平滑填充间隙

但是，然后函数zez+kXU（1- a、 2、，-z） 在两个X处发散→ -∞ 在z方向→ 类似地，函数zM（a+1，2，z）也在X处发散→ -∞, 但在z的数值上是稳定的→ 因此，我们必须在方程（9）中的第一个间隔处将C=0(-∞, 十] 在X处保留边界条件→ -∞. 然而，解Y（z）仍然对I有贡献。在下面的内容中，我们将使用Y（z）=zM（1+a，2，z），并显示I在极限X内收敛→ -∞.请注意，解y（z）=ekXzM（a+1，2，z）和y=ekXzU（a+1，2，z）也可以根据Whittakers函数Mp，s（z），Wp，s（z），Abramowitz和Stegun（1964）y（z）=ekuM重新编写-a、 1/2（z），y（z）=ekuW-a、 1/2（z）。因为在我们的案例中，b=0，通过Kummer变换，Olver（1997）；Abramowitz和Stegun（1964），U（a，0，z）=zU（a+1，2，z）。由于局部方差是线性且非负的，因此该点要么位于区间的边缘，要么局部方差在该区间上波动并消失。2.1.2。vj，i>0对于vj，i>0的每个间隔，即。 我∈ Z∩ [2，nj+1]这样X∈ 【十一】-1，Xi]，Xnj+1=∞, Xi>Xmj，作为Kummer方程的第一个独立解，我们再次取Y（z）=zU（a+1，2，z），k=-1/2，表示a>0，X=u+z。因此，当X→ ∞ 我们有z→ ∞和ekXY（z）→ 同样，该解在整个区间X>xmje上数值稳定，除了z=0时的奇点（如果u>Xmj）。然而，上一小节中已经给出了等式（8）的解atz=0。就第二个数值稳定解而言，前面小节的分析也适用于这里。因此，我们也可以用k=-1/2，因此a>0，X=u+z。因此，在等式（9）中，我们将C=0放在最后一个间隔[Xnj，∞) Top保留X处的边界条件→ ∞.2.2。

整个实数线的组合解上一节中描述的解如表1所示。因此，对于j>1，区间vj，ik z yyC上等式（9）中的解(-∞, 十] <0 1/2u- X eX/2zU（a+1,2,z）eX/2zM（a+1,2,z）0[Xi，Xi+1]<0 1/2u- X eX/2zU（a+1，2，z）eX/2zM（a+1，2，z）fc[Xi，Xi+1]>0-1/2 X- ue-X/2zU（a+1，2，z）e-X/2zM（a+1，2，z）fc[Xmj，∞) > 0-1/2 X- ue-X/2zU（a+1，2，z）e-X/2zM（a+1，2，z）0表1：我们构造了数值上令人满意的Kummer对。这里“fc”指的是连续性。区间i读取^Bi=C（1）1，iy1，i（z）+C（1）2，iy2，i（z）+pI（1）12，i（X），（12）W≡ W1，i=eXzW[U（1+ai，2，z），M（1+ai，2，z）]=-euiΓ（ai+1），其中Γ（x）是伽马函数，I12，iis定义在等式（9）中，并在区间i上计算，i（s）12中的上标表示Iin等式（9）定义中的y1，i（x），y2，i（x）（齐次方程的解）取在相应区域上。我们使用符号C（l）1，i，C（l）2表示积分常数，其中超指数l∈Z∩ [1，2]标记了图1中的相应区域，子索引i标记了j=1的区间，即术语Bj-1（X，τj-1） 应替换为eX/2if X∈【十一】-1，Xi]，X≤ 0，带e-X/2如果X∈ 【十一】-1，Xi]，在I12，i的定义中，X>0。此外，为了满足边界条件，参见公式（7），当X→ ±∞. 我们在附录A中证明了这一说法。利用这些结果，我们现在可以继续构建EQ的解。（7） 在整个实线X上∈ [-∞, ∞] 通过在所有区间匹配解决方案。假设T=Tjare的卖出价以NJ有序罢工而闻名。Xv（X）XoAXoAXmjXoA。XnjoAnji图1：Dupire方程整体解的构造。

