买卖价差下期权价格的一致性

这些概念对于构建-一致的价格，由下面的引理明确表示。从证明中可以明显看出，序列（ut）由（折扣）参考价格的边缘组成，而（νt）给出了买卖价差内鞅的边缘。证明使用了我们的配套论文（引理9.1 in[9]）中的耦合结果。引理2.7。对于 ≥ 0价格（2.1）–（2.4）为-与无套利一致，当且仅当S- s≤  并且有一系列严格支持的措施（ut）t∈T*和（νt）t∈T*以M表示：（i）Rut（kt，i）∈ [rt，i，rt，i]对于所有t∈ T*而我∈ {1，…，Nt}，和ut([, ∞)) = t为1∈ T*,（ii）（νt）t∈T*孔雀及其平均满意度∈ 【S，S】和（iii）W∞（ut，νt）≤  对于所有t∈ T*.证据Let（ut）t∈T*和（νt）t∈T*如上所述。回想一下，Strassen定理（文献[17]中的定理8）断言，任何孔雀都是鞅的边缘序列。因此，存在一个带有鞅（eSt）t的有限过滤概率空间∈t这是测试的法则∈ T*.从（iii）和定义2.6之前的备注中可以看出，存在一个概率空间，其中包含过程^M和^sce，因此^Mt~ νt，D（t）^SCt~ ut和| Mt- D（t）^SCt |≤  对于t∈ T*.正如[9]中定理9.2的证明一样，很容易看出有限支持条件意味着存在具有这些性质的有限概率空间。su-efficiency语句现在很容易遵循[9]中的引理9.1。事实上，这个引理产生了一个具有适应过程（St）t的有限过滤概率空间∈Tand（SCt）t∈T*满足ˇS是一个鞅，ˇSt~ νtand D（t）SCt~ ut用于t∈ T*,o |ˇSt- D（t）SCt |≤  对于t∈ T*.然后需要定义*t： =B（t）ˇSt，St：=SCt∧ s*t、 St：=SCt∨ s*t、 t型∈ T*,获得无套利模型。

注意，（ii）中的第二个断言确保≤ s*T≤ t的保留∈ 不仅仅是T*.相反，假设给定的价格为-一致的对于t∈ T*, 定义D（t）SCt定律和S定律*t、 然后很容易看到所述条件得到满足。至于有限支撑条件，请注意定义2.1中的概率空间是有限的。为了准备模型独立和弱套利的核心概念，我们现在在银行账户、基础资产和看涨期权中定义了中国的静态交易策略。这里，半静态意味着看涨期权的位置在时间零点固定。定义与模型无关；一旦选择了一个模型（定义2.1），t-交易期内的风险股数量即变为φt（Su）1≤u<t，（SCu）1≤u<t，（Su）1≤u<t, T∈ T*. （2.11）定义2.8。（i） 半静态投资组合或半静态交易策略是一种三重Φ=（φt）t∈T*, （φt）t∈T*, （φt，i）t∈T*, 我∈{1，…，Nt},其中φ∈ R、 φt：（0，∞)3吨→ 对于t，R是Borel可测量的∈ T*, 与φ和φt类似，i∈ R代表t∈ T*, 我∈ {1，…，Nt}。这里，φt表示对银行账户的投资，φt表示从t- 1至t，φt，i∈ R是到期日为t的期权数量∈ T*还有strike Kt，投资者在timezero购买的。（ii）如果φt+1（st）=B（t+1）B（t）φt（st），则半静态投资组合称为自融资-1） +NtXi=1φt，i（sCt- Kt，i）+-φt+1（st）- φt（st-（1）+st公司+φt+1（st）- φt（st-（1）-1的暂挂≤ t<t和su，sCu，su∈ （0，∞), 1.≤ U≤ t、 其中：=（su）1≤U≤t、 （sCu）1≤U≤t、 （su）1≤U≤T.

