存在方向可预测性时的计时：最佳停止

运动报酬的非负性意味着E-^rτg（Xτ）= Exhe公司-（^r-r） τ-rτg（Xτ）i≤ Ex公司E-rτg（Xτ）对于所有x∈ R、 证明递增贴现会降低最优保单的价值，因此不会扩大延续区域。为了分析偏度对最优定时策略值的影响，我们注意到使用（2）表示可测函数h:R 7→ R屈服强度[h（Xt）]=E[h（x+Wt）]+（2β-1） Z∞√2πte-（| x |+y）2t（h（y）- h类(-y） ）如果存在预期。因此，对于非递减h，它认为βEx[h（Xt）]=2Z∞√2πte-（| x |+y）2t（h（y）- h类(-y） ）dy≥ 0。（11）考虑函数序列{Fn}n≥0感应定义（参见[38]，第121-12页2）byF（x）：=g（x）Fn+1（x）：=支持≥0ExE-rtFn（Xt）.然后Fn+1（x）≥ Fn（x）表示所有x和n。此外，x 7→ Fn（x）对于每n是非递减的，因为假设g是非递减的，并且期望保持序。因此，IncreasedSkowness不会将其预期值减少（11）。另一方面，sinc e fn沿点方向收敛到V（参见[38]，第121页的引理5）。我们注意到，增加的偏度会增加或保留不变的V，从而扩展延拓区域。不等式（10）随后设置β=1/2。提案4.3表明，增加的倾斜度与最佳运动策略值之间的关系为正。这一结果从直觉上看是清楚的，因为它本质上表明，向上漂移的可能性越大，r越大，这是等待更有利的状态产生更高回报的值。值得强调的是，对于偏度和值的依赖性的正性，不需要正偏度，只要β∈ [0，1]。

命题4.3还表明，较高的折扣通过降低未来支付的预期现值来加速理性行使。在说明我们关于单停边界的主要结果之前，我们引入了可微分函数F（LψF）（x）：=ψr（x）s′（x）ddxF（x）ψr（x）=eθx（F′（x）- θF（x））+（2β- 1） e类-θx（F′（x）+θF（x））, x>0，（1- β） eθx（F′（x）- θF（x）），x<0，（12）和（LДF）（x）：=Дr（x）S′（x）ddxF（x）Дr（x）=βe-θx（F′（x）+θF（x）），x>0，E-θx（F′（x）+θF（x））- （2β- 1） eθx（F′（x）- θF（x））, x<0。（13） 回想一下，如果F是X的r次幂函数，那么LψF和LДF与F的相应度量相关联（关于过度函数的精确表征和积分表示，请参见[11]，第3页，[35]（3.3）位置和[37]定理2.4）。在命题4.4和命题n 4.6的证明中，我们使用表示理论来验证所提出的值函数的超越性。提案4.4。（A）让x*∈ M、 然后(-∞, 十、*) \\M C、 （B）假设M={x*}, 其中x*> 0，并且除了（g1）和（g2）之外，rewardfunction g还具有以下属性（i）g∈ C（[x*, ∞)) i、 例如，g在[x]上连续可差两次*, ∞),（ii）g′（x）- 2rg（x）≤ 0表示所有x≥ 十、*.然后，τx*= inf{t≥ 0:Xt≥ 十、*} 是最佳停止时间，该值读取为asV（x）=ExE-rτx*g（XτX*)=g（x），x≥ 十、*,ψr（x）g（x*)ψr（x*), x<x*.（14） 证明。（A） 让x∈ (-∞, 十、*) \\ M、 很明显，由于x 6∈ MV（x）≥ Ex公司E-rτx*g（XτX*)= ψr（x）g（x*)ψr（x*)> g（x）（15）证明x∈ C也是。（B） 设V表示（14）右侧的建议值函数。SinceV（x）：=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）,我们发现V≥V。为了证明V=~V，我们应用引理3.2，并确定~V是g的一个r-过大的主要变量*∈ M立即▄V（x）≥ g（x）表示所有x∈ R（参见（15））。

