选举的稳定性和刚性

在第2列中，作者写出了多重性，gN,每个排列的。多重数之和，gN, 正确合计为MN。在继续下一节之前，读者将注意到每个变量Nk（k=1，2…，M；见等式3）都具有二项分布。例如，借助表2，读取器可以验证所有重数之和，gN, 对于n=1的每个元组为79.7（即，1.0+1 5.7+7.9+31.5+23.6=79.7）。该总和除以MN为0.33（即79.7/3=0.33）。该商等于事件概率p=0.1的二元分布变量的概率密度函数，该函数在N=1时计算。请注意，二元分布变量Nk的概率密度函数P在整数值n isP（Nk=n）=n时进行计算！N（N）-n） 哦！pnk（1- pk）N-n、 对于n=0，1，N、 （9）因此，作者利用二项分布定性地描述了选举制度的稳定性和刚性（参见第4.1节中关于图2和图3的评论）。3.6总体平均数完全定量地理解选举制度的稳定性和刚性需要使用总体平均数。本文利用函数f的两个不同的系综平均值：磁平均值hfi和方向平均值{f}。3.6.1方向系综平均值方向系综平均值为{f}=R2πφM-1RπφM-2···Rπφf dM-1SR2πφM-1RπφM-2···RπφdM-1S，（10）表2：示例：N=5，M=3，p=0.1，p=0.3，p=0.6。要计算动态变量的期望值，必须包括每个选举状态（第1列）。对于每个状态，计算多重性（第2列）和动态变量（第3列），然后计算加权和（第4列）。最后，加权和除以状态总数。

对于有五名选民（N=5）和三个政党（M=3）的选举系统，系统方差的预期值为656.1/243N gNN-不·N- 不GNN- 不·N- 不[5，0，0]0.0 32 0.1[0，5，0]0.6 22 12.7[0，0，5]18.9 7 122.8[4，1，0]0.0 22 0.8[4，0，1]0.1 19 1.4[1，4，0]1.0 16 15.3[1，0，4]15.7 4 55.1[0，4，1]5.9 11 62.0[0，1，4]47.2 70.9[3，2，0]0.2 16 3.4[3，0，2]0.0 9 10 8.3[2，3，0]0.7 14 8.9[2，0，3]5.2 5 23.6[0，3，2]23.6 4 82.7[0，2，3]47.2 0 23.6[3，1，1]0.9 11 9.2[1，3，1]7.9 7 51.2[1，1，3]31.5 1 15.8[2，2，1]3.9 7 25.6[2，1，2]7.9 4 27.6[1，2，2]23.6 2 35.4总和243（3）656.1其中dM-1S是M球体的微分表面积，φ，φ，φM-1是M维选择向量空间的角坐标（有关更多信息，请参见附录A）。作为使用示例，在表2的第3列中，作者提供了每个分区的每个排列的方向集合平均值。具体而言，作者给出了超额向量与自身点积的方向集合平均值，其中选举超额向量等于选举向量与均衡选举向量之间的差值。3.6.2磁系综平均值磁系综平均值如下所示：FN=PN编号∈eC（M，N）fNGNPN编号∈eC（M，N）gN. （11） 在上述等式中，eC（M，N）是N的每个部分的每个置换的集合（见第3.5节）。在表2的第4列中，作者提供了多重性的乘积和选择性过剩点积的方向集合平均值。因此，查看表格的最后一行，读者观察到其磁系综平均值为656.1/243=2.7.3.7分数波动分数波动是对系统平衡预期偏差的相对测量。

本文作者给出的分数函数是多余向量与自身内积期望值的平方根，然后进行归一化。一般来说，每个固定整数M可能的结果都有一个维度。在政党动态的特殊情况下，两个或多个政党可能就一个问题达成一致，这一事实并不会降低更广泛背景下该体系的维度。事实上，每个政党都有其独特的起源，因此，从本质上来说，增加了选举制度的维度。根据选举向量N、平衡选举向量No和一个向量1，asF（N，M）进行数学定义：=qN- 不·N-不N·1. （12） 上述表格表明了变异系数（即方差的平方根大于平均值）。在继续解释如何使用分数函数构建四个感兴趣的动态变量之前，作者指出，文献中没有就如何编写多元分布的变异系数达成一致意见【22，23】。3.8波动性、灵活性、稳定性，刚性技术方法是以可分离形式asF（N，M）=V（N）L（M），（13）写出分数波动，其中波动率V仅是选民数量的函数，而波动率L是政党数量的函数（及其代表概率[见第4.2节]）。分数波动与系统的波动性和灵活性成比例。同时，系统性质的稳定性S和刚性R分别定义为波动性和流动性的单位补充，asS（N）：=1- V（N）和（14）R（M）：=1- L（M）。

