最大化和最小化投资集中度

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英文标题：
《Maximizing and Minimizing Investment Concentration with Constraints of
  Budget and Investment Risk》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, as a first step in examining the properties of a feasible portfolio subset that is characterized by budget and risk constraints, we assess the maximum and minimum of the investment concentration using replica analysis. To do this, we apply an analytical approach of statistical mechanics. We note that the optimization problem considered in this paper is the dual problem of the portfolio optimization problem discussed in the literature, and we verify that these optimal solutions are also dual. We also present numerical experiments, in which we use the method of steepest descent that is based on Lagrange\'s method of undetermined multipliers, and we compare the numerical results to those obtained by replica analysis in order to assess the effectiveness of our proposed approach.
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中文摘要：
在本文中，作为检验以预算和风险约束为特征的可行投资组合子集性质的第一步，我们使用复制分析来评估投资集中度的最大值和最小值。为此，我们应用统计力学的分析方法。我们注意到，本文考虑的优化问题是文献中讨论的投资组合优化问题的对偶问题，并且我们验证了这些最优解也是对偶的。我们还进行了数值实验，其中我们使用了基于拉格朗日待定乘子方法的最速下降法，并将数值结果与副本分析得到的结果进行了比较，以评估我们提出的方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：集中度 最大化 Optimization localization Quantitative

在预算和投资风险约束下最大化和最小化投资集中度*Mori Arinori高等教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，东京，1868601，日本。（日期：2018年8月31日）在本文中，作为检查以预算和风险约束为特征的可行投资组合子集属性的第一步，我们使用副本分析评估投资集中度的最大值和最小值。为此，我们采用统计力学的分析方法。我们注意到，本文考虑的优化问题是文献中讨论的投资组合优化问题的双重问题，并且我们验证了这些最优解也是对偶的。我们还介绍了数值实验，其中我们使用了基于拉格朗日极限乘子方法的最深下降法，并将数值结果与通过复制分析获得的结果进行了比较，以评估我们提出的方法的有效性。PACS编号：89.65。Gh，89.90+n、 02.50-国际扶轮社。简介投资组合优化问题是数学金融领域最重要的研究课题之一，众所周知，根据从该问题的最优解中获得的知识，通过资产多样化可以降低投资风险[1，2]。Markowitz在1952年报道了关于这一主题的开创性研究[3，4]，它仍然是一个活跃的研究领域[5，6]。最近的几项研究考虑了使用跨学科领域开发的分析方法的投资模型，如复制分析、信念传播方法，以及使用随机矩阵特征值的分布[7-14]。例如，Ciliberti等人。

[7，8]使用绝对零度温度极限下的r eplica分析，在使用绝对偏差模型或预期缺口模型时，检查每项资产的最小投资风险。Kondor等人[9]量化了几种风险函数对噪声的敏感性，包括样本内风险、无样本风险和预测风险。此外，Pafkaet等人[10]研究了投资周期数与资产价值之间的关系，以及各种投资风险，如预测风险和实际风险。Shinzato【11】美国编辑的复制分析表明，对于均值-方差模型，最小投资风险及其集中度是一个自平均值。此外，Shinzato等人[12]在使用均值-方差模型、绝对偏差模型和信念传播方法时，开发了一种求解最优投资组合的算法，并证明了猝灭无序系统的Konno-Yama-zaki猜想。Varga Haszonits et a l【13】使用复制分析研究了预算和回报约束下均值-方差模型的最小投资风险和效率边界。此外，Shinzato【14】*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JP使用复制分析来研究具有预算和投资集中度约束的均值-方差模型的最小投资风险。在上述研究中，只有参考文献[14]分析了具有多个约束的均值-方差模型的最小投资风险，将其作为参考文献[11]中考虑预算约束的均值-方差模型的自然张力；结果表明，在这些投资组合优化问题中隐含着双重问题。