（2.12）（iii）对于价格（2.1）–（2.4），半静态投资组合的初始投资组合值Φ由Φ：=φ+（φ）+S给出- （φ）-S+Xt∈T*NtXi=1（φt，i）+rt，i- （φt，i）-rt，i.这是建立投资组合Φ的成本。（iv）T时的清算价值定义为Φ（sT）：=B（T）B（T- 1） φT（sT-1） +NTXi=1φT，i（sCT- KT，i）+-φT（sT-（1）-sT公司+φT（sT-（1）+sT.定义了半静态投资组合后，我们现在可以制定两个有用的套利概念。定义2.9。允许 ≥ 0、价格（2.1）–（2.4）允许在利差范围内进行模型独立套利, 如果我们能够在银行账户、基础资产和期权中形成一个自我融资的半静态投资组合Φ，那么初始投资组合价值rΦ为负值，以下情况成立：对于所有实数st、sCt、st∈ （0，∞), 1.≤ T≤ T，满足度0<st≤ sCt公司≤ st，t∈ T*,st公司- st公司≤ B（t），t∈ T*,sCt公司≥ B（t），t∈ T*,（参见（2.5）、（2.6）和（2.7）），我们有LΦ（sT）≥ 定义2.10。允许 ≥ 0、价格（2.1）–（2.4）允许差价范围的弱套利机会 如果没有模型独立的套利策略（关于扩散界), 但对于满足（2.6）和（2.7）的任何模型，存在一个半静态投资组合Φ，使得初始投资组合值rΦ为非正，LΦ（（Su）1≤U≤T、 （SCu）1≤U≤T、 （Su）1≤U≤T）≥ 0，andPLΦ（（Su）1≤u≤T、 （SCu）1≤U≤T、 （Su）1≤U≤T） >0> 0.大多数情况下，我们会 ≥ 0和只写模型独立套利，意味着模型独立套利关于利差边界, 弱套利也是如此。弱套利（即模型相关套利）的概念首次在[6]中使用，作者举例强调了弱套利和模型独立套利之间的区别。关键的区别在于，弱套利机会可能取决于模型的空集。

E、 例如，假设我们想根据某个看涨期权是否会在货币中以正概率到期，使用两种不同的套利策略。此类投资组合可能表现出弱套利（定义2.10），但不会表现出模型独立性（定义2.9）。3单一到期：-一致性在本节中，我们描述-在所有期权到期日一致的特殊情况下，一致性（根据定义2.4）。单一到期日的一致性条件类似于[6]的定理3.1和[5]的命题3。除了此处给出的条件外，我们还必须假设SCI的平均值与S“足够接近”。we fix t=1∈ 为了便于记法，我们通常会删除时间索引，也就是说，我们写的是Ri而不是r1，ietc。在无摩擦的情况下，可以通过点击k=0的选项识别基础。在这里，我们将做一些类似的事情：在下一个定理的公式中，我们设置k=, 好像我们会引入一个带有罢工的选项B（1），但我们想到C(B（1））作为基础。r=S的选择- 2. 定理3.1中的r=Smade可以如下激励：-与无套利一致，（2.7）意味着具有行使权的期权的贴现预期收益B（1）必须满足YD（1）E[（SC- B（1））+]=D（1）E[SC]- .此外，为了保证一致价格体系的存在，D（1）E[SC]必须位于闭区间内- , S+], 这意味着行使B（1）的期权的价格 在间隔时间内有tolie- 2., S] 。

因此，在定理3.1（见附录）的证明中，我们将使用符号Ct(B（t））作为参考，以及-Ct(B（t））作为基准空头头寸加上额外存款2的参考 在银行账户中。在制定单一到期日的主要结果之前，我们回顾一下，KJ定义了黄油期货合约（到期日为1）- KiC（Ki）-千焦- Ki+Kl- 千焦C（Kj）+Kl- KjC（Kl），其中0≤ i<j<l≤ N、 而且它的收益是非负的。看涨期权价差是一个由平仓和短期看涨期权组成的投资组合，其中短期看涨期权具有较大的行权。定理3.1。允许 ≥ 0，并考虑第2节开头的价格，T=1，k> （见（2.7）后的备注）。此外，为了便于记法（见以上备注），weset k=, r=S- 2., r=S。那么价格是-一致（见定义2.4），前提是以下条件成立：（i）所有黄油差价均具有非负的时间0价格，即rl- rjkl公司- 千焦≥rj公司- 里基- ki，0≤ i<j<l≤ N、 （3.1）（ii）认购价格令人满意- 里克尔- ki公司≥ -1，0≤ i<l≤ N、 （3.2）（iii）所有看涨期权价差都有非负的时间0价格，即rj≤ ri，0≤ i<j≤ N、 （3.3）（iv）如果看涨期权价差为零成本，则相关期权的出价为零。askprice，即rj=ri=> rj=ri=0，0≤ i<j≤ N、 （3.4）此外，只要（i）–（iii）中的任何一个条件不满足，就存在一个模型独立套利。最后，如果（i）–（iii）持有但（iv）失败，则存在较弱的套利机会。该定理在附录A和附录B中得到了证明。我们得出结论，Davis和Hobson[6]在无摩擦情况下发现的一致性/弱套利/模型独立套利的三分法在买卖价差下仍然存在（至少在一个周期内）。对于 = 0和ri=ri=ri，定理3.1中的条件简化为0≥ri+1- riki+1- ki公司≥国际扶轮社- 国际扶轮社-1ki- ki公司-1.≥ -1，对于i∈ {1。