（15） 现在，技术方法已经明确，作者给出了结果。结果在这一部分中，作者给出了两个主要结果：选举制度性质的稳定性和刚性。作者对这两种动态属性给出了定性和定量的解释。作者从定性描述开始，可以通过目视检查多项式分布随机变量的概率密度函数来进行描述（第4.1节）。作者以闭式解析表达式给出的定量描述结束（第4.2节）。4.1定性结果为了说明选举制度的稳定性，作者在图2中给出了四个不同选举制度的数据。在图2的（a）、（b）、（c）和（d）窗格中，参与方数量为M=3，每个结果的概率固定为p=0.1、p=0.3和p=0.6。这就是说，选民数量分别为N=1、N=6、N=15和N=200。同样，为了说明选举制度的刚性，作者在图3中给出了四种不同选举制度的数据。在图3的（a）、（b）、（c）和（d）窗格中，选民数量固定为N=30，每个结果的概率都是一致的（即p=p=··=pM）。也就是说，参与方的数量分别为M=1、M=2、M=30和M=500。八个图的y轴是每个结果的概率密度函数。为了便于查看，作者在每个窗格中缩放结果。例如，在图2的窗格（c）中，每个数据点在绘制之前都要乘以2.91。图2中四个图的x轴相同。在x轴上，作者表示与每个结果一致的选民数量Ni（见等式3），其均以N标准化。

图3中四个图的x轴相同。在x轴上，作者给出了与每个结果Ni一致的超额选民数量（见方程式3），这些结果均通过N.0 0.5 100.51n/N、[1]P（Nk=N）[x 1.11]N1标准化；（p1=1/10）N2；（p2=3/10）N3；（p3=6/10）（a）选民人数等于1，政党人数等于3.0 0.5 100.51n/N，[1]P（Nk=N）[x 1.88]N1；（p1=1/10）N2；（p2=3/10）N3；（p3=6/10）（b）选民人数等于6，政党人数等于3。0 0.5 100.51n/N，[1]P（Nk=N）[x 2.91]N1；（p1=1/10）N2；（p2=3/10）N3；（p3=6/10）（c）选民人数等于15人，政党人数等于3人。0 0.5 100.51n/N，[1]P（Nk=N）[x 10.63]N1；（p1=1/10）N2；（p2=3/10）N3；（p3=6/10）（d）选民人数等于200，党派人数等于3。图2：稳定性。概率密度函数被绘制为与千年时间对齐的选民归一化数量的函数。窗格（a）、（b）、（c）和（d）中的结果根据选民数量进行参数化。垂直线是处于平衡状态的选民数量。-1 0 100.51（n- pkN）/N，[1]P（Nk=N）[x 1.00]pk=1/M（a）（N，M）=（30，1）-1 0 100.51（n- pkN）/N，[1]P（Nk=N）[x 6.93]pk=1/M（b）（N，M）=（30，2）-1 0 100.51（n- pkN）/N，[1]P（Nk=N）[x 4.31]pk=1/M（c）（N，M）=（30，9）-1 0 100.51（n- pkN）/N，[1]P（Nk=N）[x 1.06]pk=1/M（d）（N，M）=（30500）图3：刚度。概率密度函数被绘制为与kthoutcome对齐的超额选民归一化数量的函数。窗格（a）、（b）、（c）和（d）中的结果根据可能结果的数量进行参数化。

垂直线是平衡时的选择性过剩。4.1.1稳定性正如在二元系统中一样【19】，随着多项式分布变得更清晰，且偏离平衡点的峰值变化更大，系统性质的稳定性也会增加。分辨率：在图2中，读者注意到，在所有情况下，N+1离散点跨越Ni/N域。因此，分辨率（在光学意义上）对于较小的N更粗糙，对于较大的N更粗糙。当选民数量较少时，如窗格（a）中，没有易于观察到的趋势或特征。有人可能会说，选举人很少的选举制度对观察者来说是不可预测的。相反，随着选民数量的增加（c.f.，窗格（a）到（b）到（c）到（d）），系统的属性越来越得到很好的解决。有人可能会说，随着选民数量的增加，选举制度的性质越来越具有可预测性尖锐性：一旦选民数量超过某个最小阈值，读者就会观察到每个结果的分布都是单峰的，其结果的模式出现在横坐标值Ni/N=pi处。此外，当读者依次查看窗格（a）、（b）、（c）和（d）时，每个分布的方差变小，概率密度在平衡值位置周围急剧增加（即，Ni/N=N pi/N=pi），否则接近零。最终，当参与方数量接近整体时，多重性接近以各自平衡值为中心的delta函数。方差越大，表明系统的属性波动性越大。较小的变量表示其特性具有更大稳定性的系统。

