买卖价差下期权价格的一致性

然后我们简单地把*t=B（t）eS*t、 SCt=B（t）eSCt，St=S*T∧ SCt，且St=S*T∨ SCt。5多个到期日：必要条件-一致性上一节的主要结果（定理4.3）给出了-一致性本节的目标是提供明确的必要条件。对于单一到期日-一致性条件（定理3.1）是[5，6]中无摩擦条件的推广。他们保证，对于每个到期日∈ T*期权价格可以与度量单位ut关联，例如Eut∈ [S，S]（参见引理2.7）。在本节中，我们陈述了多个期间的必要条件。我们的条件（见定义5.1和定理5.3）相当复杂，因此我们预计获得可处理的等效条件可能并不容易。如果期权只有价差，而基础期权没有价差，则有必要将价格与三个或两个不同的到期日进行比较（见【5】中的公式（4）、（5）和（6）以及【6】中的推论4.2），以获得合适的一致性条件。这些条件表明，测量系列（ut）t∈T*是一只孔雀。如果我们考虑标的证券的买卖价差，并希望检查-符合定义2.4的一致性( > 事实证明，我们需要同时涉及所有到期日的条件（这将通过下面的条件（4.2）变得明确）。因此，我们引入了日历垂直篮子（calendarvertical baskets，CVB），即由看涨期权中的各种多头和空头头寸组成的投资组合。我们首先对CVB进行了定义。然后，在引理5.2中，我们将研究涉及CVB空头头寸的特定交易策略。然后，该策略将作为定理5.3中条件的基础，这是本节的主要结果。

请注意，我们对aCVB的定义取决于 ≥ 0：定义5.1中定义的合同仅在买卖价差以 ≥ 定义5.1。修复u∈ {1，…，T- 1} 以及 ≥ 0，并假设给出了向量σ=（σ，…，σu），x=（x，…，xu），I=（I，…，iu）和J=（J，…，ju），使得（I）xt∈ R代表所有t∈ {1，…，u}，（ii）σ∈ {-1，1}和σt=sgn（xt-1.- xt）对于所有t∈ {2，…，u}，（iii）jt∈ {0，…，Nt}和kt，jt=xt+σt对于所有t∈ {1，…，u}，（iv）it∈ {0，…，Nt}和任何一个kt，它≤ xt公司-1+σtor it=0表示所有t∈ {2，…，u}。然后，我们用这些参数定义一个日历垂直篮子，即合同CV Bu（σ，x，I，J）=C（K1，J）+uXt=2CtKt，jt- CtKt，it- 2.1{σ=-1} 。（5.1）市场问责。CV Bu（σ，x，I，J）的投标价格由CV Bu（σ，x，I，J）=r1，J+uXt=2给出rt，jt- rt，it- 2.1{σ=-1} ，rCV Bu（σ，x，I，J）=r1，J+uXt=2rt，jt- rt，it+ 2.1{σ=-1} 。（5.2）我们将以u作为CVB的到期日。引理5.2。修理 ≥ 对于定义5.1中的所有参数u、σ、x、I、J，存在一个自融资半静态投资组合Φ，其初始值由rΦ=-rCV Bu（σ，x，I，J），因此对于满足（2.6）和（2.7）的所有模型，以及对于所有t∈ {2，…，u+1}下列条件之一成立：（i）φt≥ 0且φt=0，或（ii）φt≥ kt，j- σtandφt=-特别是，所有相应的现金流均为非负。φt，φtar的参数当然与（2.11）中的参数相同，为了简洁起见，省略了这些参数。在引理5.2的证明中，我们归纳地定义了函数φt，φt。在定义独立于模型的策略时，我们还可以使用定义2.8中的确定性虚拟变量（2.12）作为参数。写（Su）u似乎更自然≤t、 （SCu）u≤t、 （Su）u≤t、 尽管如此。

