买卖价差下期权价格的一致性

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英文标题：
《Consistency of option prices under bid-ask spreads》
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作者：
Stefan Gerhold and I. Cetin G\\\"ul\\\"um
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Given a finite set of European call option prices on a single underlying, we want to know when there is a market model which is consistent with these prices. In contrast to previous studies, we allow models where the underlying trades at a bid-ask spread. The main question then is how large (in terms of a deterministic bound) this spread must be to explain the given prices. We fully solve this problem in the case of a single maturity, and give several partial results for multiple maturities. For the latter, our main mathematical tool is a recent result on approximation by peacocks [S. Gerhold, I.C. G\\\"ul\\\"uum, arXiv:1512.06640].
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中文摘要：
考虑到单一标的的欧洲看涨期权价格的有限集合，我们想知道何时存在与这些价格一致的市场模型。与之前的研究不同，我们允许模型中的基础交易以买卖价差进行。那么，主要的问题是，为了解释给定的价格，这个价差必须有多大（就确定性范围而言）。我们在单一到期的情况下完全解决了这个问题，并给出了多个到期的部分结果。对于后者，我们的主要数学工具是关于peacocks近似的最新结果【S.Gerhold，I.C.G“ul”uum，arXiv:1512.06640】。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Consistency_of_option_prices_under_bid-ask_spreads.pdf (536.44 KB)

2022-5-25 14:42:14 上传

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关键词：一致性 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

买卖价差下期权价格的一致性Tefan GerholdTUWiensgerhold@fam.tuwien.ac.atI.Cetin G¨ul¨um*杜文斯梅尔。塞汀。gueluem@gmx.netJuly2017年8月17日摘要考虑到单一标的的欧洲看涨期权价格的有限集合，我们想知道何时存在与这些价格一致的市场模型。与之前的研究不同，我们允许模型中的基础交易以买卖价差进行。那么，主要的问题是，为了解释给定的价格，这个价差必须有多大（就确定性范围而言）。我们在单个到期的情况下完全解决了这个问题，并给出了多个到期的部分结果。对于后者，我们的主要数学工具是peacocks近似的最新结果[S.Gerhold，I.C.G¨ul¨um，arXiv:1512.06640]。关键词：交易成本、买卖价差、看涨期权、鞅、孔雀、斯特拉森定理。1引言将鞅与给定的期权价格进行校准是数学金融的一个中心主题，因此，这是一个很自然的问题，期权价格集允许这样的价格，而期权价格集不允许这样的价格。请注意，我们对近似模型校准不感兴趣，但对期权价格的一致性感兴趣，这意味着无套利模型能够精确地拟合给定的价格。换言之，我们希望在给定的价格中检测套利。我们不考虑连续买入价格表面，但仅限于（实际上更相关的）罢工和到期次数众多的情况。因此，考虑到金融资产上有很多欧洲看涨期权。在无摩擦的情况下，一致性问题是很好理解的：Carr和Madan[4]假设利率、股息和买卖价差为零，并推导出无套利模型存在的必要和充分条件。从本质上讲，给定的买入价格不得允许日历套利或完全套利。

Davis和Hobson[6]将利率和股息计算在内，得出了类似的结果。他们还描述了明确的套利策略，只要存在套利。Buehler已经完成了与Concurrent相关的工作[2]。Carr和Cousot[3]超越了存在性，提出了具有实际吸引力的校准鞅的显式构造。最近，Tavin[18]考虑了多种资产的期权，并研究了在这种情况下是否存在套利策略*我们感谢奥地利科学基金（FWF）在P 24880赠款项下的财政支持。我们感谢匿名裁判以及柏林、第12届德国概率与统计日（波鸿）、勒芒、乌尔姆、维也纳、奥伯沃尔法赫和第9届BFS大会（纽约）的研讨会和会议参与者提出的有用问题和意见。背景斯波伊达（Spoida）[16]给出了一组价格的一致性条件，这些价格不仅包含了货币，还包含数字屏障选项。许多相关参考文献参见【11】。与几乎所有数学金融结果一样，市场摩擦的稳健性是评估这些结果实际吸引力的一个重要问题。令人惊讶的是，人们似乎对这方面的一致性问题知之甚少，唯一的例外是库索的一篇论文[5]。他允许期权的正买卖价差，但不允许基础价差，并确定了价格条件，从而确定了解释它们的无障碍模型的存在。本文的创新之处在于，我们允许在基础上进行买卖价差。如果不对该价差的大小进行任何进一步的假设，结果表明，标的证券的报价与看涨期权的报价之间没有任何联系：任何试图利用不合理价格的策略都可能因标的证券的巨大买卖价差而变得不可能（见示例2.3和命题4.1）。