为了更好地理解这些优化问题，我们使用对偶结构来分析它们。然而，在使用跨学科领域开发的分析方法（包括复制分析和基于随机矩阵特征值分布的方法）对这一问题进行的大量研究中，很少有研究分析主动采用双重结构和双重问题的投资系统的潜力。作为讨论对偶结构数学框架的第一步，本文的目的是解决投资组合优化问题的对偶问题，并阐明这些优化问题的对偶结构。本文的结构如下：在第二节中，讨论了具有预算和投资集中约束的投资组合优化问题的对偶问题，如参考文献[14]所述。在第三节中，我们使用EPLICA分析来研究这个双重问题。在第四节中，我们将复制分析的结果与数值实验估计的结果进行比较，并评估我们提出的方法的有效性。在第5节中，我们给出了我们的结论并讨论了未来的工作领域。二、参考中的模型设置。[11、12、14]，我们考虑一个稳定的投资市场，其中不存在卖空监管，且有N项资产。资产组合（=1，····，N）表示为wi，资产组合N表示为s~w=（w，w，····，wN）T∈ 注册护士。我们将使用符号T来表示向量或矩阵的转置。为了简单起见，我们假设卖空是不受管制的，并且我们注意到Wii是非负的。我们假设p情景，资产i inscenariou（=1，·····，p）的回报率为“xiu”，其中回报率以平均值EX[“xiu”）和单位方差独立分布。

我们将考虑可行的投资组合子etW（κ），该子etW受以下预算和风险约束：N=NXi=1wi，（1）Nκε=pXu=1√NNXi=1wi（(R)xiu- EX[(R)xiu]！，（2） 式中，公式（1）是参考文献中使用的预算约束。[11，14]，等式。（2） 是风险约束，ε是最小投资风险ε=α-1、注意，式（2）表示N项资产的投资风险为κ(≥ 1） 时间最小投资风险Nε。我们将计算风险系数，情景比率定义为α=p/N。此外，修改后的回报率xiu定义为xiu=’xiu- EX[(R)xiu]，以及可行投资组合subsetW（κ） rN可表示为：W（κ）=（~ W∈ 注册护士N=~重量e，Nκε=pXu=1~重量~ xu√N),（3） 式中，单位向量e=（1，···，1）T∈ RN，修改后的再折返率矢量约为xu=（x1u，x2u，····，xNu）T∈ 注册护士。即Wishart矩阵XXT∈ RN×由修改后的retur n ratematrix X=nxiu确定√不∈ RN×pis是马氏距离的度量（或者更准确地说，是马氏距离平方的一半），~wTXXT~w，它是常数。为了研究投资市场的性质，我们需要检查可行子集W（κ）中包含的投资组合。我们将使用以下统计数据，这些数据以前在文献中使用过（例如，【11】）：qw=NNXi=1wi。（4） 例如，当k=1时，最优解是唯一的；当k>1时，可行子集W（k）不为空，如果我们可以确定投资集中的范围，那么我们可以确定该子集中的投资组合数。最后，我们注意到，之前的一项研究[11]在式（1）中的预算约束下，在式（2）中检验了使投资风险最小化的最优解，并分析了最小投资风险。一项不同的研究【14】在等式（2）中的预算约束下，检验了最小化投资风险的最优解决方案。

（1） 以及式（4）中的投资集中约束，再次分析了最小投资风险。我们注意到，这项研究[14]讨论了带有两个约束的组合优化问题，是前一项研究[11]的自然延伸，该研究只考虑了一个约束。在本文中，我们将投资集中度约束和目标函数（投资风险）互换，以考虑参考文献[14]中考虑的问题的对偶。三、 副本分析在本节中，我们使用副本分析[15，16]来研究上面讨论的优化问题。该投资系统中的哈密顿量isH（~ w）=NXi=1wi。（5） 按照统计力学的方法，逆温度β的配分函数Z（κ，X）为Z（κ，X）=Z∞-∞d~wP（~w |κ，X）eβH（~w），（6）P（~w |κ，X）=δNXi=1wi- NδNκε-pXu=1~重量~ xu√N!, （7） 其中X=nxiu√不∈ RN×pis为回报率矩阵。由此，投资集中度的最大值和最小值qw，max和qw，min可分别使用以下公式得出：qw，max=max ~ w∈W（κ）（NNXi=1wi）=limβ→∞Nβlog Z（κ，X），（8）qw，min=min ~ w∈W（κ）（NNXi=1wi）=limβ→-∞Nβlog Z（κ，X）。（9） 为了评估投资集中度的界限，我们使用统计力学的统一vie wpoint方法，尽管我们没有使用统计力学文献中广泛使用的Boltzmann因子。由于该表示法保持了该模型的数学结构，因此我们可以在反向温度β的较大范围内分析b边界。此外，为了检验这种投资系统的典型行为，我们需要评估典型的最大和最小投资集中度。也就是说，我们必须严格地平均方程式（8）和方程式中的右手边。

