存在方向可预测性时的计时：最佳停止

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英文标题：
《Timing in the Presence of Directional Predictability: Optimal Stopping
  of Skew Brownian Motion》
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作者：
Luis H. R. Alvarez E. and Paavo Salminen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We investigate a class of optimal stopping problems arising in, for example, studies considering the timing of an irreversible investment when the underlying follows a skew Brownian motion. Our results indicate that the local directional predictability modeled by the presence of a skew point for the underlying has a nontrivial and somewhat surprising impact on the timing incentives of the decision maker. We prove that waiting is always optimal at the skew point for a large class of exercise payoffs. An interesting consequence of this finding, which is in sharp contrast with studies relying on ordinary Brownian motion, is that the exercise region for the problem can become unconnected even when the payoff is linear. We also establish that higher skewness increases the incentives to wait and postpones the optimal timing of an investment opportunity. Our general results are explicitly illustrated for a piecewise linear payoff.
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中文摘要：
我们研究了一类最优停止问题，例如，当基础服从斜布朗运动时，考虑不可逆投资时机的研究。我们的结果表明，通过存在潜在的歪斜点来建模的局部方向可预测性对决策者的时间激励有着不平凡且有些令人惊讶的影响。我们证明了对于一大类的锻炼收益，等待在斜交点总是最优的。这一发现的一个有趣的结果与依赖于普通布朗运动的研究形成了鲜明的对比，即即使回报是线性的，问题的运动区域也可能变得不相连。我们还发现，更高的偏度会增加等待的动机，推迟投资机会的最佳时机。我们的一般结果是明确说明了分段线性回报。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Timing_in_the_Presence_of_Directional_Predictability:_Optimal_Stopping_of_Skew_B.pdf (280.09 KB)

2022-5-25 14:07:51 上传

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关键词：预测性 Mathematical Quantitative Applications Differential

方向可预测性存在时的计时：斜布朗运动的最优停止Luis H.R.Alvarez E。*Paavo Salminen+2018年9月6日摘要我们研究了一类最佳止损问题，例如，当标的遵循斜布朗运动时，考虑不可逆投资时机的研究。我们的结果表明，由潜在的歪斜点的存在所建模的局部方向可预测性对决策者的计时激励有着不平凡且有些令人惊讶的影响。我们证明，对于一大类运动回报，在s kewpoint等待总是最优的。这一发现的一个有趣结果与依赖于普通布朗运动的研究形成鲜明对比，即即使当回报是线性的，问题的运动区域也可能变得不相关。我们还发现，更高的偏度会增加等待的动机，并推迟投资机会的最佳时机。对于分段线性支付，我们的一般结果得到了明确的说明。AMS主题分类：60J60、60G40、62L15关键字：斜布朗运动、最优停止、过度函数、不可逆投资、Martin表示*芬兰图尔库大学图尔库经济学院会计与财务系，Fin-20014，电子邮件：luis。alvarez@tse.fi+芬兰阿博阿卡迪米大学科学与工程学院，FIN-20500阿博，邮箱：paavo。salminen@abo.毫无疑问，标准布朗运动构成了驱动金融模型中潜在随机性的因子动力学最常用的模型。

它的分析可处理性和计算能力使其成为一个引人注目的模型，具有许多令人满意的特性，从其元素的独立性到其概率分布的高斯性。不幸的是，对于许多基本回报变量，驱动动力的自相关和/或概率分布的偏斜构成了一个规则，而不是一个例外。因此，在这种情况下，依赖简单的高斯结构可能会导致有关估值和投资机会时机的错误结论。与标准高斯框架相比，最近的实证研究表明，尽管资产的确切价值不可预测，但资产价值的预期发展方向在某种程度上可能是可预测的（参见，例如，[3]、[2]、[9]、[10]、[13]、[15]、[16]、[30]、[34]、[39]）。更准确地说，将资产回报率表示为其符号和绝对值的乘积，并分别研究这些因素的行为表明，捕获回报率方向性行为的符号变量可以正确预测，准确率在52%到60%之间（最近一项专注于方向可预测性的研究调查，请参见[25]）。这种经验观察在理论金融研究中并没有被完全忽视，它导致了对驾驶动力学的介绍和分析，至少具有在金融数据中遇到的偏斜和局部（空间）预测特性。提出的建模方法之一是基于一般的斜B-rownian运动和斜扩散过程（参见[17]、[20]、[21、22]和[33]）。

基本上，斜布朗运动的行为类似于原点以外的普通布朗运动（例如，参见[4]、[5]、[6]、[11]、[12]、[24]、[26]、[27]、[28]、[31]、[40]、[41]）。然而，在原点，这个过程更倾向于向上移动，比如说，向上移动，而不是向下移动，从而导致从原点开始的正偏移量大于负偏移量。通过这种方式，它为驱动