在这方面，问题不在于w.r.t.在基础上引入利差。然而，任意大的价差似乎值得怀疑，因为对于液体底层来说，价差通常很紧。因此，我们明确指出，适当的问题不是“给定价格何时一致”，而是“需要多大的潜在资产的阿比德ask利差来解释它们？”因此，我们设定了一个界限 ≥ 0关于折扣价格的价差，并希望确定 这就产生了一个解释给定价格的模型。然后，我们将认购价格参考为-一致的（无障碍的）。为了确定看涨期权的支付，我们使用在买卖价差内演变的任意参考价格过程。我们证明（命题2.5），如果该参考过程是标的物的投标和风险价格的算术平均值，则一致性问题不会发生显著变化。回想一下，上述文献[4,5,6]中用于构建无套利模型的主要技术工具是斯特拉森定理[17]，或其修正。在金融背景下，该定理表明存在期权价格随到期日增加的鞅模型。如果允许在基础资产上进行价差，则后一种资产将发生违约。因此，我们将采用我们最近的配套论文[9]中的一些结果，该论文讨论了拉森定理的变体和孔雀近似度量序列（过程增加了W.r.t.凸阶）。我们假设离散的交易时间和有限的概率空间；如果不这样做，预计在可处理性或现实性方面不会有任何收获。在单一到期的情况下，我们得到的simpleexplicit条件等价于-一致性（定理3.1）。另一方面，多周期问题似乎具有挑战性。

我们提供了两个部分结果：对于-一致性（定理5.3）和充分的半显式条件（定理4.3）。在这里，“半显式”的意思是：我们的一致性定义要求存在两个度量序列，它们不是“相距太远”，其中一个是孔雀。它们对应于一致的价格体系。我们的结果没有说明参考价格过程的存在，但包含了孔雀存在的明确条件。本文的结构如下。在第2节中，我们描述了我们的设置，并给出了问题的精确公式。此外，还解释了孔雀和近似测量序列的重要性。然后，在第3节中，我们给出了单期有界买卖价差的无套利模型存在的必要和充分条件。我们关于多周期问题的主要结果包含在第4节中。在这里，我们调用了[9]中的主要结果。多个到期日的必要（但更明确）条件见第5节。第6节结束。2 bid-ask-spreadsOur时间索引集下的一致性问题将是T={0，…，T}，其中1≤ T∈ N、 0表示今天。通过稍微滥用术语，我们将T中的整数称为“到期日”，而不是“到期指数”。我们写T*= T中正时间集的{1，…，T}。每当我们谈论“给定价格”或类似的内容时，我们指的是以下数据：正确定性银行账户（B（t））t∈Twith B（0）=1，（2.1）打击0<Kt，1<Kt，2<···<Kt，Nt，Nt≥ 1，t∈ T*, （2.2）相应的看涨期权买卖价格（时间零点）0<rt，iresp。0<rt，i，1≤ 我≤ Nt，t∈ T*, （2.3）以及标的0<S的当前买入价和卖出价≤ s

