平滑填充间隙

因此，对于τj=0.1的典型值，p在7到83之间变化。同时，通常| vj，i |=O（0.1），因此| a | 1、摘自Abramowitz和Stegun（1964）；Olver（1997）我们知道，对于a的大值，U（a+1，2，z）的值非常小，而U（1）的值-a、 2、，-z） 非常大。因此，未知常数C（2）1，i，C（2）2，iis的计算很困难，因为i）它需要高精度的算法，ii）它非常不稳定。另一方面，在这种情况下，我们有一个小参数1/| a | 公式（8）中的1，所以我们可以找到Q的渐近解。（8） 。我们从严格定义小参数ε开始≡ -这里，当选择k的符号时，我们不应该依赖于第2.2节的分析，因为我们只需要在ε→ 0.下面我们假设|ε| 1、牢记这一定义，并使用公式（10）中的定义，我们将公式（8）改写为\'X^Bj，XX+2公里-ε？X^Bj=2kBj-1（X，τj-1） ，X=X- u，（20），其中| 2k |=1。该方程属于Wasow（1987）提出的奇摄动微分方程类。它可以通过在下面的公式中使用来解决，为简单起见，我们省略了模，也就是说ε很小，我们的意思是|ε| 1.匹配渐近展开法，Nayfeh（2000），或边界函数法，Vasil\'eva等人（1995），我们将在下面使用。需要一种特殊方法是因为，对于未知函数^B（X，τ）在小参数ε幂级数中的正则渐近展开，零阶近似产生^B（0）（X，τj）=Bj-1（X，τj-1） 。这里上标（0）表示近似的阶数。

显然，这个不依赖于任何自由参数的解在区间终点附近是不正确的[Xi-1，Xi]，其中解及其一阶导数必须是X的连续函数。因此，我们没有任何自由度来满足此连续性。这就是为什么等式（20）属于奇摄动微分方程类，无法使用ε幂的正则展开式求解。继Vasil\'eva等人（1995年）之后，我们表示了区间上等式（20）的解【Xi】-1，Xi]形式为^B（X，τj）=∞Xs=0εs^B*,s（X，τj）+∞Xs=0εs∏（s）（xi-1，τj）+∞Xs=0εsΞ（s）（xi，τj）。（21）此处为^B*（X，τj）是所谓“约化”方程的解，而∏（xi-1，τj）和Ξ（xi，τj）是所谓的边界函数。边界函数在远离边界Xi的地方消失-1，Xiwhenε→ 另一方面，需要它们来确保解满足边界条件。对于任何较小的固定ε 1，ε6=0渐近解是精确解的近似值，可在N为任意正整数的情况下得到O（εN），见Vasil\'eva等人（1995）。同样在等式（21）xi中-1=（X- xi-（1）/√ε是到左边界的拉伸距离，xi=（X- 十一）/√ε是到右边界的拉伸距离。基于Vasil\'eva等人（1995）的方法，在零级近似下，简化方程如下所示：→ 0，有心房溶液^B，0*（X，τj）=Bj-1（X，τj-1） 。然后，从式（20）中，边界函数∏（0）（x，τj）求解方程（x- ui）∏（0）xx（x，τj）+2k∏（0）（x，τj）=0。

（22）后者具有以下溶液，Polyanin和Zaitsev（2003）∏（0）（x，τj）=Cφi-1（x）I（2φI-1（x））+Cφi-1（x）K（2φi-1（x）），（23）φi-1（x）≡ -2k（x- ui）=-2公里√ε十、- xi-1.-√εui.这里，C表示两个积分常数，I（x），K（x）表示第一类和第二类修正贝塞尔函数。我们必须证明∏（0）（x，τj）→ ε时为0→ 根据Abramowitz和Stegun（1964），我们知道这对于K（2φi）是正确的-1（x））如果k<0，则从x>Xi-1，但不适用于I（2φI-1（x））。因此，在公式（23）中，我们必须计算C=0，k=-1/2。注意，对于vj，i<0ε∈ C、 但这不是一个问题。类似的论证表明，对于ε中零级近似的Ξ（0）（x，τj），解为Ξ（0）（x，τj）=Cφi（x）K（2φi（x）），φi（x）=-√ε十、- xi-√εui.因此，等式（20）的零阶渐近解的形式为^B（0）（X，τj）=Bj-1（X，τj-1） +Cφi-1（x）K（2φi-1（x））+Cφi（x）K（2φi（x））。未知常数C，cca可以使用下一节中描述的方法找到。Bj的值-1（X，τj-1） 在Xi点-1，可以通过使用第3节中描述的无套利插值来获得。ε中的下一个近似值也可以基于Vasil\'eva等人（1995）的一般方法构建。现在，简化后的方程式读数为“X^B(*,0）XX（X，τj）-\'\'X^B(*,0）（X，τj）+2k^B(*,1） （X，τj）=0，具有明显的解^B(*,1） （X，τj）=2k'X十、 X^Bj-1（X，τj-（1）-^Bj-1（X，τj-（1）.As^Bj-1（X，τj-1） 求解等式（7），我们可以表示十、 X^Bj-1（X，τj-1） 表格中J>1十、 X^Bj-1（X，τj-1） =-2pvj-1，i（X）Bj-2（X，τj-（2）-2pvj-1，i（X）+^Bj-1∏（1）（x，τj）的方程式为（x- ui）∏（1）xx（x，τj）+2k∏（1）（x，τj）=（x- ui）∏（0）xx（x，τj）=-k∏（0）（x，τj）。这个方程类似于公式（22），唯一的区别是现在它是非均匀的。

