资产交换场内出售模型中寡头政治的增长：a

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英文标题：
《The Growth of Oligarchy in a Yard-Sale Model of Asset Exchange: A
  Logistic Equation for Wealth Condensation》
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作者：
Bruce M. Boghosian and Adrian Devitt-Lee and Hongyan Wang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The addition of wealth-attained advantage (WAA) to the Yard-Sale Model (YSM) of asset exchange has been demonstrated to induce wealth condensation. In a model of WAA for which the bias is a continuous function of the wealth difference of the transacting agents, the condensation was shown to arise from a second-order phase transition to a coexistence regime. In this paper, we present the first analytic time-dependent results for this model, by showing that the condensed wealth obeys a logistic equation in time.
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中文摘要：
已证明，将财富获得优势（WAA）添加到资产交换的场内销售模型（YSM）中会导致财富凝聚。在一个WAA模型中，偏差是交易主体财富差异的连续函数，结果表明，凝聚是从二阶相变到共存状态产生的。本文通过证明凝聚财富在时间上服从logistic方程，给出了该模型的第一个与时间相关的分析结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> The_Growth_of_Oligarchy_in_a_Yard-Sale_Model_of_Asset_Exchange:_A_Logistic_Equat.pdf (220.65 KB)

2022-5-25 14:53:22 上传

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关键词：Quantitative Applications QUANTITATIV Development Application

资产交换庭院销售模型中寡头的增长：财富凝聚的逻辑方程*Bruce M.Boghosian、Adrian Devitt Lee和Hongyan Wang，美国马萨诸塞州梅德福德塔夫茨大学数学系，邮编02155（日期：2016年1月11日）摘要已证明，将财富获得优势（WAA）添加到资产交换的场地销售模型（YSM）中会导致财富凝聚。在WAA模型中，b ias是交易主体财富差异的一个连续函数，结果表明，凝结是从二阶相变到共存状态产生的。在本文中，我们给出了该模型的第一个与时间相关的分析结果，表明凝聚财富在时间上服从逻辑方程。PACS编号：89.65。Gh，0 5.20。DdKeywords：福克-普朗克方程、资产交换模型、庭院销售模型、帕累托分布、吉布拉特定律、洛伦兹曲线、基尼系数、洛伦兹-帕累托指数、相变、相共存、财富凝聚。导言对财富不平等进行科学研究的动机，不仅是希望了解当今财富分配的严重不平衡，还希望了解其动态。事实上，财富不平等的每一个衡量标准都在朝着财富更加集中的方向变化。例如，2010年，O xfa m International指出，世界上388个人的财富相当于人口的一半。他们每年都会发布这一数字，到2016年初，这一数字已减少到62人[9]。*(c)2016，版权所有。这是一类重要的财富分配模型，已使用统计物理的数学方法进行分析，称为资产交换模型（AEMs）[1，1 0]。这些被用来描述基于简单、理想化微观规则的大型经济系统的集体行为。

在一个简单的AEM中，存在一个纳根人集合，每个纳根人都拥有一些财富。代理人以结对交易的方式交换财富。有多种模型描述这些事务。尽管这些模型的扩展版本能够考虑财富再分配、代理人口的变化、财富的生产和消费以及多代理交易，但大多数模型保留了代理总数N和系统中的总财富W。本文研究的AEM是对资产交换的基本庭院销售模型（YSM）的修改【7，10】，在该模型中，代理人仅通过成对交易交换财富。当两个代理人进行这样的交易时，每个代理人都有相同的概率从另一个代理人那里获得一定数量的财富，而赢得的金额等于较穷的代理人财富的一部分。在Ispolatov等人【11】的工作之后，Boghosian推导出了基本YSM的Boltzmann方程【3】。在小变换的限制下，他证明了Boltzmann方程简化为一个特殊的Fokker-Planck（FP）方程，并随后证明了这个F方程可以更简单地从随机过程中推导出来[2]。在没有任何财富再分配的情况下，Boghosian等人[5]证明了系统中的所有财富最终都由一个代理人持有。这是由于富人对YSM规则的一种微妙但无情的偏见：因为一个绅士的财富中有一小部分是被交易的，所以富人在任何一笔活跃的交易中不会持有他们财富中很大一部分的股份，因此可以更频繁地损失，而不会危及他们的地位。正如穆卡泽尔（Moukarzel）[12]所指出的，这最终是由于代理人财富交易的乘法性质。在上述工作中，Boghosian等人。