1（红色实线-实际（未知）局部方差曲线，2（蓝色虚线）-各线性解。此外，首先假设这些引号可用于K>F和K<F。这些撞击在X线上的位置如图1所示。根据第2节的分析，在开放区间上，公式（7）的解由表1的第一行给出。它包含一个未知常数C（1）1，1因为我们放置C（1）2，由于边界条件，i=0。表1第2行的溶液应用于所有其他间隔Ak-1，k如k所示≥ 1，vj，k≤ 这些解有两个未知常数C（1）1，k，C（2）1，k，因为X在相应区间上是有限的，因此，两个解y（X），y（X）都表现良好。对于Xk，其中vj，k>0和k≤ MJ我们使用表1第三行中给出的解，该解也在X空间中。每个区间有两个未知常数C（2）1、k、C（2）2、Kf。最后，对于间隔X∈ [Xnj，∞)), 我们使用表1最后一行中的解决方案。同样，为了遵守边界条件，我们必须设置C（2）2，nj+1=0。因此，我们有2njunknown常数需要确定。由于局部波动率函数Vi在Xi点连续，i=1，nj，所以应该是解^B（X，τj）。因此，我们要求在点zi，i=1。。。，nj解及其在X中的一阶导数应为X的连续函数。因此，上述常数可解出2njalgebraicequations系统。该系统有一个特殊的结构，可以将其LHS矩阵简化为上三角形式（实际上甚至是上带状形式）。因此，它可以用线性复杂度O（2nj）有效地求解。

有关更多详细信息，请参阅LS2011。计算一阶导数时，我们考虑了hi，X=y1，XI（gi（X））- y2，XI（gi（X）），i=1，2，根据Abramowitz和Stegun（1964）M（a、b、z）z=abM（a+1，b+1，z），U（a、b、z）z=-aU（a+1，b+1，z）。此外，在以下章节讨论的一些特殊情况下，可以用修改后的贝塞尔函数来表示解决方案。但众所周知，Abramowitz和Stegun（1964）指出，修改后的贝塞尔函数的导数通过相同的函数集以闭合形式表示。因此，计算解的导数不会产生任何新的技术问题。请注意，在定义公式（9）中的积分时，为了方便起见，我们将积分下限ξ（X）定义如下。对于间隔Awe，取ξ=-∞. 对于每个积分I（Xi），I=2，njwe使用ξi=Xi-1（或zi-1如果积分以z变量表示，请参见附录）。这一选择的灵感来自以下事实：等式（9）中的所有参数Sai、a2、i、b2、i、uiin在区间上都是常数[Xi-1，Xi]。还要注意的是，为了简单起见，在上述构造示例中，市场报价可用于K<F的一组罢工，以及K>F的一组罢工。然而，市场可能只提供一组罢工，使得所有Xi>0或Xi<0。在这种情况下，我们可以如下构造整个解决方案。假设Xi<Xmj， 我∈ Z∩ [1，新泽西州]。引入额外的辅助点X*> Xmj。当然，由于这是一个辅助点，因此无法获得相应的市场报价。因此，我们此时不需要校准局部方差。然而，引入这样一个点有助于在整个实线上构造解决方案，类似于上面所做的。

未知常数C（2）1，*假设解在点X处连续，也可以找到*, 而C（2）2，*应设置为0以保留边界条件。因此，这个技巧有助于在整个区域构造数值稳定的解(-∞, 十] 当X>Xmj时（当没有点Xi<Xmj时），或在整个区域【Xnj，∞) xnj<Xmj（当没有点Xi>Xmj时）。根据我们的构造，期权值以及期权deltas和gammas在X中是连续的（因此在S中也是连续的）。事实上，在上述情况下，我们要求^B（X，τj）、^BX（X，τj）和vjt是X的连续函数。然后，根据等式（7），710bxxis也是X的连续函数。应用拉普拉斯逆变换，我们得到BXXis也是inX的连续函数，因此，通过定义X，在S中。因此，通过定义B，P，PsPSare也是连续的。这一结果表明，与LS2011相比，我们的模型具有额外的优势，其中期权Gamma是不连续的，因为只有vj的分段连续性。3、积分I（X）的解析表示，以计算某个时间步j的RHS项h（X）=pI（X），需要函数Bj-1（X，τj-1） 在上一时间步获得。然而，Tjand Tj的市场报价-1即使行程相同，也应在不同的X集合中给出，因为根据定义，X=log（K/F（T））。因此，当使用数值求积计算等式（9）中的pI（X）时，我们需要知道Bj的值-1（X，τj-1） 在尚未计算的X点。解决这个问题至少有两种可能的方法。第一种方法依赖于解决方案^Bj-1每个空间间隔都已知[Xi-1，Xi]。因此，要计算Bj-1（X），Xi-1<X<xi我们可以使用如下所述的拉普拉斯逆变换方法。

