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英文标题：
《Filling the gaps smoothly》
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作者：
Andrey Itkin, Alexander Lipton
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The calibration of a local volatility models to a given set of option prices is a classical problem of mathematical finance. It was considered in multiple papers where various solutions were proposed. In this paper an extension of the approach proposed in LiptonSepp2011 is developed by i) replacing a piecewise constant local variance construction with a piecewise linear one, and ii) allowing non-zero interest rates and dividend yields. Our approach remains analytically tractable; it combines the Laplace transform in time with an analytical solution of the resulting spatial equations in terms of Kummer\'s degenerate hypergeometric functions.
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中文摘要：
将局部波动率模型校准到给定的期权价格集是数学金融学的一个经典问题。多篇论文都考虑了这一点，并提出了各种解决方案。本文对LiptonSepp2011中提出的方法进行了扩展，即i）用分段线性结构替换分段常数局部方差结构，以及ii）允许非零利率和股息收益率。我们的方法在分析上仍然可行；它将拉普拉斯时间变换与根据Kummer退化超几何函数得到的空间方程的解析解相结合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-5-25 14:28:22 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Applications Construction QUANTITATIV

平滑填充间隙a。伊奇纳，*, A、 Liptonb，纽约大学卡坦顿工程学院，6 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，美国连接科学与工程，麻省理工学院，77 Massachusetts Avenue，Cambridge MA 02139，美国数学科学研究所，纽约大学，251 Mercer Steet，New York NY 10012，将局部波动率模型校准到给定的期权价格集是一个经典的数学金融问题。在提出各种解决方案的多平台平台中考虑了这一点。在本文中，Lipton和Sepp（2011）提出的方法的扩展是通过i）用分段线性结构替换分段常数局部方差结构，以及ii）允许非零利率和股息收益率。我们的方法在分析上仍然可行；它结合了拉普拉斯变换和库默斯退化超几何函数条件下产生的空间方程的解析解。关键词：局部波动率曲面、分段线性方差、Laplacetransform、无套利插值Jel:C6、C61、G17 Dupire（1994）和Derman andKani（1994）提出的局部波动率模型是一个经典的数学金融模型。本地波动率（LV）表面与市场数据的校准，代表了欧洲期权的价格或一组提前期和到期日的相应隐含波动率，在过去二十年中引起了很多关注。提出了解决这一重要问题的各种方法，见Andreasen和Gig（2011）；Lipton和Sepp（2011）；Itkin（2015）及其参考文献。以下是利普顿和Sepp*相应的authorEmail地址：aitkin@nyu.edu（A.Itkin），alexlipt@mit.edu（A。

利普顿）为简洁起见，于2018年1月9日（2011年）作为LS2011提交给爱思唯尔。解决校准问题有两种主要方法。第一种方法试图通过使用一些参数或非参数回归构建一个与市场报价相匹配的连续隐含波动率（IV）曲面，然后通过著名的Dupire公式生成相应的LV曲面，如Itkin（2015）和其中的参考文献。为了实际有用，这种构造应该保证对所有行权和到期日都没有套利，这对于任何基于插值的模型来说都是一个严峻的挑战。如果满足无套利条件，则可使用以下等式（2）计算LVsurface，该等式相当于但比原始Dupire公式更方便。第二种方法依赖于使用解析或数值方法直接求解Dupire方程。这种方法的优点是它可以保证没有套利。然而，Coleman等人（2001年）指出，直接解的问题可能是不适定的，并且计算成本相当高。这两种方法的另一个困难是，校准算法必须很快才能实用。一方面，Dupire方程的解析解或数值解在数值上很昂贵。另一方面，构建无套利IV曲面也可能在数值上具有惊人的挑战性，因为它需要解决一个相当复杂的约束优化问题，参见Itkin（2015）。Lee（2004）指出，机翼中的隐含变化面在归一化走向中应为线性，这一事实导致了额外的复杂性。在本文中，我们扩展了LS2011中提出的方法，该方法基于变换后的Dupire方程的直接解。