这种配置不能出现在依赖标准BM的模型中。我们还证明，最优政策价值的依赖性和潜在差异的严重性的迹象是积极的。因此，偏斜度越大，最优策略的值越大，延续区域越大。这一观察结果的一个有趣含义是，正偏斜BM的最佳停车策略值支配标准BM的相应值。本研究的内容如下。第2节讨论了基本动力学的基本性质，即斜布朗运动。第3节介绍了考虑到的停止问题和一些关键事实。第4节总结了我们关于斜布朗运动最优停止的主要发现。这些结果在第5节中的显式参数化分段ise线性模型中进行了数值说明。最后，第6节总结了我们的研究。2基本动力学：倾斜布朗运动我们的主要目标是研究潜在方向不对称的潜在差异如何影响最佳运动策略及其价值。为了完成这项任务，我们假设潜在的扩散过程是一个斜布朗运动（从现在起缩写为SBM），其特征是SDE的唯一强解（参见[24]）Xt=x+Wt+（2β- 1） lXt，（1）其中x∈ R是过程s的初始值，β∈ [0，1]是一个捕捉过程s，{Wt}t的偏度的参数≥0是标准布朗运动且{lXt}t≥0是进程{Xt}t的本地时间为零≥0根据Lebesgue度量标准化。从（1）中可以清楚地看到，进程{Xt}t≥0当β=1/2时与标准布朗运动结合，当β=0或β=1时与反射布朗运动结合。

进程{Xt}t≥0的行为类似于斜交点0外的普通布朗运动，并且对于所有t>0，都具有属性P[Xt≥ 0]=β（参见[11]，第130页）。因此，当β>1/2时，该过程从原点向上移动的趋势大于向下移动的趋势。此外，利用已知的跃迁概率密度（参见，例如，[11]，p.130或[27]，p.420）Px[Xt∈ dy]=√2πte-（十）-y） 2t+（2β- 1） sgn（y）√2πte-（| x |+| y |）2tSBM yieldsEx的dy，（2）【Xt】=x+2（2β- （1）√tφ|x个|√T- 2（2β- 1）| x |Φ-|x个|√T, （3） 其中Φ是标准的单变量正态分布函数，φ是其密度。设置x=0 in（3）yieldsE[Xt]=（2β- 1） r2tπ。力矩生成函数依次读取asExeλXt= eλx+λt1+（2β- 1） e类-λ（| x |+x）Φλt- |x个|√T- （2β- 1） eλ（| x|-x） Φ-λt+| x|√T.X的标度函数和速度度量由s（X）给出=x/β，x≥ 0，x/（1）- β） ，x≤ 0，andm（dx）=2βdx，x>0,2（1- β） dx，x<0。S（x）的事实→ ±∞ 作为x→ ±∞ 意味着t X是连续的。最后，与X相关的递增和递减基本解是（参见[11]，第130页）ψr（X）=eθX-1.-2βeθx- E-θx+=2βeθx+1.-2βE-θx，x≥ 0，eθx，x≤ 0，（4）和Дr（x）=e-θx+2β- 12（1- β） （e）-θx- eθx）+=E-θx，x≥ 0,2（1-β）（1）- 2β）eθx+e-θx, 十、≤ 分别为0，（5），其中θ=√2r是关于标度函数的基本解的所谓Wronskian。

很容易看出，ψrandνrare相对于Severywhere（也在0）是可微的，但在0.3的问题设置和一些初步结果下，这不是一般意义上的。我们的任务是研究β>1/2的SBM X的偏度和由此产生的潜在位置方向可预测性如何影响最佳停车问题（OSP）中的值和最佳运动策略：找到停车时间τ*这样V（x）：=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）= Exhe公司-rτ*g（Xτ*)i、 （6）如果r>0表示普遍的分离率，则T是关于X和g所产生的自然过滤的所有停止时间集：r 7→ R+是令人满意的运动奖赏：（g1）g是连续的、非递减的、非负的，并且有明确的左右导数，（g2）limx→∞g（x）/ψr（x）=0和limx→-∞g（x）/ψr（x）=0。在（6）中，我们使用的约定是，如果τ（ω）=∞ thene公司-rτ（ω）g（Xτ（ω）（ω））：=lim supt→∞E-rtg（Xt（ω））。正如关于最优停车的文献所知，V是g的最小r-过量主值（参见[38]第124页的定理1）。通常，我们将Γ：={x:V（x）=g（x）}称为停止区域，将C：={x:V（x）>g（x）}称为连续区域。LetM：=argma xx∈R{g（x）/ψR（x）}（7）表示比率g/ψris最大化的点集。我们现在可以证明如下：引理3.1。最优策略的值是有限的，即V（x）<∞ 对于所有x∈ R、 并且停止区域是非空的，即Γ6=.证据假设（g1）和（g2）保证最大化器M的集合是非空的。因此，对于所有x∈ R它认为v（x）=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）ψr（Xτ）ψr（Xτ）≤ 苏比∈Rg（y）ψr（y）supτ∈特克斯E-rτψr（Xτ）≤ ψr（x）supy∈Rg（y）ψr（y）。（8） 对于（8）中的最后一个不等式，我们使用了自{e-rtψr（Xt）}t≥0是一个正的超级鞅。这证明V（x）<∞ 对于所有x∈ R

