任意罕见事件的贝叶斯后验概率

根据命题1，存在γ>0，因此^p（Xn）≥ α/[2（n+γ）]。对于everyn>α/8，选择p（n）∈  p（n）=α/（8n）。设n=最大值（α/8，γ）。Ifn>n，然后α/[2（n+γ）]>2p（n），因此Pp（n）（| p（Xn）- p（n）|>p（n））=1。自lim supn起→∞ζ（n）/n=∞, 每N存在一个∈ N和N>N，含ζ（N）p（N）≥ N备注4中使用了以下结果。提案2。设K>2和'K∈ {1，…，K}。假设优先分布的密度π为 满足条件P（α，…，αK），α，αK>0。然后由映射（p，…，pK）7导出的图像度量→ （p'k，Pk6='kpk）具有满足条件p（α'k，Pk6='kαk）的密度。证据在不丧失一般性的情况下，假设'k=1。然后，图像测量值是关于归一化Lebesgue测量值的密度π= {q∈[0，1]：q+q=1}，由π（q）=ZA（q）π给出q、 p，主键-1，q-K-1Xk=2pkd（p，…，pK）-1） ，式中（q）={（p，…，pK-（1）∈ （0，1）K-2： p+···+pK-1<q}。更改变量t=（t，…，tK-1） =q-1（p，…，pK-1） 我们得到π（q）=qK-2ZA（1）πq、 qt，q1.-K-1Xk=2tkdtfor q∈ q>0时。由于π满足条件P（α，…，αK），因此在 使得∧π（p）=π（p）/QKk=1pαk-1K用于allp∈ 内景. 因此，对于q∈ 内景,π（q）qα-1q（PKk=2αk）-1=ZA（1）~πq、 qt，q1.-K-1Xk=2tkK-1Yk=2tαk-1公里1.-K-1Xk=2tkαK-1吨。每个q的积分都是正的∈ 并且，受支配的收敛，持续依赖于q∈ . 因此，π满足条件P（α，α+···+αK）。第3节中示例的证明。Examp l e 3的证明。让N∈ N、 对于每N≥ 最大（N，Nc）设p（N）=（Nn，1-Nn），q（n）=（Ncn，1-Ncn），θn=（p（n），q（n）），and an=n^p（Xn）≥c^q（Xn）o。我们将证明比所陈述的更多的东西，即Pθn（An）→ 0作为n→ ∞. 让yn表示前n个周期中蓝色模具落在1侧的次数。根据命题1，存在γ>0，因此^p（Xn）≤（Yn+γ）/（Bn+γ）。

对于everyn≥ 最大值（N，Nc）和b∈ {0，1，…，n}，通过引理4，Pθn（An | Bn=b）≤ PθnYn+γb+γ≥cp1∨ （n）- b）Bn=b！。如果b>nub，则c（b+γ）/（24p1∨ （n）- b） （）≥ D√n带d：=cuB/（48p1）- uB/2），然后是pθn（An | Bn=B）≤ Pθn（Yn≥ -γ+d√n | Bn=b）。为了将概率限制在右侧，我们对Yn的条件分布使用泊松近似。设Wν是平均值为ν的泊松随机变量。然后，Stein（1986），（43）在第89页，PθnYn公司≥ -γ+d√n | Bn=b≤ PWbp（n）≥ -γ+d√N+ p（n）≤ P西尼罗河≥ -γ+d√N+Nn。在第二行中，我们使用了Wn随机大于Wbp（n）的事实，因为n≥ bp（n），见Lehmann和Romano（2005），第67-70页。HencePθn（An）≤ PθnBn公司≤nuB+Xb：b>nuBPθn（An | Bn=b）Pθn（Bn=b）≤ PθnnBn公司≤uB+ P西尼罗河≥ -γ+d√N+Nn。作为n→ ∞ , P（WN≥ -γ+d√n）→ 0和，根据拉格数的弱定律，Pθn（nBn≤uB）→ 因此，Pθn（An）→ 0作为n→ ∞. 示例4的证明。让Ynand zn分别为前n个周期中蓝色和红色模具在1侧着陆的次数。根据命题1，存在γ>0，因此pθ^p（Xn）<c^q（Xn）≥ PθYn+γBn+γ<cZnn+γ≥ PθYn=0,6γc<BnnZn.对于每n∈ N带N≥ c pickθn=（p（n），q（n））∈ p（n）=Cn，q（n）=n。设u∈ （0，uB）和u∈ （uB，1）。那么，对于b=un, . . . , un,PθnYn=0,6γc<BnnZnBn=b≥ [1- p（n）]nPθn6γcu<ZnBn=un.现在[1- p（n）]n→ E-c> 0和Stein（1986），（43）第89页，Pθn6γcu<ZnBn=un≥ PW>6γcu-n、 其中W是平均值为1的泊松随机变量- u。亨塞利姆信息→∞PθnYn=0,6γc<BnnZnun≤ Bn公司≤ un> 0.自P（un≤ Bn公司≤ un）→ 1，因此存在>0和n∈ N sothatPθN^p（Xn）<c^q（Xn）> 对于所有n≥ n、 自ζ（p（n））/p（n）→ ∞ 作为n→ ∞, 每N存在一个∈ 南n≥ n含nζ（p（n））≥ N和θN为所需属性。第4节中辅助结果的证明。引理1的证明。设置l = d/（n）∧m） 。

