-80天）与1980-2011年（约10-20天）相比，导致收益-损失不对称的相关时间段明显更大。对于间隔|ρ|内的其他返回水平值∈ [3σ，7σ]结果定性相似。根据| 1的指数函数确定的θ值- w（T）|函数产生类似的结果（图8的底部图）。对于程序交易期，我们得到θp≈ 7天，人工交易期θh≈ 30天。这些结果可能表明，在股票市场交易中引入程序交易对股票指数有着可检测的影响，减少了导致损益不对称的非皮尔逊型auto-c关系的相关时间尺度。这也是其他作者提出的一个发现（见参考文献[2 6，27]）。

有趣的是，在人工和程序交易期间，回报的日常分布仍然相似（参见附录中的图12）。六、 讨论和结论我们从之前的分析中了解到，对称性的增益损失是由指数中的非皮尔逊型自相关引起的。我们还发现，这些自相关的特征时间尺度取决于我们最终测量的内容，但在任何情况下，它们都比之前认为的要短。此外，还发现，随着程序交易的出现，特征时间尺度明显减小。事实证明，舒松格窗法适用于检测这些细微的自相关，通过使用简单的皮尔逊相关系数，这些相关性是不可见的。0.11 10 100 1000吨[交易日]w（T）计划交易人交易0。010.120 40 60 80 100吨[交易日]计划交易Human tradingθh=29.13θp=6.85图。8.（彩色在线）顶部：THDJIA指数的不对称参数，作为humantrading时段（1928-1980）和program trading时段（19802011）T时间窗口的函数。底部：分别从与人工交易和程序交易相对应的指数函数中测量的特征时间θhandθpm。对于这两幅图，收益率的波动率选择为每日波动率的五倍：|ρ|=5σ≈ 5%和T∞= 在这里，我们推测与其他具有类似时间尺度的StylezedFacts的联系。金融时间序列的一个众所周知的统计特性是杠杆效应，它表明股票（或指数）的波动性在价格下跌后会增加[1、26、27、40]。Bouchaud等人给出了这种影响的一种解释【1】：每日大幅下跌，增加了波动性，之后往往是反弹日。这可能意味着，由于价格的影响，一些价格下跌往往被夸大，并且每个价格水平都被低估。

当资产价格调整到其内在价值时，收益会在接下来的几天内产生。值得一提的是，随机波动率模型也成功地解释了杠杆效应（参见示例【19、25、41】）。从数学上讲，杠杆效应的表述可以通过过去收益率和未来波动率之间的负相关来量化，因此可以通过以下相关函数来衡量：t（τ）=hrt（t+τ）·rt（t）ihrt（t）i.（14）表示DJ IA指数Lt（τ）≈ 对于τ<0，0<τ<25，归一化相关函数为负，在τ=1时最小，并呈现指数型松弛【36】。对于τ>25，相关性松弛为0。注意，L的衰减时间t（τ）量约为25天[36]，其在类似的时间尺度上，与上文给出的导致增益损失对称性的自相关。尽管损益不对称性与杠杆效应之间的关系已经被研究过，但据我们所知，目前还没有人指出这种相似性【1、23、26、36】。我们认为，这两种影响都是指数下跌引发的恐惧因素的结果，并且似乎在类似的时间尺度上有所缓解。然而，需要注意的是，目前认为无收益不对称原则上可能存在或不存在杠杆效应。例如，在参考文献[26]中考虑的模型中，这一点得到了明确的证明。在另一行中，我们应该从图4中注意到τ*ρ（T）反向统计中两个最大值之间的差异定义了一种自相关长度的度量。作为T→ 1我们得到τ*ρ（T）→ 0，表明相关自相关的时间尺度与损失不对称中ga的强度之间存在单调关系。

此外，作为T→ 1最大值两者都在移动，τ*|ρ|向左移动和τ*-|ρ|向右移动（见图1和图4）。有趣的是，我们为τ*ρ（T）相同特征时标(τ*ρ∈【10，30】天），作为通过w indow-shu’ing方法获得的相关自相关时间。从这个角度来看，图中最大值的位置已经表明了我们正在研究的自相关的相关时间尺度。1和4。最后，我们研究的主要信息是，我们测量了每日波动率在功能上依赖的特征时间尺度（指数中非皮尔逊型自相关的时间尺度）。旨在真实反映指数动态的波动率模型应考虑这一特征时间尺度，并将其纳入其假设中。承认B.S.的工作得到了欧洲联盟和匈牙利州的支持，由欧洲社会基金会在T\'AMOP4框架内共同资助。2.4。A/2-11-1-2012-0001国家卓越计划。B、 S还感谢S对“人才学院”和“Sz’ekly先驱研究生奖学金”的支持。Z、 N.感谢罗马尼亚“Idei”Grant（编号：PCE-Idei-0348/2011）提供的财政支持。挪威研究委员会第216699.10号合同部分支持I.S.的研究-110010110210-210-1p（r1）| r1<0 | DJIASTT10-210-1r1>0β1=-3.02β2=-3.3010011020.0010.003p（r12）（r1<0）2DJIASTT0。001 0.003（r1>0）2σ1=0.011σ2=0.018图。9.（彩色在线）DJIA和STT指数正、负日收益率r（t）的归一化概率分布。顶部：对数-对数刻度，连续灰色和黑色虚线分别表示指数为β和β的两个幂律函数。两种分布显示出相似的厚尾。