存在方向可预测性时的计时：最佳停止

Fir st，ifθK≤ 1，然后是l（0-) ≥ 0和l的单调性保证了urattains在x处有唯一的全局最大值*> 0满足普通一阶条件u′r（x*) = 0，等于θx*（1）- θ（x*+ K） ）+（2β-1） e类-θx*（1+θ（x*+ K） ）=0。（33）这种情况对应于命题4.4第（B）部分所描述的情况，因此，当θK≤ 1.其次，如果θK>1，则l(-K） =e-θK＞0与l的单调性(-K、 0）确保urattains在点X处达到局部最大值*=θ- K<0。如果l（0+）=1-β- 1.θK>0，则urattains在阈值x处出现局部最大值*> 0也令人满意（33）。但是，如果l（0+）≤ 0，那么l的单调性意味着x*构成urand的全局最大点M={x*}. 因此，在l（0+）>0的情况下，设置MHA最多为两个点。为了确定M={x的参数值*, 十、*} 我们考虑方程（x*) - ur（x*) = 0。（34）自u′r（x*) = u′r（x*) = 0它认为ur（x*) = 1/ψ′r（x*) 和ur（x*) = 1/ψ′r（x*). 因此，（34）与ψ′r（x）等价*)-ψ′r（x*)=2βθ（eθx*- （2β- 1） e类-θx*)-θeθK-1=0。（35）因此，M={x*, 十、*} 带x*> （33）中的0当且仅当x*satis（35），与E2θx相等*- 2βe1-θKeθx*- （2β- 1） =0（36），表示X*=θlnβe1-θK+qβe2（1-θK）+（2β- （1）. （37）将表达式替换为2β-1从（36）到（33）yieldseθx*= βe1-θK（1+θ（x*+ K） ）。（38）通过在（38）中应用（37），我们得出结论，M={x*, 十、*} 当且仅当β∈ 如权利要求所述，[1/2，1]和θ>0等于C（β，θ）=0。这证明了情况（B），以及（A）和（C），因为该值是r的非递增函数。备注5.2。对于β=1方程（26）和θ：=√2^r读数为1+ln1+q1+e2（^θK-（1）=q1+e2（^θK-1） ，唯一解由^θK给出≈ 1.64132。注意β7→ θ（β）将θ（β）的极限增加为β↓ 1/2存在。Asβ↓ 1/2，则必须x*in（37）趋向于0。

因此，limβ↓1/2θ（β）=1/K。因此，临界参数边界β7→ θ（β）是连接极值点（1/2，1/K）和（1，1.64132/K）的递增函数。当K=1时，如图1所示。在K=1和0的假设下，与最优ex-ercise策略相关的最优边界如图2中偏度参数β的函数所示。60.70.80.91。Β0.250.50.751.1.251.5Θ三边界问题单边界问题图1：临界边界；K=1r=0.95。从图中可以看出，只要偏度参数β保持在临界水平β以下，所考虑的停止问题就构成了一个三边界问题*在我们的参数假设下是β*≈ 0.7445。一旦偏度超过这个临界水平，问题就变成了一个单边界问题，决策者等待，直到底层达到最大化比率（x+K）+/ψr（x）的上限阈值。这一观察结果的原因很清楚：由于β的值非常低，通过等待并将时机决定推迟到未来，可获得的跨期收益将超过在原点附近立即行使的回报。随着偏度参数的增加，预计越来越多的偏移将结束于正方向，从而增加了等待更高回报的意愿。0.60.70.80.91。图2：最佳停车边界；K=1，r=0.95。在K=1和β=0.55的假设下，与最佳运动策略相关的最佳边界依次为图3中参数θ的函数。与偏态参数β的影响相反，较高的折扣会加速最佳时机，从而降低等待的动机。

因此，我们现在从图3中注意到，所考虑的问题仅在非集中度低于临界水平r时才构成单一边界问题≈ 0.5983。在这一临界水平以上，等待未来潜在的更高回报不再是所有状态下的最优选择，最优运动策略变成了三边界停止规则。0.60.70.80.91。r-0.3-0.2-0.10.1xx1*y1*y2*x*r`图3：最佳停车边界；K=1，β=0.55.6结论我们研究了一类SBM的最优停车问题。我们发现，由于歪斜点的存在而产生的局部方向性可预测性对基础差异的最优停止策略有着不平凡且有些令人惊讶的影响。更准确地说，我们创建了一组相对较弱的单调性条件，这些条件由一大类的exercisepayoff满足，在此条件下，斜交点总是包含在连续区域中。在这种情况下，在斜交点附近推迟理性练习总是值得的。这一发现的一个有趣的含义是，即使运动支付是线性的，这个问题也可能成为一个三边界问题。我们还分析了价值和最佳时机政策的相对静态特性，并确定价值是增加支付的倾斜度的n递增函数。根据这一观察结果，更高的偏度扩展了持续区域，从而增加了等待的动机。我们的分析可以向两个自然方向扩展。首先，考虑到偏态也可用于其他偏离布朗运动，考虑潜在偏离的奇异性如何在更一般的模式框架内影响最佳停止策略及其值，这自然是令人感兴趣的。

其次，考虑到最优停止与脉冲控制和基础变量控制问题之间的密切联系，研究偏度如何影响这些相关问题中的最优策略自然是有意义的。这两个扩展都超出了本研究的范围，有待于将来的研究。致谢：作者感谢S¨oren Christensen提出的建设性意见。参考文献[1]Alvarez E.，L.H.R.关于一类分歧的R-过度映射的性质，2003年，《应用概率年鉴》，131517–1533年。[2] Anatolyev，S.和Gospodinov，N.《通过分解建模财务回报动态》，2010年，《商业和经济统计杂志》，28232-245。[3] Anatolyev，S.和Gerko，A.《预测性测试的交易方法》，2005年，《商业和经济统计杂志》，23455–461。[4] Appuhamillage，T.、Bokil，V.、Thomann，E.、Waymire，E.和Wood，B.《斜布朗运动的职业和当地时间及其在界面分散中的应用》，2011，《应用概率年鉴》，21，2050–2051。[5] Appuhamillage，T.和Sheldon，D.《斜布朗运动的首次通过时间》，2012年，《应用概率杂志》，49685-696。[6] Barlow，M.《斜布朗运动与一维随机微分方程》，1988年，《随机学》，25，1–2。[7] Beibel，M.和Lerche，H.R.《关于随机贴现下规则差异最优停止的说明》，1997年，中国统计局，7，93–108。[8] Beibel，M.和Lerche，H.R.《关于随机贴现下规则差异最优停止的说明》，2001年，《概率理论及其应用》，45547–557。[9] Bekiros，S.D.和Georgoutsos，D.《金融资产回报的非线性动力学：CBOE波动率指数的预测力》，200 8，《欧洲金融杂志》，14397–408。[10] Be kiros，S.D.和Georguotsos，D。

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