（2.4）我们写D（t）=B（t）-1对于到期时间为t，和Kt的零息票债券的时间零价格，i=D（t）Kt，如果贴现罢工。符号Ct（K）表示到期日和行使日为K的看涨期权。在标的证券存在买卖价差的情况下，如何确定期权的支付金额并不明显；这个问题似乎在交易成本文献中被忽视了。事实上，假设一个代理持有一个行使价为100美元的看涨期权，到期日T=1买入和卖出分别为S=99美元。S=101美元。然后，代理人可能希望行使以99美元而不是100美元获得证券的期权，或者他可能会放弃期权，理由是花费100美元将为他赢得清算价值仅为99美元的头寸。如果不做进一步的假设，就无法确定行使决策。实际上，标的证券的报价是实际交易发生的最后一个价格。然后，该价格触发现金结算期权。然而，这种方法在我们的设置中是不可行的，因为我们的设置中不包括订单。在交易成本下期权定价的文献中，通常假设标的物的买卖是中间价的常数倍数（通常假设为几何布朗运动）。然后，该中间价被用作决定是否应行使期权的触发器，然后再进行实物交割【1、7、19】。不过，这种恒定比例的中间价引发行使的假设似乎有些特别。为了以一种节约的方式处理这个问题，我们假设看涨期权是现金结算的，使用的是参考价格过程SC。这个过程在买卖价差内发展。它本身不是一种交易资产，只是用于固定看涨期权支付（SCt- K） +对于走向K和成熟度t。

这笔款项立即转入银行账户，无需支付任何费用。定义2.1。模型由有限概率空间组成(Ohm, F、 P）离散过滤（Ft）t∈t三个自适应随机过程S、S和SC，满足0<St≤ SCt公司≤ St，t∈ T*. （2.5）很明显，Stand ST表示投标响应。在时间t时询问标的物的价格。请注意，在我们的术语中，初始出价和要价是给定价格的一部分（见（2.4）），因此定义2.1中的过程通过时间t进行索引*= {1，…，T}，而不是通过T={0，…，T}。至于参考价格过程SC，我们不坚持特定定义（例如，SC=（S+S）），但允许在买卖价差内进行任何调整。我们现在对期权价格的一致性进行了定义，考虑到基础和期权的买卖价差（任意大）。随机变量之间的方程和不等式通常被理解为几乎肯定成立。定义2.2。价格（2.1）–（2.4）与无套利一致，前提是存在一个模型（定义2.1的意义上），即oE[（D（t）SCt- kt，i）+]∈ [rt，i，rt，i]，1≤ 我≤ Nt，t∈ T*,o 有一个过程*)T∈Tsuch那条街≤ s*T≤ Stfor t∈ 并使（D（T）S*t） t型∈Tisa P-鞅。r、 t.过滤（Ft）t∈T、 这对*, P） 被称为一致价格体系。流程S*也被称为影子价格。根据卡巴诺夫（Kabanov）和斯特里克（Stricker）[13]（另见[14]），这些要求产生了一个无套利模型，包括标的期权和每个看涨期权的买入和卖出价格过程。事实上，对于成熟度为t和strike为Kt的看涨期权，我可以rt，i{s=0}+B（s）E[（D（t）SCt- kt，i）+Fs]1{s>0}s∈Tas投标价格流程（与询价类似），以及B（s）E[（D（t）SCt- kt，i）+Fs]s∈Tas定义2.2第二部分中的流程。

我们建议Schachermayer的新书【15】第1节作为FTAP在比例交易成本下的可访问介绍。如引言所述，如果根据定义2.2定义一致性，则基础和期权的当前价格之间没有相互作用，这似乎没有什么意义。作为一个例子，以下两个时期的例子显示了在存在足够大的价差的情况下，无摩擦的sarbitrage策略可能会失败；下面的命题4.1给出了一般结果。示例2.3。设c>0为任意值。我们设置k：=k1，1=k2，1=1，假设B（1）=B（2）=1，S=2，r：=r1，1=r1，1=c+1，r：=r2，1=r2，1=1。因此，C（k）“太贵”，如果没有摩擦，购买C（k）-C（k）将是一个套利机会（如果C（k）到期，出售一个单位的股票）。特别是，违反了[6]中推论4.2和[5]中等式（5）的第一个条件：它们都表示≤ ris是缺乏套利策略的必要条件。但对于价差，我们可以选择任意大的c，但上述价格仍将保持一致，没有套利。事实上，我们可以定义如下确定性模型：S=S=2，S=2c+2，S=2，SC=（S+S）。注意（SC- k） +=1和（SC- k） +=c+1。该模型无套利（见下文第4.1条）。特别是考虑portfolioC（k）- C（k）：短通话-C（k）在货币中完成支付-（c+1）。这不能通过做空股票来弥补，因为它的出价保持在2。在t=1时做空股票的情况下，该策略在t=2时的支付为（SC- k）+- （SC- k）+- （S）- S） =-c<0。因此，我们的重点将是一个更强的一致性概念，即基础上的贴现利差是有界的。