在LS2011a中，选择了分段常数LV曲面，并提出了一种有效的半分析方法，用于将该曲面校准为稀疏市场数据。然而，有人可以说，理想情况下，LV函数应该在对数走向空间中是连续的。下面，我们通过假设局部方差在对数走向空间中是分段线性的，从而使相应的LV曲面在走向方向上是连续的（但在时间方向上不是连续的），来演示如何扩展LS2011方法。虽然LV函数相对于罢工的导数具有不连续性，但期权价格、Delta和Gammas是连续的。这是为了与LS2011进行比较，在LS2011中，期权价格和Delta是连续的，而期权Gamma是不连续的。我们还允许非零利率和比例股息。我们强调Andreasen和Gigage（2011）中提出的解决方案本质上是静态的，而LS2011中开发的解决方案是完全动态的。论文的其余部分组织如下。第1节介绍了Dupire方程，并讨论了构造LVsurface的一般方法。第2节考虑了求解Dupire方程的所有必要步骤。第3节介绍了源项的无套利插值，该插值在使用拉普拉斯变换时自然出现，并表明使用该插值可以以闭合形式获得包含该源项的所有积分。第4节考虑了一种特殊情况，即局部方差在某个区间上的斜率很小，因此该区间上的线性局部方差函数变为FL。第5节讨论了各种有助于构造Dupire方程一般解的渐近结果。

第6节致力于模型的校准，并描述了如何为优化器获得有根据的初始猜测。由于计算拉普拉斯逆变换对于小时间间隔可能会很昂贵，第7节描述了Gathereal等人（2012）在该极限下获得的渐近解，并说明了如何将其用于我们的目的。第8节描述了一组特定市场数据的数值结果。最后一节结束。两个附录中给出了一些额外的证明和推导。1、局部波动率表面是构建局部波动率表面的一般构造块。我们考虑Dupire的看跌期权价格P（远期）方程，该方程是履约价格K和到期时间T的函数，Dupire（1994）。假设基础股票过程阻碍了风险中性度量，则由以下随机微分方程dST=（r- q） Stdt+σ（St，t）dWt，S=S，其中r≥ 0是一个恒定的无风险利率，q≥ 0是一个恒定的连续股息收益率，σ是一个给定的局部波动函数，WT是标准布朗运动。继Ekstrom和Tysk（2012）之后，我们还假设如果St可以在有限时间内达到0，那么0是一个吸收屏障。put P（K，T）读取的Dupireequation，Ekstrom和Tysk（2012）PT=σ（K，T）KK- （r）- q） K级K- QP、 P（K，0）=（K-S） +，（K，T）∈ （0，∞) ×[0，∞), （1） P（0，T）=0，P（K，T）K↑∞= KD，D=e-rT，其中S=St | t=0。如果所有K，T都知道P（K，T）的市场报价，那么可以通过倒推公式（invertingEq）在任何地方唯一地确定LV函数σ（K，T）。（1） 。然而，在实践中，已知的市场报价集是成对的离散集（Ki，Tj），i=1，nj，j=1，M，其中nj是到期日Tj的已知报价总数，显然不包括所有k，t。

因此σ（K，T）的形式仍然未知。为了解决这个问题，通常为相应的时间片选择σ（K，T）的函数形式。例如，在LS2011中，σ（K，T）被假定为K，T的分段常数函数。作者通过在时间上使用Carson-Laplace变换和在空间上使用Green\'s函数方法，为他们所选择的σ（K，T）的显式形式提出了求解方程（1）的一般方法。这为校准例行程序使用最小平方法打开了大门。当然，通过构造，它会使整个局部波动表面在瓷砖边界处不连续，并在机翼处发生波动。虽然前一个特征本身不一定是一个问题，但如果可能的话，应该避免，但后一个特征更令人不安，因为Marco等人（2013）对此进行了说明；Gerholdand Friz（2015），局部方差的渐近行为在K→ ∞ 和K→ 0。而K的结果→ 0被证明是正确的，至少对于Heston和Stein-Stein模型是如此，结果是K→ ∞ 直接遵循Lee的隐含方差vI矩公式，Lee（2004），以及通过总隐含方差w=vIT，Lipton（2001）表示σ；Gatheral（2006）wL≡ σ（T，K）T=TTw公司1.-十、Xw2w-(Xw）w++Xw，（2），其中X=对数K/F，F=Se（r-q） 这是股票的远期价格。因此，如果可能的话，应避免出现局部波动。这就是为什么在本文中，我们考虑空间变量X中的连续、分段线性局部方差v=σ（X，T），对于固定的T=常数。这使我们能够匹配机翼中v的渐近行为，并构建比分段常数情况下更平滑的整个曲面。