我们只需要记住φt，φtha必须被构造为（Su）u的函数≤t、 （SCu）u≤t、 （Su）u≤t、 不使用这些随机向量的分布。此外，请注意，在定理5.3的后面，我们只需要u<T的情况，因此排除了u=T的情况。引理5.2的证明。假设我们购买合同-CV Bu（σ，x，I，J）=-C（K1，j）+uXt=2CtKt，it- CtKt，jt+ 2.1{σ=-1} ，（5.3）因此，我们获得了rCV Bu（σ，x，I，J）的初始付款。我们必须记住，对于某些t，ift=0∈ {2，…，u}，则（5.3）中的相应表达式表示基础中的长位置，如果对于某些t∈ {1，…，u}，然后表达式-（5.3）中的Ct（Kt，jt）表示基础中的空头头寸加上额外的存款2 在时间0的银行帐户中（请参见第3节的开头）。为了简化符号，我们将写Kt，而不是Kt，itand，jinstead of Kt，jt。我们将归纳地表明，在时间t交易后∈ {1，…，u}我们可以在两种情况中的一种情况下结束：要么投资者持有非负数量的银行单位（即φt+1≥ 0），我们将其称为情景A，或者我们在基础中有一个空头头寸（即φt+1=-1） 和φt+1≥ kt，j- σt；我们将其称为场景B。请注意，场景A和B不是不相交的，但这不会成为问题。我们将首先处理σ=-在σ=1的情况下。Westart，t=1，首先假设j>0。若C（K1，j）过期，则我们不在时间1进行交易，得到φ=2 ≥ 0，所以我们在场景A中。否则，我们出售一个单位的基础，因此φ=2 + k1，j+D（1）s- SC公司≥ k1，j+ = k1，j- σ,产生方案B。回顾第2节，D（t）=B（t）-1、如果j=0，则k1，j=.

在这种情况下，我们不关闭空头头寸，我们得到φ=4 ≥ k1，j- σ, 所以我们也到了场景B。对于归纳步骤，我们将证明分为两部分。在A部分中，我们假设交易时间t后- 1我们在场景A中，在第B部分中，我们将假设在周期t结束时- 1我们在场景B中。A部分：我们将展示，在时间t交易后，我们可以在情况Aor B中结束。首先，我们假设jt，它>0，因此（5.3）中的两个表达式，到期时间t表示期权（而不是基础期权）。在这些假设下，φt系数φt+1≥ D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）SCt公司- Kt，j+.显然，如果Kt，i≤ Kt，jor如果两个期权都到期了，那么φt+1≥ 假设Kt，i>Kt，jand，SCt>Kt，j。这也意味着σt=1。如果是这种情况，我们做空一个单位的基础，φt+1可以从下面开始，如下所示，φt+1≥ D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）SCt公司- Kt，j+ D（t）St≥ kt，j- σt。这对应于情况B。接下来假设jt=0，且它>0。那么我们有kt，j=.交易时间t后，我们将进入场景B，φt+1≥ D（t）SCt公司- Kt，i++ 2. ≥ kt，j- σt。我们继续处理jt>0且它=0的情况。作为kt，j>, 我们可以在时间t，φt+1结束时，关闭基础中的多头头寸，并在方案A中结束≥ D（t）St- D（t）SCt公司- Kt，j+≥ jt=it=0的情况很容易处理，因为多头和空头仓位简单取消。我们完成了A部分。B部分：假设我们在时间t交易后- 1我们处于方案B中，因此φt=kt-1，j- σt-1、首先我们将考虑jt大于0的情况。如果在时间t时，选择权与冲销Kt，jexpires in the money，则我们不会平仓，且φt+1≥ φt+D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）SCt公司- Kt，j= 千吨级-1，j- σt-1+kt，j- kt，i≥ kt，j- σt，这意味着我们将在场景B中结束。