N- 1} ，andri=ri-1对于i，Implies ri=0∈ {1，…，N}。这些正是[6]中定理3.1所要求的条件。备注3.2。请注意，与无摩擦的情况相比，我们不必要求出价或出价随着罢工的增加而降低，以获得-与无套利一致。这意味着我们不需要ri≥ rjor ri≥ 对于i<j，如以下示例所示。考虑两种看涨期权，其中 = 0（标的资产无息差），价格由S=S=5，ri=i+5，ri=1+i，ki=i表示i=1，2。我们假设银行账户在到期前保持不变。这些价格和影子价格的可能选择-1 0 1 2 3 4 5 60 2 4 6 8罢工价格rBid价格rShadow价格eRu图1：该示例表明，没有必要将要价与。投标价格下降。r、 t.罢工。该行表示δ的调用函数。ei：=D（1）E[（SC- Ki）+]如图1所示。（注意，附录A中定理3.1的证明中引入了影子价格。）显然，定理3.1中的所有条件都满足，因此存在无套利模型。例如，我们可以选择u=δ，其中δ表示狄拉克δ。这个例子表明，在我们的环境中，从无套利的角度来看可以接受的价格不一定具有经济意义：由于到期时C（K）的支付永远不会超过C（K）的支付，C（K）的效用差异要价不应高于C（K）的效用差异要价。根据定理3.1，很容易显式计算所有 因此，给定的价格是-一致，这就完成了-单周期情况下的一致性问题。

请注意，（3.1）–（3.4）显然必须满足i、j、l>0的条件，因为这些条件取决于 仅适用于i=0（另请参见下面的命题4.1）。推论3.3。假设给定价格满足方程（3.1）–（3.4），i、j、l>0。Thenfor公司 ≥ 0价格为-与无套利一致当且仅当 满意度： ≥ 最大值s- S、 S-国际扶轮社- ki公司, 千焦-rj公司- Srl公司- rj公司·吉隆坡- 千焦,1.≤ 我≤ N、 1个≤ j<l≤ N使得rl>rj， ≤ 最小值k、 千焦-rj公司- Srl公司- rj公司·吉隆坡- 千焦, 1.≤ j<l≤ N使rl<rj。证据首先，不平等 ≥ s- 沙 ≤ K以下为定义-一致性（见（2.6）和（2.7））。剩余的不平等随后在（3.1）和（3.2）中设置i=0。4多重到期：一致性和-一致性正如导言中所述，我们的主要目标是找到基础的买入卖出价差的最小界限，使我们能够复制给定的期权价格。以下结果表明，如果未施加此类约束，则情况属实（另见示例2.3）。在我们的措辞中，我们确认了一致性条件（定义2.2），而不是-一致性（定义2.4）。重新调用定理3.1中使用并在前面解释的符号，其中（3.1）-（3.4）中允许i=0，从而导致这些条件依赖于沙S。在下面的命题中，另一方面，我们需要i，j，l≥ 因此，在检查期权价格的一致性时，标的资产的当前买入价和卖出价是不相关的。因此-一致性似乎比一致性更有意义。提案4.1。价格（2.1）–（2.4）与无套利一致（见定义2.2），当且仅当∈ T*, 定理3.1中的条件（3.1）–（3.4）适用于i、j、l∈ {1，…，Nt}。证据通过模仿定理3.1第一部分对i，j，l>0的证明，我们发现这些条件是必要的。

现在Fix t∈ T*并假设条件成立。正如定理3.1的效率证明一样，我们可以构造et，1，et，2，et，nt这样et，i∈ [rt，i，rt，i]。点（kt，i，et，i）i的线性插值lto∈然后可以将{1，…，Nt}扩展为测度ut的调用函数（参见定理3.1的效率证明的最后部分）。我们定义了随机变量SCt，其中D（t）SCt定律由ut给出。然后我们得到了D（t）E[（SCt- Kt，i）+]=et，i∈ [rt，i，rt，i]，i∈ {1，…Nt}。此外，我们选择s∈ [S，S]并为所有t设置νt=δS（Dirac delta）∈ T*. 显然，（νt）t∈T*是一只孔雀*t=B（t）s，这意味着D（t）s*T~ νt.最后，我们定义了St=S*T∧ SCtand St=S*T∨ 并由此构建了一个无套利模型。为我们的主要结果做准备-在多周期模型中的一致性，我们现在回想一下[9]的主要结果，它给出了引理2.7中孔雀（νt）存在的标准。还记得符号W∞, M在定义2.6之前引入。根据[9]中的第3.2条 > 0，测量值u∈ M、 和M∈ [Eu- , Eu+], 集合{ν∈ M：W∞（u，ν）≤ , Eν=m}具有最小和最大的元素，它们各自的调用函数可以通过u的调用函数Ru（参见（2.10））明确表示如下：Rminu（x；m，) =m+Ru（x- ) -Eu+∨ Ru（x+),Rmaxu（x；m，) = conv公司m+Ru（·+) -Eu- , Ru（·）- )（x） ，其中conv表示凸包。文[9]的主要定理给出了在W中存在孔雀的一个等价条件∞-距离 一系列给定的度量。定理4.2（文献[9]中的定理3.5]）。允许 > 0和（un）n∈Nbe M中的一个序列，使得i：=\\n∈N[EuN- , Eun+]不为空。然后存在一只孔雀（νn）n∈Nsuch茅草∞（un，νn）≤ , 适用于所有n∈ N、 （4.1）当且仅当对于某些m∈ I和for all N∈ N、 x。