此外，在LS2011中，利率和股息被假定为零，而这里我们将其考虑在内。如果给出了一些行权和到期日的看涨期权市场价格，我们可以使用看跌平价将其转换为看跌价格，因为对于校准，我们通常使用普通欧洲期权价格。2、Dupire方程的解引入一个新的自变量X和一个新的因变量b（X，T）=e-X/2（KD-P（X，T））/Q，Q=Se-qT是一个按比例覆盖的输入，等式（1）中的问题可以重写为以下bt-vBXX+vB=0，（3）B（X，0）=K- （K）- S） +Se-X/2=e-X/2X>0+eX/2X≤0，B（X，T）X↑-∞= 0，B（X，T）X↑∞= 0，（X，T）∈ (-∞, ∞) ×[0，∞).Lipton（2002）使用了类似的变换来求解后向Black-Scholes方程。假设M个不同到期日T，…，存在期权报价（至少一次履约），商标。还假设对于每个tj，在Xi处提供市场报价，i=1，新泽西州。然后，区间[Xi，Xi+1]上相应的连续分段线性局部方差函数vj（X）读取svj，i（X）=vj，i+vj，iX.（4）子指数i=0，0，vj，0对应于区间(-∞, 十] 。因为vj（X）是连续的，所以我们有vj，i+vj，iXi+1=vj，i+1+vj，i+1Xi+1，i=0，新泽西州- 1.（5）vj（X）的一阶导数在点Xi，i处发生跳跃∈Z∩ [1，新泽西州]。此外，假设v（X，T）是时间的分段常数函数，即vj，i，vj，i不依赖于T的区间[Tj，Tj+1]，j∈ [0，M- 1] ，并跳到点Tj、j处的新值∈ Z∩ [1米]。在原始因变量K，T中，该条件意味着v（Ki，T）≡ vj，i=vj，i+vj，i[对数（千/秒）- （r）- q） T]，T∈ [Tj，Tj+1]，即局部方差是时间T的（不连续）分段线性函数。

换句话说，在原始对数变量（log K，T）中，函数v（log K，T）在两个变量中都是分段线性的，而在转换变量（X，T）中，函数v（X，T）在X中是分段线性的，在T中是分段常数。因此，可以将X视为自动建模变量。该术语借用自气体和流体的空气动力学和物理学。考虑到上述假设，可通过归纳法求解等式（3）。一个从T=0开始，在每个时间间隔[Tj-1，Tj]，j∈ Z∩[1，m]解决了Bj（X，τ）Bj，τ的修正问题-vj（X）Bj，XX+vj（X）Bj=0，（6）B（X，0）=B（X，0），Bj（X，0）=Bj-1（X，τj-1） ，j>1B（X，τ）X↑±∞= 0，（X，τ）∈ (-∞, ∞) ×[0，τj]，其中τ=T- Tj公司-1，τj≡ Tj公司- Tj公司-1，bj是对应于时间间隔Tj的等式（3）的解-1.≤ T≤ Tj，j∈ Z∩ [1米]。为了求解公式（6），与LS2011类似，我们使用公式（6）的Carson-Laplace变换^B=L（p）{B}（关于拉普拉斯变换在衍生定价中的应用，请参见Lipton（2001））来获得-vj（X）^Bj，XX+vj（X）+p^Bj=pBj-1（X，τj-1） ，（7）^B（X，p）X↑±∞= 由于v（X）是一个分段线性函数，也可以为每个区间分别构造等式（7）的解[Xi-1，Xi]。通过考虑式（4）中v（X）的显式表示，从式（7）中获得第i个空间间隔的（b+aX）^Bj，XX+（b+aX）^Bj=pBj-1（X，τj-1） ，（8）b=-vj，i/2，a=-vj，i/2，b=p+vj，i/8，a=vj，i/8。式（8）是一个非齐次拉普拉斯方程，Polyanin和Zaitsev（2003）。众所周知，如果y=y（X），y=y（X）是相应齐次方程的两个基本解，则式（8）的通解可以表示为^B=Cy+Cy+pI（9）I=yZyBj-1（X，τj-1） （b+aX）WdX- yZyBj公司-1（X，τj-1） （b+aX）WdX，其中W=y（y）X- y（y）Xis是所谓的Wronskian，对应于所选的解y，y。