（9） 超过SSET的回报率。与之前的研究[11，14]中使用的方法类似，我们使用了复制分析和复制对称解的ansatz（详见附录a），如下所示：φ=limN→∞NEX[对数Z（κ，X）]=Extrk，θ，χw，qw，~χw，~ qw-k+κθε+（χw+qw）（￠χw- qw）+qwqw+β（χw+qw）+k2χw-对数▄χw+▄qw2▄χw-αlog（1+θχw）-αθqw2（1+θχw）, （10） 其中Extrmf（m）是函数f（m）相对于m的极值，复制对称解在a，b=1，2，····，n处求值，如下所示：qwab=χw+qwa=bqwa 6=b，（11）~qwab=χw- qwa=b-qwa 6=b，（12）ka=k，（13）θa=θ，（14），其中k是关于式（1）的辅助变量，θ是关于式（2）的辅助变量。由此推导出式（10）中的极值条件如下：k=△χw，（15）χw=△χw，（16）qw=1+△qw△χw，（17）△χw+β=αθ1+θχw，（18）△qw=αθqw（1+θχw），（19）κ（α- 1） =αχw2（1+θχw）+αqw2（1+θχw）。（20） 为了获得最大值和最小值，我们需要将极限取为|β|→ ∞; 我们使用参考文献中给出的结果。[11、14]。然后，我们假设θχw~ O（1）和βθ~ O（1），所以我们得到θχw=1±pα-ακα- 1，（21）βθ=±（α- 1） pα-ακ2α-ακ±（α+1）pα-ακ。（22）从中，我们得到χw=±（α）- 1） pα-ακβα±pα-ακ, （23）qw=√ακ±√κ- 1.α- 1，（24）式中，从式（10）中的第七项开始，我们有-log▄χw=logχw，sinc eχw>0。注意，如果β>0，则χw和qware均为阳性，如果β<0，则均为阴性。此外，根据等式。（8） ，（9），a和（10），我们得到→∞βNEX[对数Z（κ，X）]= 2.φβ=χw+qw，（25）。既然χwis接近0，那么当|β|→ ∞,我们得到了qw，max=√ακ+√κ- 1.α- 1，（26）qw，最小值=√ακ-√κ- 1.α- 1.（27）此处应注意四点。首先，当k=1时，投资集中度的两个边界是一致的，因此qw，max=qw，min=αα-1.

其次，最大投资集中度qw，max没有上限，而最小投资集中度qw，minhasa下限在κ=αα-1，因此qw，min=1。第三，文献中讨论的优化问题是目前工作中考虑的两个问题。当τ=qw，max，κ=（α+1）τ时-1.-2.√ατ（τ-1） α-1，因此每项资产的投资风险ε′=κε计算如下：ε′=ατ+τ- 1.- 2pατ（τ- 1） 。（28）我们注意到，这与我们之前的研究中获得的每项资产的最低投资风险一致【14，17】。也就是说，最大化投资集中度的W（κ）组合对应于inR（τ）组合=~W∈ 注册护士~wT~e=N，~wT~w=Nτ（29）这将投资风险降至最低。如果τ=qw，则minandκ=（α+1）τ-1+2√ατ（τ-1） α-1，则投资风险perassetε′）=κε为ε′）=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1） ；（30）这对应于参考文献中发现的每项资产的最大投资风险。[14，17]；也就是说，W（κ）中使投资集中度最小化的投资组合对应于等式（29）中R（τ）中使投资风险最大化的投资组合。第四点考虑了该投资策略的退火无序系统（有关退火和淬火无序s系统的详细解释，请参见se e【11】）。根据我们之前的研究【11，12】，退火无序系统的每项资产的最小预期投资风险为ε或=α，因此式（2）中的风险控制由nκε或=pXu=1EX替代。”~重量~ xu√N#=αNXi=1wi，（31），其中EX[xiuxju]=δij。由此，退火无序ed系统的可行portfoliosubset计算如下：WOR（κ）=（~ w∈ 注册护士N=~ wT ~ e，Nκα=αNXi=1wi）。（32）因此，投资集中度qORw的最大值和最小值相同：qORw=κ。（33）等式中的可行投资组合s ubs et W（κ）。