这也需要计算I（X，τj-1） 因为这是^Bj解决方案的一部分-因此，尽管该方法是精确的，但计算成本非常高，因为它需要嵌入到另一个反拉普拉斯变换和数值积分中的反拉普拉斯变换和数值积分。第二种方法（本文提倡）使用插值计算Bj-1（X）给定Bj的值-1（'X），其中'X=X（Tj-1） ，X=X（Tj）。一般来说，线性插值是有效的，但它会导致违反无套利条件。事实上，根据Cox和Rubinstein（1985），给定三次行权K<K<K的三次看跌期权价格P（K），P（K），P（K），无套利系统readP（K）>0，P（K）<P（K），（13）（K）的必要和有效条件- K） P（K）- （K）- K） P（K）+（K- K） P（K）>0。假设我们想要在区间[K，K]的行权空间中使用线性插值，以确定未知的看跌期权价格P（K），给出P（K），P（K），P（K）的值≡ Pl（K）=P（K）K- P（K）KK- K+P（K）- P（K）K- KK。将此表达式插入式（13）的第二行时，后者的LHS消失，因此违反了第三个无套利条件。然而，如果我们使用线性插值和修改的自变量P（K），这个问题就可以解决≡ PF（K）（14）=P（K）f（K）- P（K）f（K）f（K）- f（K）+P（K）- P（K）f（K）- f（K）f（K），其中f（K）是[K，K]中的凸增函数。实际上，iff（K）是凸的，那么P（K）=PF（K）=Pl（K）- ε、 ε>0（见图2）。将该表达式代入式（13）的第二行得到（K-K） ε>0，这是真的。等式（13）中的第二个条件现在为（P（K）- P（K））（f（K）- f（K））（f（K）- f（K））>0，这也是正确的，因为f（K）是K的递增函数。或者，可以使用非线性插值。

在本文中，为了便于跟踪，我们将这两种方法结合起来，并提出以下插值方案EP（K）≡ PF（K）=γ+γKlog K，（15）γ=PKlog K- PKlog KKlog K- Klog K，γ=P- PKlog K- Klog K.在Cox和Rubinstein（1985）中，给出了看涨期权价格的这些条件。在这种情况下，如果我们将P（K）替换为C（K），则第一个和第三个条件与等式（13）中的相同，而第二个条件变为C（K）>C（K）。提案3.1。公式（15）中的插值方案是不可仲裁的。证明观察到，等式（13）中的无套利条件是条件sp>0，PK>0，PK，K>0的离散版本。通过区分式（15）的第一行，可以检查提议的干扰是否符合这些条件，前提是P是K的增函数，所有其他参数的值都是常数。图2：（a）：绝对差值D（P）=P- PL对于无套利非线性插值PN和准确的Black-Scholes看跌期权价格PE，以及线性插值PL。线D（PL）=0对应于PL.（b）：对于无套利非线性BN和线性RBLinterpolations与准确的Black-Scholes看跌期权价格BE的相对差异相同。为了便于说明，在图2a中，我们将无套利插值PN与其线性对应物PLand进行了比较，并计算了Black-Scholes模型的精确价格（为了强调，差值（PN）=PN-PL，D（PE）=PE-PLare显示）。使用以下值计算曲线图：S=100，K=95，K=100，r=0.05，q=0.01，σ=0.5，T=1。

很明显，无套利条件是满足的。使用X和B（X，T）的定义和一些代数，可以将等式（14）中B（X）的插值公式改写为B[X，τ]=α-e-X/2+（β+X+β+）eX/2，（16）α-=eX+XRheX+X（k- k） +eXkB（X，T）- eXkB（X，T）i，β+=RheX- eX公司- eXB（X，T）+eXB（X，T）i，β+=相对湿度eXB（X，T）- eXB（X，T）日志F+eXX- eXXi，R=keX- keX。其中ki=Xi+log F。在图2b中，线性BLandnon-linear BN插值与准确的Black-Scholes值的相对差值显示为X的函数。可以看出，在该测试中，差值约为3 bps。现在，式（16）给出的表达式可以替换为式（9）中I（X）的定义。结果表明，相应的积分可以以封闭形式计算，见附录B。有时，对于新到期日，资金外（OTM）或资金内（ITM）罢工可能位于前一到期日罢工覆盖的区域之外。这意味着，在这种情况下不能使用无套利插值，而使用ingeq。（16） 因为外推会导致套利。这个问题可以通过以下方式解决。假设在TJ，已知市场报价的最后一次罢工是新泽西州的Kj。假设在Tj+1>Tjwe处，给出了一组新的走向Kj+1,1。。。，Kj+1，nj+1，使得Xj+1，l>Xj，nj，l:nj+1≤ L≤ i、 我是一个整数∈ Z∩ [1，新泽西州+1]。现在引入一个辅助点Xj，*, 这样Xj，*>Xj+1、nj+1和Xj，*< ∞. 根据边界条件，我们可以假设B（X*, Tj）=0。然后，有了这个额外的辅助点，外插问题就简化为上面讨论过的内插问题。当Xj+1，l<Xj，1， L∈ Z∩[1，i]对于某些i>0。然后是辅助点Xj，*应在间隔上插入-∞ < Xj，*< Xj+1,1。第一项T的解决方案。