因此，其解为∏（1）（x，τj）=φi-1（x）K（2φi-1（x））+I（1）I-1、（24）I（1）I-1=-k（φi-1（x）I（2φI-1（x））ZK（2φi-1（x））φi-1（x）∏（0）（x，τj）dx- φi-1（x）K（2φi-1（x））ZI（2φi-1（x））φi-1（x）∏（0）（x，τj）dx）=-k（φi-1（x）I（2φI-1（x））ZK（2φi-1（x））dx- φi-1（x）K（2φi-1（x））ZI（2φi-1（x））K（2φi-1（x））dx）Prudnikov et al.（1986）我们有zk（2φi-1（x））dx=φi-1（x）K（2φi-1（x））- K（2φi-1（x））K（2φi-1（x）），ZI（2φi-1（x））K（2φi-1（x））dx=ZI（2√十、- ui）K（2√十、- ui）dx=2ZyI（2y）K（2y）dy=yh1+4年I（2y）K（2y）- I（2y）K（2y）I-, Y≡ φi-1（x），I（2y）=2I（2年）-yI（2岁）, K（2y）=-2.K（2y）+yK（2y）.我们强调，在公式（24）中，我们不需要自由常数，因为它们已经出现在零阶解中。因此，可以通过为这些常数选择适当的值来满足边界条件。因此，可以以类似的方式找到函数Ξ（1）（x，τj）。总的解决方案由表达式（24）给出，其中φi-1（x）必须用φi（x）替换。这就完成了一阶近似的构造。我们不会为^B（s）（X，τj），s>1构建高阶近似值，因为前两项的合并已经提供了精度为O（ε）的良好近似值（因为ε通常为0.1阶或更低）。此外，正如我们在数值实验中所观察到的，使用这些渐近解作为校准过程的一部分，可以使后者相当稳定。6、校准程序校准程序从j=1到j=M的每个时间步按顺序运行。给定前一时间步bj的溶液-1（X，τj），我们继续对参数svj，i，vj，i，i=0，…，进行一些初始猜测，新泽西州。实际上，我们只需要对vj进行猜测，i，i=0，nj和vj，nj，因为根据式（5）vj，i=vj，nm+njXk=i+1Xk（vj，k- vj，k-1） ，i=0，nj- 1.

（25）因此，待确定的未知参数总数为nj+2。由于给出了Tjonly njmarket的成熟度报价，我们需要两个附加条件来提供独特的解决方案。例如，通常交易员对波动率表面的渐近行为有直觉，根据我们的构造，它由vj，njandvj，0决定。使用给定到期日的解析解^Bj（X，p），通过计算逆卡森-拉普拉斯变换，可以类似于LS2011计算标度看跌期权价格B（Xi，τj）。后者可以通过使用Gaver Stehfest算法（X，τj）=（N）Xs=1St（N）sk^B（X，s∧），λ=log 2τj）进行有效的形式化。（26）许多论文（例如，见Kuznetsov（2013）和其中的参考文献）研究了该算法，并且，如果得到的函数是非振荡的，则收敛速度非常快。例如，选择N=12通常很有效。可以明确找到系数St（12），例如，参见LS2011。众所周知，该算法的实现需要高精度的算法。这种影响对于小τj尤其明显，所以除非使用足够数量的重要数字，否则反演可能在数值上变得不稳定。一旦计算出所有期权价格，就可以将其与给定的市场报价进行比较。因此，可以使用某种最小二乘法最小化程序来确定所有未知参数的最终值。如果j=1，则前一时间解就是Payoff函数。该模型将期权价格与市场报价进行比较。就复杂性而言，在每次迭代中，我们需要计算njspatial点和N个temporalpoints的解，前者由Gaver-Stehfestalgorithm给出，后者由Gaver-Stehfestalgorithm规定。此外，如式（12）所示，每个此类解决方案都需要2njconstants C。。。，C2nj，用于求解相应的线性方程组。