根据马尔可夫不等式，对于每t＞0，（14）PTmm公司≥c′Snn+l= Pet（c′Tm-mnSn）≥ etc\'lM≤E[et（c′Tm-mnSn）]等\'lm、 我们将为t确定一个合适的值，以便期望值最多为1。设ξ和τ为伯努利变量，P（ξ=1）=P，P（τ=1）=q。然后（15）E[et（c′Tm-mnSn）]=E（etc′Tm）E（E-tmnSn）=[E（etc′τ）]m[E（E-tmnξ）]n.对于t>0和s∈ R letψt（s）=（1-s+秒（1）- cs+cse-t） 。自p起≥ cq，E（etc′τ）E（E-tξ）=（1- q+qec′t）（1- p+pe-t）≤ ψt（q）。ψt（0）=1，ψ′t（s）=2c（ec′t- 1） （e）-T- 1） <0，所以ψ是凹的。对于t：=（c′+1）-1log（c/c′），ψ′t（0）=ec′t- 1+c（e-T- 1） =中兴通讯-u[c′e（c′+1）u- c] du<0，因此ψt（s）≤ s为1≥ 因此，（16）E（ec′tτ）E（E-tξ）≤ 1、如果m≤ n、 然后利用李雅普诺夫不等式，[E（E-tmnξ）]n≤ [E（E-tξ）]m.将该不等式与（15）和（16）yieldsE[et（c′Tm-mnSn）]≤ [E（etc′τ）]m[E（E-tξ）]m≤ 1，因此，通过（14），PTmm公司≥c′Snn+l≤ E-tc′型lm级=c′cc′d/（c′+1）。如果m＞n，则Lyapunov不等式给出[E（etc′τ）]m≤ [E（etc′mnτ）]n.设置t=nmt，我们在这种情况下得到E[et（c′Tm-mnSn）]≤ [E（etc′mnτ）]n[E（E-tmnξ）]n≤ 1和soPTmm公司≥c′Snn+l≤ E-tc′型lm级=c′cc′d/（c′+1）。引理2的证明。我们将使用泊松近似来表示二项分布。如果Wν是均值ν>0的泊松随机变量，则P（Wν≤ M）→ 0asν→ ∞. 因此存在N∈ 所以P（Wν≤ M） N.ByStein（1986），（43），第89页，Pp（Sn≤ M）-P（Wnp≤ M） |≤ p、 因此，如果np≥ Nand p≤，然后是Pp（Sn≤ M）≤ 。特别是，对于p=和n=2N/, 我们有P/2（S2N/≤ M）≤ 。另一方面，如果p>和n≥ 2N/，然后是PP（Sn≤ M）≤ P/2（序号≤ M）≤ P/2（S）2N/≤ M）≤ ，其中我们使用了二项分布族在两个参数中随机递增的事实，参见Lehmann和Ro ma no（2005），第67-70页。权利要求如下，N=2N/。参考Dugundji，J.（1966）。拓扑结构。Allyn and Bacon，马萨诸塞州波士顿。Handelman，D.（1988年）。

用正线性函数表示凸多面体上的多项式。Paci fic J.数学。132 35-62。Lehmann，E.L.和Romano，J.P.（2005）。检验统计假设，第三。斯普林格，纽约。Lorentz，G.G.（1986）。Berns tein多项式，第二版。切尔西，纽约。Powers，V.和Reznick，B.（2001年）。P'olya定理的一个新界及其对多面体上正多项式的应用。J、 纯应用程序。代数164 221-229。Stein，C.（1986年）。期望值的近似计算。加利福尼亚州海沃德数理统计研究所。