对于第一项，我们不需要插值，因为我们知道沿整条实线X的解B（X，0）∈ (-∞, ∞). 它由式（3）中的终端条件给出，如果我们设置α，则它将进入式（16）中的插值公式-= p1X>0且β+=0，β+=p1X≤因此，在这种情况下，I（X）的分析溶液仍然可用，见附录B.4。小| vj，i |根据市场数据校准模型时，可能会出现一些vj，i的值很小，因此| vj，iXi | 在这种情况下，第2节中考虑的解决方案不再有效。因此，我们需要考虑等式（8），它可以用（1+)^Bj，XX+κ-^Bj=pbBj-1（X，τj-1） ，（17）式中，κ=pb/b，对于每个间隔[Xi-1，Xi]，i∈ Z∩ [2，nj]参数 定义为 = vj，iXi/vj，i.If|i | 1，式（17）^bj的通解可以表示为, i、 e.，^Bj=∞Xs=0^B（s）j（X）s、 零阶近似。在零阶近似下，等式（17）可以写成^B（0）j，XX+κB（0）j=pbBj-1（X，τj-1） ，因此相应的方差是分段常数。该方程的一般解的形式为^B（0）j=Cy（X）+Cy（X）+pbI（X），（18）y=eiκX，y=e-κX，I=yZyBj-1（X，τj-1） WdX公司- yZyBj公司-1（X，τj-1） WdX。显然，对于这些y，y（在数值上总是令人满意的），我们有W[y，y]=-2iκ。

同样，我们使用无套利插值。LS2011中考虑了情况vj，i=0，其中积分i（X）是数值计算的。在上一时间步获得的显式计算I（X）的解：I（X，κ）=ZeiκXBj-1（X，τj-1） dXW=-2iκZeiκX[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]dX=-2iκ“α-δ-eδ-X+β+（δ+X- 1） +δ+β+δ+eδ+X#，δ±=κ±1/2，I（X）=-2iκZe-κX[α-E-X/2+（β+X+β+）eX/2]dX=2iκ“α-δ+e-δ+X+β+（δ-X+1）+δ-β+δ-E-δ-X#，I（X）=e-iκXI（X，κ）- eiκXI（X，κ）=-iκhA-E-X/2+A+eX/2i，A-= α-δ++δ-,A+=β+（δ-X+1）+δ-β+δ-+β+（δ+X- 1） +δ+β+δ+。这些解决方案可以被视为LS2011的进一步改进，因为它们嵌入了无套利插值，以及ii）该插值允许以闭合形式计算源项。显然，使用这种方法可以显著加快计算速度。一阶近似。一阶近似值  1，式（17）的形式为X^B（1）j，XX+（2+κX）^B（1）j=XB（0）（X），B（0）（X）=κ+^B（0）j-pbBj公司-1（X，τj-1） 。如果| X | 1，则^B（1）j=XB（0）（X）。否则，该方程的解为，见Polyanin和Zaitsev（2003），^B（1）j=C+Cy（X）+I（X），（19）y=-κEi(-κX）-E-κXX，W=e-κXX，I=ZyXB（X）WdX- yZXB（X）WdX，其中Ei（X）是指数积分，Abramowitz和Stegun（1964）。如果κ>0，则当X→ -∞, i、 e.，位于FirstInterval。如果κ<0，当X→ ∞, i、 e.，在verylast间隔。5、参数| a |值较大。在许多实际情况下，公式（10）中的参数| a |可能会变大。事实上，从第2.2节的分析可以得出| ai |=2p/| vj，i |。我们感兴趣的p值可以通过考虑以下事实来估计：对于拉普拉斯逆变换的计算，我们使用第6节中描述的Gaver-Stehfest算法。然后，根据公式（26），p=s（log 2）/τj，其中s从1运行到N=12。