如前所述，由于其特殊的结构，该系统可以以O（2nj）的复杂性求解。总的来说，执行一次迭代的复杂性是O（2njN）O（Ku），其中O（Ku）是在一个空间点上为解计算所有Kummers函数的复杂性。与LS2011相比，这似乎是一个显著的性能改进，例如，在LS2011中，源项的计算需要数值积分。6.1。校准的初始猜测。显然，校准是一个耗时的过程，因此，拥有智能的初始猜测可以显著提高其收敛速度。假设我们已经获得了到期时间Tj，j的所有参数值∈ [1，j]，j<M，现在需要运行成熟度Tm的校准，M=j+1。还假设我们得到了市场价值SW（m，i），i=1，NM表示隐含方差。为了对校准程序进行“有教育意义的”初始猜测，我们建议使用公式（2）来获得vm，i，i=1，…，的初始值，纳米- 1和vm，nm。尤其是第一衍生产品Tw（m，i），公式（2）右侧的Xw（m，i）可以通过一阶有限差来近似，使用走向和时间空间中的两个给定w值以及二阶导数Xw通过在行程空间中使用三个给定w值的二阶近似。计算时Tw（m，i）≈ [w（m，Ki）-w（m-1，Ki）]/τmitis可能是市场报价w（m-1，Ki）在Tm上不可用-1.在这种情况下，在Tm处给定引号的K内插/外推-1可用于获取此值。该计算生成σm，i，i的值∈ Z∩[1，纳米]。

如果其中一些是负数，则可以用一个小的正数δ来代替。接下来，我们使用公式（25）并获得形式为vm，nm+nmXk=iXk（vm，k）的线性方程组- vm，k-1） +vm，iXi=σi，m，i∈ [1，纳米- 1] ，vnm，m=σnm，m- vnm、mXnm，其中给出了值vm、nm、vm、0。由于该系统是上三角系统，因此可以用线性复杂度O（nm）有效地求解。上一节提到了短期TA的期权价格，使用Gaver Stehfest算法计算逆位置变换需要非常高精度的小τj算法。因此，在这一限制下，以不同的方式解决修改后的Dupire方程是有意义的，即在τj处使用其解的渐近展开→ 0，另请参见LS2011。对于局部波动率的时间齐次模型，即当波动率不明确依赖于时间时，该问题被认为是不变性的论文，参见Gatheral等人（2012）和其中的参考文献。Gatheral等人（2012年）对时间不均匀模型进行了进一步分析。本文利用一维时间非均匀扩散的转移密度函数的展开式，得到了x=对数S的欧式看涨期权价格C（τj，x）的渐近表示。如果x<log K，则该渐近解为-（τj，x）=vj（K）K√2πu（x，log K）d（x，log K）τ3/2jexp-d（x，log K）2τj,d（x，y）=Zyxdxpvj（x），（27）u（x，y）=vj（x）vj（y）！1/4出口-（y）- x） +（r- q） Zyxdsvj（s）,其中上标(-)用于表明该溶液对应于tox<log K。此外，在推导公式（27）时，假设十、∈ RC>0:C-1.≤ σj（x），|σj（x）|≤ C、 |σj（x）|≤ C、 当S→ 0和S→ ∞.计算所有罢工的买入价C（τj，xi），i=1。