，xN∈ R、 我们有rminu（x；m，) +NXn=2Run（xn+σn）- Run（xn-1+σn）≤ RmaxuN+1（xN；m，). （4.2）这里，σn=sgn（xn-1.- xn）取决于xn-1和xn。在这种情况下，可以选择Seeν=Eν=···=m。我们现在可以给出多周期的部分解-一致性问题。必须假设引理2.7中度量ut的存在性（DSC的边缘），但孔雀的存在性（νt）可以使用定理4.2用相当明确的条件来代替。定理4.3。对于 ≥ 0价格（2.1）–（2.4）为-与无套利一致，当且仅当S- s≤  并且有一系列明确支持的措施（ut）t∈T*其中：（i）Rut（kt，i）∈ [rt，i，rt，i]对于所有t∈ T*而我∈ {1，…，Nt}，和ut([, ∞)) = t为1∈ T*,（ii）有ism∈\\T∈T*[Eut- , Eut+] ∩ 这样，对于所有N∈ {1，…，T- 1} 和x，xN公司∈ RRminu（x；m，) +NXn=2Run（xn+σn）- Run（xn-1+σn）≤ RmaxuN+1（xN；m，),式中，σnis如定理4.2所示，且un：=uT或n>T。证据引理2.7和定理4.2的立即数。由于我们允许任意参考价格过程科学定义2.1和2.2，我们的一致性概念相当薄弱。它可以通过要求界（2.6）仅以一定的概率而不是几乎肯定的概率保持来进一步削弱。然而，根据以下定理，只要价格一致，我们总能找到这样一个模型。定理4.4。让p∈ （0，1）和 ≥ 对于给定的价格（2.1）–（2.4），以下是等效的：（i）价格满足定义2.4(-一致性），但将（2.6）替换为最弱条件pSt公司- St公司≥ B（t）≤ p、 t型∈ T（ii）价格与无套利一致。为了证明定理4.4，我们采用了文献[9]中关于修正Prokhorov距离的结果。定义4.5。

对于p∈ [0，1]和R上的两个概率度量u，ν，我们定义了修正的Prokhorov距离asdPp（u，ν）：=infnh>0：ν（A）≤ u（Ah）+p，对于所有闭合集A Ro。（要确定标准Prokhorov距离，请将右侧的p替换为h。）注意dp=W∞. Strassen首先证明了一个众所周知的结果，然后Dudley对该结果进行了扩展[8，17]，解释了dPpto最小距离联轴器的连接。提案4.6。R，p上的给定度量值u，ν∈ [0，1]和 > 0，存在概率空间(Ohm, F、 P）随机变量X~ u和Y~ ν这样的话十、- Y |>≤ p、 （4.3）当且仅当ifdPp（u，ν）≤ . （4.4）以下结果表明，与W∞, 总是存在一个近似的孔雀。r、 t.dPpfor 0<p≤ 这解释了为什么定理4.4中非常弱的一致性条件仅限于（i）。定理4.7（文献[9]中的定理8.3]）。Let（un）n∈Nbe a序列，单位为M， > 0和p∈ （0，1）。那么，对于所有m∈ 存在孔雀（νn）n∈n平均值为m，使得dpp（un，νn）≤ .定理4.4的证明。（i） 暗示（ii）定义。为了说明其他含义，我们定义了概率度量（ut）t∈T*在命题4.1的证明中，Rut（kt，i）∈ [rt，i，rt，i]因为我∈ {1，…Nt}和t∈ T*. 现在我们选择s∈ [S，S]。然后根据定理4.7，存在一个孔雀（νt）t∈T*平均值s使得dPp（ut，νt）≤  对于所有t∈ T*. 我们现在可以使用命题4.6，并按照引理2.7的证明来得出结论，存在随机过程（eSCt）t∈T*和（eS）*t） t型∈T*其边际分布由（ut）t给出∈T*响应。（νt）t∈T*, 以便*t） t型∈T*是鞅之类的eS公司*T-eSCt公司≥ ≤ p、 t型∈ T*.我们使用的耦合引理（引理9.1 in[9]）在[9]中针对特殊情况p=0进行了公式化，但证明通常扩展到p∈ [0，1]。