为了证明￠V的过度性，我们使用了过度函数的表示理论（参见[35]）。设x>x*因此g（x）>0并定义映射H:R 7→ R+作为H（x）：=▄V（x）/▄V（x）=▄V（x）/g（x）。此外，设x≥ xσHx（（x，∞]) :=βψr（x）θg（x）νr（x）~V′（x）- Д′r（x）~V（x）=ψr（x）θg（x）（LДg）（x）（16）和x≤ xσHx([-∞, x） ）：=βДr（x）θg（x）ψ′r（x）~V（x）- ψr（x）~V′（x）=-νr（x）θg（x）（Lψg）（x），x∈ （十）*, x] ，0，x≤ 十、*.（17） 我们现在表明，这些定义在[-∞, +∞]. 首先，根据g的单调性和非负性，我们得到g′（x）+θg（x）≥ 0.因此，（LДg）（x）≥ 0对于所有x≥ 十、*, i、 e.，σHx（（x，∞]) ≥ 0表示所有x≥ x、 此外，根据假设（i）和（ii）（LДg）′（x）=（g′（x）- 2rg（x））Дr（x）β≤ 0对于所有x≥ 十、*意味着x 7→ σHx（（x，∞]) 是非递增的。其次，由于x*∈ 我们有（Lψg）（x*) = 假设（i）和（ii）保证（Lψg′（x）=（g′（x）- 2rg（x））ψr（x）β≤ 0，因此，（Lψg）（x）≤ 0表示所有x≥ 十、*, i、 e.，σHx([-∞, x） （）≥ 0表示所有x≤ x、 和x 7→σHx([-∞, x） ）是非递减的。第三，根据Wronskian的定义，我们得到了σHx([-∞, x） ）+σHx（（x，∞])=ψr（x）θg（x）g′（x）S′（x）Д（x）-Д′（x）S′（x）g（x）-Дr（x）θg（x）g′（x）S′（x）ψ（x）-ψ′（x）S′（x）g（x）=θψ′（x）S′（x）Дr（x）-Д′r（x）S′（x）ψ（x）= 现在将上述三个步骤结合起来，并设置σHx（{x}）=0，表明σHx构成[-∞, +∞]. 因此，σhxin通过Martin表示法引入了一个与H重合的递推函数（参见[11]，第33页和[35]）。由于▄V（x）=▄V（x）H（x），建议的值▄V也过大。调用引理3.2完成了证明。备注4.5。（B）部分的结论在较弱的假设下也有效：（i）g∈ C（[x*, ∞)),（ii）LДg和Lψg在[x]上不增加*, ∞).在命题4.4的证明中，可以看出σhxin在[-∞, +∞].实际上，σHx({-∞}) = 0和σHx({+∞}) = 0

事实上，第一句话是从（17）开始的。第二个在if limx之后→+∞（LДg）（x）=0（参见（16））。为了验证这一点，回顾命题4.4的证明，（Lψg）（x）≤ 0表示x>x*, 因此，g′（x）≤ψ′r（x）ψr（x）g（x）=eθx- （2β- 1） e类-θxeθx+（2β- 1） e类-θxθg（x）≤ θg（x）。因此，对于x≥ x（LДg）（x）=β（g′（x）+θg（x））eθx≤ 2βθe-θxg（x）。（18） 因为limx→∞E-θxψr（x）=1，假设limx→∞g（x）/ψr（x）=0我们有σHx({∞}) = 林克斯↑∞σHx（（x，∞]) = 0，如所述。命题4.4的（A）部分展示了如何利用比率g/ψrcan来刻画连续区域的子集。这些发现的一个有趣含义是(-∞, inf M） C、 因此，如果最大化阈值x*在比率g/ψris负、唯一、an中，运动支付是增加的，并且在原点处是可微的或局部凸的，那么连续区域必须包含这两个集合(-∞, 十、*) 以及一个开放的起源社区。这一结果很好地说明了与倾斜点处潜在差异的奇异性相关的复杂性。正如我们稍后将观察到的，这种现象甚至出现在分段线性奖励函数中。命题4.4的第（B）部分依次陈述了一组条件，在这些条件下，一般的最佳时机问题构成了一个标准的单一练习边界问题，其中基础过程在达到临界阈值x时立即停止*> 0时，比率g/ψRis最大化。第（B）部分的结果自然可以扩展到最大化阈值为负的情况，即x*< 0