，nj和特定到期日τj mini（1/σj，i），我们也可以使用看跌期权平价计算相应的看跌期权价格。然后，可以通过校准找到局部方差函数的运行参数。注意，由于vj（x）在x中是分段线性的，因此等式（27）中的积分也可以构造为各种贡献的总和。当计算这些贡献时，我们基于这样一个事实：如果x，y属于区间i，那么在我们的符号中，这个区间的方差x=log K- （r）- q） T型- 十、 区间由公式（4）给出，因此d（X，y）=Zyxdxpb- ax=apb+aY-pb+aX,Zyxdsvj（s）=alogb+aYb+aX，其中b=b+a（log K+κ）。如果x>log K，来自Gatheral et al.（2012），我们有c+（τj，x）=ex- 柯-rτj- C-（τj，x）。8。结果与讨论在我们的数值测试中，我们使用了与Itkin（2015）中相同的数据集，即我们从http://www.optionseducation.org2014年3月25日，XLF在NYSEARCA交易。该指数的现货价格为S=22.64，r=0.0148，q=0.01。期权隐含波动率（IV）见表2、3。我们接受所有OTM报价和一些ITM报价，这些报价与ATM非常接近。当看涨期权和看跌期权同时出击时，我们取Icalandiput的平均值，权重与1成比例- ||坎德1- ||特别是，其中C减持期权买入和卖出Delta。我们已经提到，在我们的模型中，每个术语在正负单位处的微笑斜率vj、Nj和vj，0都是自由参数。交易员往往对这些价值有直觉。然而，在我们的数值实验中，我们只取了一些合理的值，如表5所示。通过这样做，我们确实考虑到了Ahoniemi（2009）中报告的影响，他指出，根据与相同价格相对应的看涨期权和看跌期权价格计算的IVs并不一致，尽管理论上它们应该相等。

我们的权重是根据纯粹的经验法则选择的，需要对这种影响进行更详细的调查。j Tjvj，0vj，nj1 2014年4月4日-0.1206 0.10002 2014年4月19日-0.1000 0.10003 2014年5月17日-0.1309 0.10004 2014年6月21日-0.1000 0.10005 2014年7月19日-0.1000 0.10006 2014年9月20日-0.1000 0.1000表5：表2、3中选项数据的参数vj、0和vj，NJ。图3：使用选项卡中的全套数据构建的市场价格逐项拟合。2,3。在根据市场数据校准模型时，我们使用标准的Matlab fmincon函数。我们从使用“活动集”算法开始，如果它不收敛，则切换到“sqp”算法。我们强调，这一步骤的优化不是本文的主题，为了更详细地讨论与局部波动率曲面校准相关的各种问题，我们请读者参阅Lindholm（2014）最近的一篇论文及其参考文献。因此，这里提供的校准纯粹是为了说明目的，当然可以使用更复杂和强大的算法来产生更大的效果。图3给出了这种校准的结果。这里，每个子图对应一个成熟度T（在图例中标记），并显示市场数据（离散点）和计算值（实线）。这个简单的localcalibration算法提供了相当不错的结果，除了X=-最后一个子批次中为0.5。对于前两个到期日，我们成功地使用了第7节中描述的渐近方法。然后，对于接下来的两个到期日，第5节中描述的方法提供了良好的结果。最后，对于最后两个成熟度，必须使用通用算法与第5节所述算法的组合。通过该拟合获得的局部方差曲线在图4中按项给出。相应的局部方差曲面如图所示。

5图4：局部方差的逐项拟合。可以看出，网格上的局部方差到处都是正的，因此我们的构造是无套利的。从性能上看，该算法相当有效。事实上，我们使用两个Intel四核i7-4790 CPU在Matlab中运行了测试，每个CPU的频率为3.80 Ghz。如前一节所述，校准时间在很大程度上取决于计算^B（X，T）的方法。典型结果见表4。对于给定的项，这些结果按每根弦的数目进行归一化。显然，它们可以被视为图5：使用所提出的方法构造的局部方差曲面。粗略估计，因为收敛性很大程度上取决于初始猜测的质量。在我们的计算中，我们使用了第6.1节所述的方法。然而，可以看出，表4中的第二种方法比第一种方法慢，因为它需要评估贝塞尔函数。第三种方法需要多次计算Kummer函数，是最慢的方法。然而，当我们使用Gaver Stehfest算法时，它可以完全并行化。在所有点Xi，i中，Kummer函数的计算也是如此∈ Z∩ [1，nj]对于给定的成熟度Tj，我们对校准程序进行每次迭代。因此，拥有足够数量的内核，并行实现的潜在加速应与N=12（Gaver Stehfest算法时间步数）乘以触发数成正比。在我们的例子中，即使使用一般方法，也可以在每次到期不到一秒钟的时间内进行校准。结论在本文中，我们对LS2011中提出的方法进行了扩展，将平铺局部方差形状替换为分段线性结构，并放宽了他们关于零利率和分割收益率的假设。