因此，选举制度的性质变得越来越稳定，因为该制度越来越可能变得越来越接近平衡。4.1.2刚性作者对刚性的理解符合规范用法。在继续之前，鼓励读者牢记，本文中的定性讨论具体适用于最大熵，对于k个结果中的每一个，pk=1/M的特殊情况。第4.2节的定量结果从分析的角度对选举制度的刚性进行了更全面和彻底的描述。M=1；绝对刚性：与Wolin所写的政治刚性是缺乏替代方案的方式完全相同【25】，读者在图3的窗格（a）中观察到，存在且只有一个非零概率密度的Nk值，即平衡时的值（即Nk=N）。同样，在与刚体力学完全相同的意义上，一方系统不允许有任何波动。由于每个选民的选举时刻都是相同的，因此该制度不允许对选举力量做出任何反应——在施加选举力量的情况下，每个选民的势头变化都是相同的。M=2；两党制：作者在图3的窗格（b）中绘制了两党选举制的特例。对于M=2的情况，概率分布在模态平衡值（Nk=N）周围是对称的。与窗格（a）中的结果相反，窗格（b）中的域中现在有N+1个整数，产生非零概率密度。除了平衡值（即，Nk=N）对分数波动的贡献外，现在还有一个额外的N/2唯一替代值（即，±1，±2，…）。

，±（N- 2） /2，±N/2）对平方和有贡献的刚性1 a：成分或结构非常牢固而不柔顺：缺乏或缺乏灵活性。哈僵化的极权制度-哈里森·史密斯。6：属于、关于或构成动力学的一个分支的，在这个分支中，被认为是运动的物体在受力时在形状和大小上是绝对不变的。（见方程式12）。M有限；多党制：为了简单起见，在本段中，作者认为Nk是连续实值随机变量，而不是离散随机变量（即Nk∈ R） 。读者从图3窗格（b）、（c）和（d）中给出的结果中注意到，随着参与方数量从两个增加到一个，概率分布围绕所定位的模态平衡值（Nk=MN）越来越不对称。因此，过剩绝对值的范围（即| n- pkN |∈0，M-100万) 增加；同时，对分数函数的替代贡献量也随之增加（即（n- pkN）∈h0，M-1米镍。这些额外的备选方案中的每一个都提出了应对选举力量的传统模式。当M接近于完整性时的极限：在图3的窗格（d）中，作者绘制了随机变量NK的概率密度函数，用于大量结果M=500。读者注意到，在有限范围内，随着结果数量的接近，概率分布越来越多地显示为图3窗格（a）中一党制概率密度函数的反映副本。事实上，当M接近整数时，PK向S1/M移动，二元分布变量的方差为O（Nk- pkN）=O纳米1.-M=纳米。

因此，正如窗格（a）中所示，当M接近实际值时，随机变量NK的方差产生零可变性。然而，与一党制不同的是，现在系统中有M个这样的二元分布随机变量。因此，多项式分布选举系统的总方差渐近接近N（即MNM=N），而不是零。4.2定量结果作者在本节开始时介绍分数函数的闭合形式表达式。感兴趣的读者可以在附录a中找到表达式的详细证明。很明显，可以为感兴趣的动态属性编写分析表格（第4.2.1节）。作者在本节结束时，提供了分数膨胀、弹性和刚性的极值，所有这些都取决于每个可能的总成本的表示概率。手稿的这一部分使读者能够完全理解作者为什么要强调pk=1/M的特殊情况下的概率密度函数（见图3及其在第4.1.2节中的相关讨论）。感兴趣的读者可以在附录B.4.2.1波动性、灵活性、稳定性和刚性中找到这些属性极值的详细证明。在附录a中，作者推导了分数波动的以下表达式。F（N，M）=√Nvuut1-MXi=1pi. （16） 将上述结果与等式13给出的分数函数的可分离形式进行比较，选举制度的波动性V（N）和波动性L（M）分别由以下闭式解析表达式表示：V（N）=√N、 和（17）L（M）=VuT1-MXi=1pi。

（18） 接下来，将上述结果与方程式14和15中的定义进行比较，选举系统的稳定性S（N）和刚性R（M）分别由以下闭合形式的解析表达式表示：S（N）=1-√N、 和（19）R（M）=1-vuut1-MXi=1pi。（20） 如技术方法所述（见第3.8节），系统属性的波动性和稳定性完全取决于选民的数量，而系统属性的灵活性和刚性则取决于各方的数量（以及各方的呈现概率）。4.2.2对于单个选民系统，极值开始具有绝对不稳定性（即s（1）=0），当选民数量接近完整性（即limM）时，稳定性在极限内单调增加至统一→∞S（M）=1）。在附录B中，作者指出，对于可能结果的固定整数M，灵活性的界为0≤ L（米）≤rM- 1米。（21）当M个可能结果中的每一个都具有相同的可能性时，灵活性有一个最大值，当任何一个可能结果具有100%的可能性时，灵活性有一个最小值。因此，刚度以1为界-rM- 1米≤ R（米）≤ 1.（22）当任何一个可能结果的概率为100%时，刚性有一个最大值，当M个可能结果的概率相等时，刚性有一个最小值。只有一种可能结果的选举制度的性质是绝对严格的。随着可能结果的数量增加，每个结果的概率也成比例增加，那么选举制度的性质就变得不那么僵化，更加灵活。5讨论到目前为止，作者提供了选举动态的数学概念。作为对比，作者现在讨论了这一理论与现实政治的关系。