为了表明Γ6= 让x*∈ M和利用（8）获得V（x*) ≤ ψr（x*)g（x*)ψr（x*)= g（x*)证明x*∈ Γ。接下来，我们使用结果d来验证候选策略是否是最优的。这基本上是第124页【38】中的科罗·拉里。我们给出了可读性和完备性的证明。引理3.2。让A I是I和τa的非空Borel子集：=inf{t≥ 0:Xt∈ A} 。假设函数^V（x）：=ExE-rτAg（XτA）是r-过量且支配g。那么，V=^V和τAis是最佳停止时间。此外，几乎可以肯定τ是有限的。证据显然，τA<∞ 几乎可以肯定，因为X是循环的，而A是非空的。根据V的定义，它适用于所有xV（x）=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）≥ Ex公司E-rτAg（XτA）=^V（x）。另一方面，^V是g yieldsV（x）=supτ的r-超常量∈特克斯E-rτg（Xτ）≤ supτ∈特克斯-rτ^V（Xτ）i≤^V（x）。因此，V=^V和τAis是最佳停止时间。在许多最优停止问题中，引理3.2中的集合A是用来解释术语“停止集”的。这也是我们的子序列分析中的主要内容，我们在子序列分析中建立了最优停止规则等于τ的条件。4主要结果（6）类典型的最优停止问题可以通过利用变分不等式和利用与基础微分发生器相关联的微分算子的方法进行非常有效的研究。不幸的是，由于在斜交点处存在涉及当地时间项的额外漂移分量，这些方法在BM中的使用具有挑战性，请参见SDE（1）。为了避免这个问题，我们首先关注r-过量函数的一般性质，并刻画了斜交点（即理论原点）位于连续区域的一般条件。提案4.1。假设0≤ g′（0-) < g′（0+）或0<g′（0-) ≤ g′（0+）。

然后，对于β>1/2的BM，对于连续区域C={x：V（x）>g（x）}中的所有r>0，st ate 0。证据由于ψrandИrare在任何地方都可以对尺度函数S进行微分，因此任何r-过量函数h都具有左、右尺度导数d-h/dS和d+h/dS分别满足所有x（参见[35]中的推论3.7）d-hdS（x）≥d+hdS（x）。（9） 设V为（6）中定义的值函数，回想一下，V是g的小部分。现在假设0∈ Γ。那么V（0）=g（0），并且因为V（x）≥ g（x）表示所有x∈ 对于δ>0V（0），我们有R- 五(-δ） S（0）- S(-δ）≤g（0）- g级(-δ） S（0）- S(-δ） 。让δ↓ 0产量SD-VdS（0）≤ （1）- β） g′（0-).类似地，对于δ>0V（δ）- V（0）S（δ）- S（0）≥g（δ）-g（0）S（δ）- S（0）超前，当δ↓ 0，tod+VdS（0）≥ βg′（0+）。因此，使用g，d上的假设-VdS（0）-d+VdS（0）≤ （1）- β） g′（0-) - βg′（0+）≤ （1）-2β）g′（0+）<0，因为β>1/2。但这与（9）相矛盾，因此与0.6相矛盾∈ Γ。备注4.2。1、在命题4.1的证明中，我们不依赖于BM的特殊性质，因此，可以将结论推广到所有适当定义的一般偏微分。2、命题4.1的结论也可以通过研究λ（x）：=g（x）λψr（x）+（1- λ） νr（x），其中λ∈ [0，1]。根据【14】0中的定理2.1∈ Γ当且仅当存在λ∈ [0，1]这样0∈ argmax{uλ（x）}。假设情况如此，则意味着u′λ（0+）≤ 0≤ u′λ（0-) 可显示符合要求βg′（0+）≤ （1）-β） g′（0-).

注意，在命题4.1的条件下，这种不平等无法得到满足，这表明0∈ C如所述。提案4.1基本上规定，如果运动支付在原点的某个小开放邻域内增加，则歪斜点始终包含在延续区域中。换言之，基本过程基因的方向可预测性激励人们在运动奖励局部增加时，在基本过程更倾向于向上移动而不是向下移动的状态下，在斜角点附近等待。由于在当前环境中，向上移动对决策者的个人观点更有利，因此，即使在没有偏斜的情况下执行是最佳的情况下，等待也是最佳的。这是一个有趣且不平凡的特性，由原点处的过程的奇异性生成。下面的命题4.3给出了价值和最佳练习策略的关键比较静态特性。值函数V作为β的函数是不递减的，作为r的函数是不递增的。因此，更高的偏度（贴现）会扩大（收缩）或改变延续区域。特别是，β>1/2的SBM的OSP值函数支配标准BM{Wt}t的相应OSP值≥0，即V（x）≥ J（x）：=supτ∈TE公司E-rτg（x+Wτ）（10） 因此，{x:J（x）>g（x）} C={x:V（x）>g（x）}。证据设^r>r>0和τ∈ 这不是一个任意的停止时间。