最大化和最小化投资集中度

（39）和（40））。图中显示了副本分析的结果如何与数值模拟的结果一致，因此我们可以使用副本分析来准确分析投资组合优化问题。1 1.5 2.5 3（b）最大投资集中风险系数（κ）副本分析结果数值试验结果。1、复制分析得出的最大投资集中度与数值试验得出的最大投资集中度的比较；α=p/N=3。横轴表示风险系数κ，纵轴表示最小投资集中度qw，min。实线（橙色）表示副本分析的结果，带误差条的星号（蓝色）表示数值模拟的结果，虚线表示κ=1时的投资集中度，即αα-1.0.91.11.21.31.41.51 1.5 2 2.5 3（a）最小投资集中风险系数（κ）副本分析结果数值试验结果。（二）复制分析得出的最小投资集中度与数值实验得出的最小投资集中度的比较；α=p/N=3。横轴表示风险系数κ，纵轴表示最大投资集中度qw，max。实线（橙色）表示副本分析的结果，带误差条的星号（蓝色）表示数值模拟的结果，虚线表示最小投资集中度，即单位。五、 结论和未来工作在本研究中，我们使用复制分析（为跨学科研究而开发）来分析具有多个约束条件的投资组合优化问题的对偶问题，这在我们之前的研究中得到了考虑【11、13、14】。

我们确定了一个可行的投资组合，在预算和风险约束下最大化投资集中度，以及一个最小化投资集中度。我们将正则系综分析应用于一个大型复杂系统，并对这个具有多个限制条件的优化问题进行了研究。从统一的角度来看，我们能够从可行投资组合的子集中得出最大和最小投资集中度。本文考虑的投资组合优化问题是我们之前研究[14]中讨论的优化问题的对偶，我们验证了最优解具有对偶结构。在数值实验中，我们使用了基于拉格朗日待定乘子方法的最速下降法，并将数值结果和理论结果进行了比较，以验证我们提出的方法。在本研究和我们之前的研究【11、14、17】中，我们分析了一个受多个约束的投资组合优化问题。在未来，我们打算在更一般的情况下，进一步研究这一问题与双重问题之间的复杂关系。此外，我们打算研究监管卖空的效果。感谢作者对K的富有成效的评论表示赞赏。小林和D.Tada。这项工作得到了第15K209 99号赠款的部分支持；秋田县大学青年科学家项目主席；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；曾金经济与金融研究基金会1414号研究项目；国家数学研究所2068号课题；研究项目编号。

坎波基金会2号；三菱UFJ信托奖学金基金会研究项目。附录A：副本分析在本附录中，我们解释了本文中使用的副本分析。如参考文献[11]中所述，EX[锌（κ，X）]，n∈ Z、 定义如下：EX[Zn（κ，X）]=（2π）N N+pnZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaEX“expβNXi=1nXa=1wia+nXa=1kansi=1wia- N+nXa=1θaNκε-pXu=1vua+ipXu=1nXa=1uuavua-√NNXi=1xiuwia！！#。（A1）在资产数量N的热力学极限下，我们得到limn→∞Nlog EX[锌（κ，X）]=βTrQw-~kT~e+κε~θT~e+TrQw▄Qw+▄kT▄Q-1w ~ k-日志det | | Qw |-αlog detQw公司-二、-iIΘ, （A2）其中，我们有顺序para metersqwab=NNXi=1wiawib，（A3）和共轭参数qwab。这里，Kai是与等式（1）相对应的辅助变量，andθais是与等式（2）相对应的辅助变量。此外，在等式（A2）中，Qw={qwab}∈ Rn×n，Qw={qwab}∈ Rn×n，~ k=（k，···，kn）T∈ Rn，~θ=（θ，···，θn）T∈ Rn，~e=（1，···，1）T∈ Rn和Θ=diag{θ，θ，····，θn}∈Rn×n。如果我们替换等式中的复制对称解。（11） 将（14）转化为式（A2），我们得到式（10）。[1] Z.Bodie、A.Kane、A.J.Marcus，《投资》（McGrawHill Education，2014）。[2] D.G.Luenberger，《投资科学》（牛津大学出版社，1997年）。[3] H.Markowitz，J.Fin。7、77（1952年）。[4] H.Markowitz，《投资组合选择：投资的有效多元化》（J.Wiley and Sons，纽约，1959）。[5] H.Konno，H.Yamazaki，伙计。Sci。37519（1991年）。[6] R.T.Rockafellar，S.Uryasev，J.Risk，2，21（2000）。[7] S.Ciliberti M.M’ezard，欧元。物理。J、 B，27，175（2007年）。[8] S.Ciliberti，I.Kond或M.M\'e zard，Quant。鳍7389（2007年）。[9] I.Kondor，S.Pafka，G.Nagy，J.Bank。鳍311545（2007年）。[10] S.Pafka、I.Kondor、Euro。物理。J、 B、27、277（2002年）。[11] T.Shinzato，PLoS One，10，e0133846（2015）。[12] T.Shinzato，M.Yasuda，PLoS O ne，10，e0134968（2015）。[13] I.Varga Haszonits，F.Caccioli，I。

康多，https://arxiv.org/abs/1606.08679（2016年）。[14] T.Shinzato，https://arxiv.org/abs/1605.06845（2016年）。[15] M.M\'ezard，A.Montanari，《信息、物理和计算》（牛津大学出版社，2009年）。[16] H.Nishimori，《自旋引力和信息处理的统计物理》（牛津大学出版社，2001年）。[17] D.Tada，T.Shinzato，待编制（2016年）。