现在我们根据xt区分两种情况-1.≤ xt和xt-1> xt，并始终假设Ct（Kt，j）到期时没有钱。如果xt-1.≤ xt，那么我们也有kt，i≤ kt，jandσt=-1、我们平仓，以方案A结束，φt+1≥ φt+D（t）SCt公司- Kt，i+- D（t）St≥ kt，i- σt- kt，i-  ≥ 0、如果另一方面为xt-1> xT和σt=1，我们不在时间t交易以保持在方案B中，φt+1≥ φt+D（t）SCt公司- Kt，i+> kt，j- σt。我们继续处理jt=0且它>0的情况。和前面一样，我们有kt，j=, 我们可以失去一个空头仓位以保持在方案B中，φt+1=φt+D（t）SCt公司- Kt，i++ 2. - D（t）St≥ 千吨级-1，j- σt-1.- kt，i+≥  - σt=kt，j- σt。如果jt>0且它=0，则我们区分两种情况：任一Ct（Kt，j）到期，超出货币，在这种情况下，我们取消了基础中的多头和空头头寸，并得到φt+1≥ φt≥ 0，对应于场景A。或者，Ct（Kt，j）在货币中过期。然后我们出售一个基础单元，因此我们最终进入方案B，φt+1≥ φt- D（t）SCt公司- Kt，j+ D（t）St≥ 千吨级-1，j- σt-1+kt，j- ≥ kt，j- σt。在上一个不等式中，我们使用了kt-1，j- σt-1=xt-1.≥ kt，i- σt，和kt，i=.jt=it=0的情况也很容易处理，因为多头和空头位置相互抵消，我们在（t+1）-st周期结束时处于场景B中。因此，当我们在时间u进行交易后，我们要么处于场景A，要么处于场景B，这证明了σ=-σ=1的证明类似。我们将首先表明，在时间1交易后，我们可以在场景A或场景B中进行交易，然后在陈述命题后进行归纳，就像σ=-1、首先我们假设j>0。然后，如果期权C（K1，j）到期，我们处于方案A中；否则我们做空基础，得到φ≥ -D（1）SC公司- K1，j+ D（1）S≥ k1，j- ,对应于场景B。

如果j=0，那么我们也有kj，1=, 因此，我们是inscenario B。根据引理5.2，合同买方有一个半静态的、自我融资的交易策略Φ-CV Bu（σ，x，I，J），因此（φu+1，φu+1）仅取决于σu，ku，J（投资者可能在银行账户中有一些盈余）。在下文中，我们将使用此策略并只写-CV Bu（σu，ku，j）分别。rCV Bu（σu，ku，j）代替-CV Bu（σ，x，I，J）分别。rCV Bu（σ，x，I，J）。如果φu≥ 0和φu=0，我们将说日历垂直篮子到期了；否则我们会说它在钱里过期了。下一个定理说明了有界市场中不存在套利的必要条件 ≥ 0、定理5.3。允许 ≥ 0、s、t、u∈ 使得s<T和s<u和i∈ {0，…，Nt}，j∈{0，…，Ns}，l∈ {0，…，Nu}。第2节开头的固定价格，kt，1> 对于allt∈ T然后，对于所有到期日为s的日历垂直篮子∈ T和参数ks，jandσs，以下条件对于-一致性，（i）rCV Bs（σs，ks，j）- rt，iks，j- σs-kt，i+≤ru，l- rCV Bs（σs，ks，j）ku，l+ -ks，j- σs, 如果kt，i+ < ks，j- σs<ku，l+,（5.4）（ii）ru，l- rCV Bs（σs，ks，j）ku，l+ -ks，j- σs≥ -1，如果ks，j- σs<ku，l+, （5.5）（iii）rCV Bs（σs，ks，j）- rt，i≤ 0，如果ks，j- σs≥ kt，i+, （5.6）（iv）rCV Bs（σs，ks，j）- rt，i=0=> rt，i=0，如果ks，j- σs>kt，i+. （5.7）证明。我们假设s<t≤ u和i，l>0。其他案件也可以同样处理。在所有四种情况下（i）–（iv），我们将假设直到时间s，我们都遵循引理5.2中描述的交易策略。（i） 如果（5.4）失败，那么我们设置θ=ku，l+ -ks，j- σsku，l- kt，i∈ （0，1）购买θCt（Kt，i）+（1- θ） 铜（Ku，l）- CV-Bs（σs，Ks，j），获得初始利润。如果日历垂直篮子CV-Bs（σs，Ks，j）到期，则我们有模型独立套利。