然而，从命题4.1中可以清楚地看出，在这种情况下，行使支付必须在斜交点附近保持不变，因为从另一方面来说，原点不能属于停止集。关于x的主要结果*< 0现在总结在以下命题中。提案4.6。假设M={x*}, 其中x*< 0，且除条件（g1）和（g2）外，行使支付满足条件（i）g∈ C（[x*, ∞)),（二）（1）-β） θe-θx*g（x*) > βg′（0）>0，（iii）g′（x）- 2rg（x）<-ε表示所有x≥ 十、*有些ε>0。然后，方程组（Lψg）（x）=（Lψg）（y）（LДg）（x）=（LДg）（y）（19）具有唯一解y*= （y）*, Y*) 这样y*∈ （十）*, 0）×（0，∞). 此外，τ*= inf{t≥ 0:Xt∈ A} A=[x*, Y*] ∪ [是*, ∞) 是最佳停止时间，值为asV（x）=g（x），x∈ [x*, Y*] ∪ [是*, ∞),g（x*)ψr（x）ψr（x*), 十、∈ (-∞, 十、*),g（y*) Exhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i+g（y*) Exhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i、 x个∈ （y）*, Y*),（20） whereExhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i=Дr（x）ψr（y*) - ψr（x）Дr（y*)ψr（y*)^1r（y*) - ^1r（y*)ψr（y*)Exhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i=ψr（x）Дr（y*) - ψr（x）ψr（y）*)ψr（y*)^1r（y*) - ^1r（y*)ψr（y*).证据我们首先确定方程组（19）具有唯一解y*∈ （十）*, 0）×（0，∞).为了完成这项任务，我们首先观察到（19）可以用（12）和（13）表示为（1）- β） （q（x）+q（x））=β（q（y）+q（y））q（x）- q（x）=q（y）- q（y），（21），其中q（x）：=eθx（g′（x）- θg（x））和q（x）：=e-θx（g′（x）+θg（x））。现在考虑函数h：=q+q和h：=q的行为- q、 自x起*< 0和（Lψg）（x*) = 0从（12）到q（x*) = 0，因此h（x*) = -h（x*) = E-θx*2θg（x*) > 此外，h（0）=2g′（0）>0，h（0）=-2θg（0）<0，且h′（x）=（eθx+e-θx）（g′（x）- 2rg（x））（22）h′（x）=（eθx- E-θx）（g′（x）- 2rg（x））。（23）我们的假设（iii）保证所有x>x的h′（x）<0*.

以完全类似的方式，我们发现，对于x>0，h′（x）<0，对于x，h′（x）>0∈ （十）*, 0）。此外，如果x>z>0，则应用标准中值定理yieldsh（x）- h（z）=Zxz（eθt+e-θt）（g′（t）- 2rg（t））dt=（g′（ξ）- 2rg（ξ））θ（eθx- E-θx）- （eθz- E-θz）证明limx→∞h（x）=-∞. 以类似的方式，我们发现limx→∞h（x）=-∞也现在考虑给定的x∈ [x*, 0]方程h（yx）=h（x），其中yx∈ [0，∞). h（x）在原点的连续性意味着x=0时，y=0。反过来，利用（23）意味着对于所有x∈ （十）*, 0）存在唯一的▄yx∈ （0，yx*) 满足h（~yx）=h（x）（s自h（x）起）↓ -∞ 作为x↑ ∞). 隐式差异产生y′x=h′（x）h′（~yx）<0。考虑给定x的下一步∈ [x*, 0]方程l（x）=l（^yx），其中l（x）=βh（x），x>0，（1- β） h（x）、x<0和^yx∈ [0，∞). h（x）的单调性意味着l（x）在（x）上单调递减*, 0）∪ （0，∞). 此外，sincel（0+）- l（0-) = βh（0）- （1）- β） h（0）=（2β- 1） 2g′（0）>0，l（x*) - l（0+）=2（1- β） θe-θx*g（x*) - βg′（0））>0和l（x）↓ -∞ 作为x↑ ∞ 我们注意到必然存在唯一的^x∈ （十）*, 0）因此l（^x）=l（0+，因此，使得^y^x=0。另一方面，因为l（x）<0 forx>l-1（0）我们注意到有一个唯一的^y∈ （0，l-1（0））这样的时间l（^y）=l（0-). 此外，隐式差异产生^y′x=（1- β） h′（x）βh′（^yx）>0。综合这些发现，y=0<和yx*> y^x>0=^y^x.解曲线的连续性和单调性x 7→ yx和x 7→ ^yx，x∈ （十）*, 0）然后证明他们有唯一的拦截点x**∈ （^x，0）使得yx**= ^yx**因此，使（21）成立。我们现在证明（20）构成值和τ*（6）的最优停车策略。最后，让▄V表示（20）右侧的建议值函数，y*:= 十、**和y*:= yx**= ^yx**.