（3） 由投资组合w确定，其中squar-edMahalanobis距离的一半是一致的；请注意，马氏距离的度量单位由Wishartmatrix XXT定义，该矩阵由返回率矩阵X=nxiu得出√不∈ RN×p。然而，一般来说，由于该可行投资组合子集W（κ）不是各向同性的，因此最靠近原点的投资组合（使投资集中度最小化）和最远离原点的投资组合（使投资集中度最大化）是唯一确定的。然而，由于annea-led无序系统WOR（κ）的可行投资组合子集是各向异性的，这意味着最大和最小投资浓度是相同的。四、 数值实验为了评估我们提出的方法的有效性，我们分别对最大和最小投资集中度qw、max和qw、min进行了数值评估，并将结果与复制分析得到的结果进行了比较。我们使用Lagrange的待定乘子方法将等式（3）中的可行投资组合子集W（κ）替换为约束条件，拉格朗日方法L（~ W，k，θ）的目标函数定义如下：L（~ W，k，θ）=~ wT ~ W+k（N-~eT~w）+θ~wTJ ~ w- Nκε,（34）其中k，θ是辅助变量，Wishart矩阵J（=XXT）={Jij}的i，jth分量∈RN×NisJij=NpXu=1xiuxju。（35）为了确定投资集中度的最大值和最小值，有必要评估拉格朗日方法目标函数的最优解L（~ w，k，θ）。

我们使用了以下最速下降法：~ ws+1=~ ws- ηwL（~ w，k，θ） ~w、 （36）ks+1=ks+ηkL（~ w，k，θ）k、 （37）θs+1=θs+ηθL（~ w，k，θ）θ、 （38）其中，在步骤s，投资组合为~ws=（ws，ws，···，wsN）T∈ r辅助变量为ks，θs∈ R同时，~ w=~ e，k=θ=1。当ηk，ηθ，ηw>0时，我们可以确定最小值，当ηk，ηθ，ηw<0时，我们可以确定最大值。停车条件是 =PNi=1 | wsi- ws+1i |+| ks- ks+1 |+|θs- θs+1 |小于δ。由此，我们得到M个返回率矩阵es，X，····，XM，其中，第M个返回率矩阵为XM=nxmiu√不∈ RN×p，特别是风险系数κ，使用qw，max（κ，Xm）和qw，min（κ，Xm），使用上述算法估计。它们的计算如下：qw，max（κ）=MMXm=1qw，max（κ，Xm），（39）qw，min（κ）=MMXm=1qw，min（κ，Xm），（40），其中资产i的收益率xmiu以零均值和单位方差独立且独立地分布。我们用以下参数进行了数值实验：N=1000，p=3000，α=p/N=3，ndM=10。在寻求最小值时，我们使用δ=10-5，ηk=10-1，ηθ=10-5，且ηw=10-1，当求最大值时，我们使用ηk=-10-1，ηθ=-10-5和ηw=-10-1、replic a分析和数值实验的结果如图所示。1和2。横轴表示投资集中度qw，纵轴表示风险系数κ。实线是复型分析的结果（等式（26）和（27）），带有err或条形的立体图是数值模拟的结果（等式（26））。