否则，我们在时间s有一个基础空头头寸。为了平仓，我们在时间t购买基础θ单位，然后购买1- θ基本时间u的单位。此时u的策略清算值为非负，（ks，j- σs+)B（u）+θ（SCt- Kt，i）+B（u）B（t）+（1- θ） （SCu- Ku，l）++（Ss- SCs）B（u）B（s）- θStB（u）B（t）- （1）- θ） 苏≥ （ks，j- σs）B（u）+θB（u）B（t）SCt公司- Kt，i- St公司+ （1）- θ）SCu公司- Ku，l- 苏≥ks，j- σs- θkt，i- （1）- θ） ku，l- B（u）=0。（ii）接下来，假设（5.5）失败。然后购买合同CU（Ku，l）- CV Bs（σs，Ks，j）+ku，l+ - （ks，j- σs）获得初始利润。如果CV Bs（σs，Ks，j）过期，则我们保留投资组合。否则，我们立即进入空头头寸，并在时间u时平仓。此时清算价值为非负，（ks，j- σs+)B（u）+（Ss- SCs）B（u）B（s）+（SCu- Ku，l）+- 苏+ku，l+ - （ks，j- σs）B（u）≥ 0.（iii）如果（5.6）失败，那么我们购买合同Ct（Kt，i）-负成本的CV Bs（σs，ks，j）。再次，我们可以关注CV-Bs（σs，ks，j）在货币中过期的情况。我们在时间s出售一个单位的基础债券，并在时间t平仓。该策略在时间t的清算价值为非负，（ks，j- σs+)B（t）+（Ss- SCs）B（t）B（s）+（SCt- Kt，j）+- St公司≥ 0.（iv）我们将证明不存在-如果（5.7）失败，则模型一致。在每个模型中，如果CV-Bs（σs，ks，j）在货币中失效的概率为零，我们可以简单地卖出CV-Bs（σs，ks，j），并遵循引理5.2中的交易策略，实现（依赖于模型的）套利。另一方面，如果CV-Bs（σs，ks，j）在货币中以正概率到期，那么我们可以使用与（iii）证明中相同的策略。在时间t，投资组合的清算价值为正，概率为正。注意，如果 = 0，则CV Bs（σs，ks，j）的收益与-Cs（Ks，j）。

记住这一点，很容易验证定理5.3中的条件是[5]中等式（4）、（5）和（6）的推广。（5.4）、（5.5）、（5.6）和（5.7）是否也能满足-一致的模型。猜想5.4。给定定理5.3中规定的条件，给定的价格为-当且仅当（5.4）、（5.5）、（5.6）和（5.7）持有时，与无套利一致。每当（5.4）、（5.5）和（5.6）保持但（5.7）失败时，就会出现weakarbitrage。定理5.3可用于发现与给定市场价格相关的套利机会。然而，如何找到满足定义5.1条件的参数可能并不清楚。为方便读者阅读，我们在本节末尾提供了一个算法，该算法可用于根据第2节开头的价格创建CVB。不难看出，它提供了所有可能的参数配置。一旦选择了特定的CVB，其投标价格可通过（5.2）获得。（i） 选择j∈ {0，…，N}和σ∈ {-1，1}并设置x=k1，j- σ。（ii）给定{x，…，xt-1} ，{σ，…，σt-1} ，{j，…，jt-1} 而且{我，…，它-1} 首选jt∈ {0，…，Nt}。（iii）在以下情况下选择σt：≥ xt公司-1+ 设置σt=-1、 o如果kt，jt≤ xt公司-1.-  设置σt=1；o如果kt，jt=xt-1条σt∈ {-1，0，1}；o如果kt，jt∈ （xt）-1.- , xt公司-1+) \\ {xt-1} 拾取σt∈ {-1，1}；（iv）设置xt=kt，jt- σt 然后选择它∈ {0，…，Nt}使得≤ xt公司-1+σt 或它=0。（v） 重复步骤（ii）至（iv）。6结论我们定义了-一致的价格，这意味着看涨期权和基础期权的一组买入和卖出价格可以用一个模型来解释，该模型的买入和卖出价差以. 对于单一成熟度，我们解决-一致性问题，从无摩擦情况下恢复三分法一致性/weakarbitrage/模型独立套利[6]。