很明显，V≥V。为了证明逆不等式，我们首先注意到▄V是连续且非负的。为了证明￠V是r-过量，请将x>y*并确定映射^H:R 7→ R+as^H（x）：=V（x）/V（x）=V（x）/g（x。与命题4.4的证明一样，定义x≥ xσ^Hx（（x，∞]) :=ψr（x）θg（x）（LДg）（x）和x≤ xσ^Hx([-∞, x） ）：=Дr（x）θg（x）~V（x）d-ψrdS（x）- ψr（x）d-VdS（x）=-νr（x）θg（x）（Lψg）（x），x∈ （y）*, x] ，则，-νr（x）θg（x）（Lψg）（y）*), 十、∈ （y）*, Y*],-νr（x）θg（x）（Lψg）（x），x∈ （十）*, Y*],0，x∈ (-∞, 十、*],式中，恒等式（Lψg）（y*) = （Lψg）（y）*) 已使用。我们现在表明，这些定义在[-∞, +∞]. 首先，练习payoff g的单调性和非负性意味着g′（x）+θg（x）>0，因此，从（13）（Lνg）（x）≥ llx为0≥ Y*, i、 e.，σ^Hx（（x，∞]) ≥ x为0≥ x、 此外，（LДg′（x）=β（g′（x）- 2rg（x））~nr（x）<0所有x∈ [x，∞) 意味着x 7→ σ^Hx（（x，∞]) 是非增量的。其次，因为（Lψg）（x*) =0和（Lψg）′（x）=β（g′（x）- 2rg（x））ψr（x），x∈ （0，∞),（1）- β） （g′（x）- 2rg（x））ψr（x），x∈ （十）*, 0），（24）通过应用假设（iii）Lψg减且在（x）上为负*, ∞). 因此，x 7→ σ^Hx([-∞, x） ）对于x为非负且非递减≤ x、 第三，我们应该检查σ^Hx([-∞, x） ）+σ^Hx（[x+∞]) = 1，但这与利用沃伦斯基关系的命题4.4的证明类似。这就得出了∑^hx构成概率测度的证明[-∞, + ∞]. 概率测度σ^hx通过Martin r表示引入了一个与^H一致的r-exc递推函数（参见[11]，第33页和[35]）。由于▄V（x）=▄V（x）H（x），我们发现提议的值▄V（x）也是r-excessive。仍需证明▄V支配着执行支出。很明显▄V≥ g代表allx∈ (-∞, Y*] ∪ [是*, ∞).

因此，有必要分析差异（x） ：/V（x）- g（x）在（y）上*, Y*). 请注意（y）*) = （y）*) = 0、应用[35]中的公式（3.4），其中我们选择性别=y*结果为▄V（x）▄V（x）=σ^Hx([-∞, x） ）^1r（y）*)Дr（x）+σ^Hx（（x，∞])ψr（y*)ψr（x），x∈ （y）*, Y*).自σ^Hx（[y*, Y*]) = 0该表达式简化并产生▄V（x）=g（y*)-^1r（y*)θg（y*)（Lψg）（y）*)Дr（x）Дr（y*)+ g（y*)ψr（y*)θg（y*)（Lхg）（y）*)ψr（x）ψr（y*)= -（Lψg）（y）*)θДr（x）+（LДg）（y*)θψr（x）。此外，利用（24），假设（iii），并注意到DDX（x） ψr（x）=S′（x）ψr（x）（（Lψg）（y*（一）- （Lψg）（x））对于x∈ （y）*, 0）∪（0，y*) 显示/ψris在（y）上增加*, 0）因此（x） >0表示所有x∈ （y）*, 0）。以完全类似的方式，我们发现（x） /ψr（x）为x递减∈ （0，y*) 因此（x） >0表示所有x∈ （0，y*) 也的连续性 然后证明（x） >0表示所有x∈ （y）*, Y*) 因此，建议的d值V支配着运动支付。我们现在可以调用引理3.2来完成对建议的证明，备注4.7。命题4.6的结论来自于超越映射的一般性质及其表示度量，因此，除了斜交点的奇异性和驱动过程的生成器之外，不需要详细的过程特定信息。在这方面，即使在比SBM设置更一般的情况下，开发的证据也适用。正如命题4.6的证明所表明的，在某些情况下，当下边界x*= Y*构成价值的一个切入点。下面的推论陈述了这一观察结果成立的一组条件。推论4.8。假设M={x*, Y*}, 其中x*< 0<y*. 还假设命题4.6的条件（i）-（iii）满足。