因此，我们的目标是确定需要多大的价差来解释给定的期权价格。请注意，我们没有提到物理概率度量，因为它与我们的研究无关。定义2.4。允许 ≥ 0.那么价格（2.1）–（2.4）为-与无套利一致，或只是-一致，如果一致（定义2.2）且满足以下条件，则- St公司≤ B（t），t∈ T，（2.6）SCt≥ B（t），t∈ T*. （2.7）界限（2.7）是对参考价格SC的附加温和假设，具有可分割性，并且考虑到市场价格和价差的实际规模是有意义的（回想一下≤ SC）。同样，在我们的主要结果中-一致性我们假设所有折扣罢工kt，i大于. 如果 = 0且（2.3）和（2.4）中的买卖价格一致，则我们从[6]中恢复无摩擦一致性定义。如上所述，我们不坚持对参考价格SC进行任何具体定义。然而，不难看出，选择SC=（S+S）会产生几乎相同的概念-一致性提案2.5。允许 ≥ 0并假设我们对无套利模型感兴趣，其中，除了定义2.4的要求外，我们还有thatSCt=St+St，t∈ T*. （2.8）然后我们用算术方法计算价格（2.1）-（2.4）-一致的对于 ≥ 0，价格算术上为2-一致当且仅当它们是-一致的证据首先，假设存在一个算术2-一致的模型，对应的随机过程St、St、SCt、S*t、 我们确定新的出价和要价St：=SCt∧ s*横截面：=横截面∨s*t、 那么（2.8）意味着St-St公司≤ B（t）. 因此，模型由St、St、SCt、S组成*tis公司-一致的相反，假设给定的价格为-一致的然后存在进程扫描*关于概率空间(Ohm, F、 P）使| SCt- s*t |≤ B（t） a、 s。

然后我们简单地设置St=SCt- B（t） 和St=SCt+B（t）, 从而构造了一个算术2-一致的模型。请注意，命题2.5的陈述并不具有一致性（而不是一致性），如果我们用CT=pSt+（1）替换（2.8）也不成立- p） St，t∈ T*,其中p∈ [0，1]和p 6=。过程（D（t）SCt）t∈t不必是鞅，因为SCI不在市场上交易。不过，期权价格为我们提供了一些有关SC流程边际的信息。另一方面，过程（D（t）S*t） t型∈这是一个鞅，但我们没有关于它的边值的信息，除了*T- SCt |≤ B（t）。这意味着∞LD（t）SCt, LD（t）S*T≤ , T∈ T*, （2.9）其中W∞表示单位Wasserstein距离，L表示随机变量定律。距离W∞定义为M，即R上的概率测度集，具有有限的平均值，byW∞（u，ν）=inf kX- Y k公司∞, u，ν∈ M、 最小值覆盖所有概率空间(Ohm, F、 P）和带有边缘（u，ν）的随机对（X，Y）。有关W的一些参考资料，请参见[9]∞. 对于 ≥ 0和随机变量X和Y，条件w∞（LX，LY）≤  等价于随机变量概率空间的存在性~ LX，Y~ LY使| X- Y |≤  a、 s.（这是Strassen的另一个结果，请参阅下面的位置4.6。）定义2.6。设u，ν为M中的两个度量值。然后我们说u在凸序中小于ν，在符号u中≤cν，if对于每个凸函数φ：R→ 我们有Rφdu≤Rφdν，只要两个积分都定义得很好。一系列度量值（ut）t∈T*在M中，如果us，则称为孔雀≤cut适用于所有s≤ t英寸t*（参见[12]中的定义1.3）。对于u∈ M和x∈ R我们定义u（x）=ZR（y- x） +u（dy），（2.10）u的调用函数。测量值u的平均值将由Eu=Ryu（dy）表示。