可以很容易地计算一致模型存在的扩展边界的间隔。多周期问题似乎相当棘手。作为第一步，我们提供了两个结果：必要的显式条件和等效的半显式条件。对于后者，我们引用了文献[9]中关于孔雀近似的一个最新结果。最后，我们注意到博士论文【10】的第3.3节讨论了简化假设下的多周期问题。特别是，假设只有基础有买卖价差，但没有期权。定理3.1的证明：-一致性首先表明条件是必要的。在整个证明过程中，我们将用Cito ease符号表示optionC（K1，i）。（i） 假设1≤ i<j<l使得（3.1）不成立。我们买了一份奶油酱，这是合同bfi，j，l=Kj- KiCi+Kl- KjCl公司-千焦- Ki+Kl- 千焦CJ并获得首次付款。如果SCexpires在区间（Ki，Kl）内，则其到期收益为正，否则为零，因此我们有模型独立套利。如果（3.1）i=0失败，我们购买合同bf0，j，l=Kj- BS+Kl- KjCl公司-千焦- B+吉隆坡- 千焦CJ并做一个初始属性。请注意，S表示基础。到期时，合同的清算价值由KJ给出- BS+Kl- 千焦（SC- 吉隆坡）+-千焦- B+吉隆坡- 千焦（SC- Kj）+始终为非负。（ii）假设（3.2）在1≤ 然后我们买一个看涨期权- Ciand investkl公司- 把钱存入银行账户。这将获得初始利润，到期时，期权产生的现金流至少为Ki- Kl，这意味着我们有套利。现在我们考虑i=0的情况。注意，在这种情况下（3.2）等于torl- Skl+≥ -如果失败，我们购买Cl，出售一个基础单位，然后投资kl+ 在银行账户中。

再次，我们获得了初始利润，到期时，我们平仓，从而构建了套利策略。（iii）如果（3.3）0<i<j失败，则我们购买看涨期权价差Ci-CJ并获得首次付款。其到期收益始终为非负。如果（3.3）在i=0时失败，那么我们出售cj并购买一个单位的股票，这也有利于独立套利。（iv）如果（3.4）失败，我们无法找到给定价格的无套利模型。稍后，在附录B中，我们将说明在这种情况下存在较弱的套利机会（根据定义2.10，详细说明不存在模型独立套利）。在P（SC>Kj）=0的任何模型中，我们都可以出售Cj。由于该期权从未行使过，因此会产生套利。另一方面，如果P（SC>Kj）>0，i>0，那么我们购买看涨期权- CJ零成本。到期时，期权产生正现金流的概率为正。如果i=0，则我们购买合同S- 相反，在到期时，投资组合的清算价值由S给出- （SC- Kj），具有正概率。这就完成了必要性的证明。现在我们证明定理3.1中的条件对于-一致性，使用MMA 2.7。我们首先认为，我们可以假设rN=rN=0。实际上，我们可以选择KN+1≥ 最大值（rikj- rjkiri公司- rj：0≤ i<j≤ N、 国际扶轮社- rj>0）∨ 最大{kj+rj：0≤ J≤ N} 并将rN+1=rN+1=0。那么定理3.1中的所有条件都仍然成立，如果我们包括一个额外的期权，行使kN+1，买卖价格等于零。所以从现在开始，我们假设rN=rN=0。我们将首先表明∈ {0，…，N}，我们可以找到∈ [rs，rs]使得点（ks，es）的线性插值L∈ {0，…，N}，是凸的，递减的，因此L的右导数满足L（k）≥ -1.