那么Γ={x*} ∪ [是*, ∞), C=(-∞, 十、*) ∪ （十）*, Y*),和值isV（x）=g（x），x∈ {x*} ∪ [是*, ∞),ψr（x）g（y*)ψr（y*), 十、∈ (-∞, 十、*) ∪ （十）*, Y*).（25）证明。该声明是第4.4条和第4条提案（a）部分的直接含义。6.5明确说明我们的目标是通过假设运动奖励读数为s g（x）：=（x+K）+，K>0来明确说明第4节中的主要结果。回想一下，M表示比率g/ψr的最大点集，参见（7）。我们关于价值和最优停车策略的主要结果如下：命题5.1。对于所有β∈ （1/2，1）且K>0存在一个满足等式β+βln的唯一临界贴现率^r=^r（β，K）β+qβ+（2β- 1） e2级(√2^rK-（1）=qβ+（2β- 1） e2级(√2^rK-1） 。（26）此外，^r作为β的函数而增加。（A） 假设r<^r.那么，M={x*} 带x*> 0、最优停车策略为τ*= inf{t≥ 0:Xt≥ 十、*} 该值如（14）所示。（B） 假设r=^r。那么M={x*, 十、*}, 其中x*> 0和X*=θ- K<0。（27）最优停车策略为τ*= inf{t≥ 0:Xt∈ {x*} ∪ [x*, ∞)} 该值如（25）所示。（C） 假设r>^r。那么，M={x*} 其中x*如（27）所示。最佳停止策略为τ*= inf{t≥ 0:Xt∈ [x*, Y*] ∪ [是*, ∞)}, 其中（y*, Y*) ∈ （十）*, 0）×（0，∞) 构成方程s系统（19）的唯一解，其值如（20）所示。证据在接下来的内容中，我们将展示上述三种不同的情况（A）-（C），并与命题4.4、推论4.8和命题4.6中描述的情况相对应，这取决于关键参数β、r和K的精确大小。我们首先提供任何β的值∈ （1/2，1）和K>0方程（26）有唯一解^r。

为此，fixk>0，并考虑θ>0和β∈ [1/2，1]函数c（θ，β）：=β+βlnβ+qβ+（2β- 1） e2（θK-（1）-qβ+（2β- 1） e2（θK-1） 。标准差异屈服强度cθ（θ，β）=-（2β- 1） e2（θK-1） Kβ+pβ+（2β- 1） e2（θK-1） <0（28）Cβ（θ，β）=1+lnβ+qβ+（2β- 1） e2（θK-（1）+β-pβ+（2β- 1） e2（θK-1） 2β- 因此，从（28）开始，C作为θ的函数单调递减。尤其是对于所有β∈ （1/2，1）我们有c（1/K，β）=β+βlnβ+pβ+2β- 1.-pβ+2β-1>0，C（θ*, β） =βln公司β1- β-2β- 11- β< 0，其中θ*=1+lnβ1- βK> K.（30）调用C的单调性和连续性作为θ的函数，表明方程（26）有唯一的解，如所述。接下来我们展示β7→ ^r（β）正在增加。要了解情况确实如此，请考虑函数^θ：=√2^r，观察方程C（^θ，β）=0的隐式微分得出^θ′=-Cβ（^θ，β）Cθ（^θ，β）。（31）由于Cθ<0乘以（28），因此有必要沿解析曲线β7研究Cβ的符号→^θ（β）。自^θ<θ*和^θK-1<ln（β/（1- β） ，我们从（29）中得到，使用恒等式C（^θ，β）=0表示Cβ（^θ，β）=1- ββ（2β- （1）β1- β-qβ+（2β- 1） e2（^θK-（1）> 因此，从（31）和（28）可以得出^θ′>0，因此，^r在增加。我们现在开始证明（A）-（C）。根据我们的一般分析，我们知道我们应该考虑函数ur（x）的最大点：=（x+K）+ψr（x）=2β（x+K）eθx+（2β- 1） e类-θx，x>0，e-θx（x+K）+，x≤ 0、标准偏差yieldsl（x）：=ψr（x）u′r（x）=2βeθx（1- θ（x+K））+1.-2βE-θx（1+θ（x+K）），x>0，eθx（1- θ（x+K）），-K<x<0,0，x<-K、 我们立即通知如下l（0-) = 1.- θK，l（0+）=1-β- 1.θK，l（0+）- l（0-) =2β- 1βθK>0，且limx→∞l（x）=-∞. 此外，因为对于x>-Kl′（x）=-θ（x+K）2βeθx+1.-2βE-θx, x>0，-eθxθ（x+K），-K<x<0，根据θ、β和K的精确值，可能会出现两种不同的配置。