因此，问题归结为寻找齐次拉普拉斯方程的合适基本解。根据Polyanin和Zaitsev（2003），如果a6=0和a6=0，一般溶液读数为^Bj=ekXJ（a，0，2k（u- 十） ），（10）k=p-a/a=±，u=-ba=-vj、ivj、i、a=bk+b2ak。这里J（a，b，z）是退化超几何方程的任意解，即Kummer函数，Abramowitz和Stegun（1964）。已知两种类型的Kummer函数，即M（a，b，z）和U（a，b，z），这是第一类和第二类Kummer函数。2.1。数值满意解在每个感兴趣的区间上，我们需要使用数值满意的基本对，Olver（1997）。由于我们的边界条件设置为正和负，因此我们需要整个实线的数值满意解。然而，众所周知，一对Kummer函数在整个实数线内的数值结果并不令人满意。为了克服这个问题，可以构建一个组合解决方案；下面我们将详细介绍我们的结构。作为初步通知，请注意，根据式（10）、式（8）中的定义，变量z可以重新写入为z=-2kvj，i/vj，i.根据局部方差曲线的通常形状及其正性，参见，例如，Itkin（2015）和其中的参考文献，了解X→ -∞, 我们预计vj，i<0。类似地，对于X→ ∞ 我们预计vj，i>0。在这两个细节之间，假设给定成熟度Tjis的局部方差曲线是连续的，但曲线的斜率可以是正的，也可以是负的。阿尔索夫，i≥ 0十、∈ R、 和a=-p/（kvj，i）。考虑到这些观察结果，我们现在提出我们的方法。2.1.1。vj，i<0对于vj，i<0的每个间隔，即。

我∈ Z∩ [1，nj]这样X∈【十一】-1，Xi]，X=-∞, xi≤ Xmj，作为Kummer方程的第一个独立解，我们取Y（z）=zU（a+1，2，z），k=1/2，这意味着由于退化超几何方程的线性，Kummer函数的任何线性组合也可以解该方程。局部波动率在某个区间波动的情况，即a=0，和a→ ∞, 参见第4节。a>0。根据z的定义，X=u- z/（2k）=u- z、 因此，当X→ -∞ 我们有z→ ∞ 和ekXY（z）→ 该解在整个区间X<xmj内数值稳定，但点z=0除外，该点对应于X=u，或等效地，vj，i=0；如果u<Xmj，该点属于我们的区间。在z=0时，解决方案具有亚伯拉罕点，Olver（1997）。U（a，b，z）的主分支对应于z的主值-a沿间隔在z平面上有一个切口(-∞, 0）。然而，我们可以观察到，在z=0时，等式（8）变成了ADE生成的ODE，其解立即读取^Bj=pBj-1（X，τj-1） b+aX=Bj-1（X，τj-1） 。（11） 因此，我们可以从以下考虑中排除这种特殊情况，而如果这种情况在实际校准期间发生，我们只使用公式（11）给出的特殊解，而不是一般解。作为vj的Kummers方程的第二个独立解，i<0（或X<Xmj），我们有两个选择：Y（z）=zezU（1- a、 2、，-z） 或Y（z）=zM（a+1，2，z）。可以证明，如果我们取前者的k=-1/2（因此a<0且X=u+z），然后两种溶液e-X/2Y（X）和eX/2Y（X）仅相差常数eu，因此它们不是独立的。因此，我们必须保持k=1/2，a>0，X=u-Z