[2、3、5]还研究了向YSM中添加一个简单的Ornstein-Uhlenbeck再分配模型[14]。他们证明，它抑制了所有财富流向单一主体的趋势，导致了经典分布，并表现出与帕累托（Pareto）[13]和吉布拉特（Gibrat）[8]的财富分布经验形式的一些相似性。然而，在后来的工作中，他们证明了这种分布的极值以高斯衰减。Bouchard和M'ezardin 2000年首次描述了财富凝聚现象，他们指出，在简单的交易和再分配模型中，单一代理人积累了宏观水平的财富[6]。2007年，Moukarzel et al.investigatedwealth在YSM中获得了优势（WAA），通过对任何交易中获胜的可能性增加固定的偏差，仅取决于财富差异的符号。他观察到了第一或第二阶段过渡到财富浓缩的绝对寡头政治状态，其中一个代理人持有所有财富【12】。最近，Bo ghosian等人[4]在YSM中引入了一种新的WAA模型，将更富有的代理与两个代理之间的财富差异成比例，从而使财富相等的代理之间的交易不断接近零。该模型展示了一个二阶相变，在无赖分子和非寡头的经典分布之间呈现共存状态。在这项工作中，还证明了上述高斯尾在临界点以下和以上存在，但在临界点处退化为指数衰减。虽然WAA促进财富的凝聚或许并不奇怪，但上述观察表明，WAA的引入方式可能会产生宏观后果。

在一阶相变中，阶参数（如基尼系数——在这种情况下，最富有的代理人持有的财富份额）是控制参数的不连续函数。在二阶相变中，它们只表现出斜率连续性。因此，微观模型中偏差的连续性或不连续性似乎直接反映在宏观记录仪参数的连续性或不连续性中。具体而言，如果系数τ∞测量财富阶段的再分配水平，ζ测量WAA水平（以[4]中精确的方式），然后显示临界性出现在ζ=τ∞, ζ>τ共存∞. 寡头持有的财富在连续统一体极限中的比例显示给bec∞=如果ζ，则为0≤ τ∞1.-τ∞ζ如果ζ>τ∞（1） 注意，这是一个连续函数，临界点ζ=τ处的一阶导数不连续∞, 反映二阶相变。请注意，上述所有观察都是针对稳态情况进行的。在本文中，我们在模型[4]中量化了部分寡头政治形成的时间依赖性。我们导出了在共存区ζ>τ中有效的偏微分方程∞, 管理非奥列格执政官之间财富p（w，t）的分配，以及奥列格执政官c（t）持有的财富份额的颂歌。后者是逻辑方程c′（t）=c（t）[-τ∞+ ζ（1-c（t））]，（2）其长时间极限c∞:= 限制→∞对于ζ>τ，c（t）与式（1）一致∞.在第二节中，我们描述了YSM，以及描述其行为的FP方程的推导。

特别是，我们回顾了随机过程中FP方程KramersMoyal导数的假设和方法，因为我们将要研究的奇异分布解违反了这些假设。在第三节中，我们将寡头政治描述为奇异分布的存在，修正了FP方程的Kramers-Moyal推导，并给出了描述寡头财富的逻辑模型。由于结论中讨论的原因，这与管理非寡头分布的PDE脱钩。二、庭院销售模型在本节中，我们将介绍符号，讨论修改后的YSM中代理之间的相互作用，并回顾Kramers-Moyal从随机过程推导FP方程的假设和方法。虽然这一节紧跟着[4]的内容，但这一回顾是必要的，因为我们需要一个弱形式的FP方程，以适应下面的分布解。财富的连续分布可以用代理人密度函数（ADF）P（w，t）来描述，定义为拥有财富的代理人数量w∈ 时间t时的[a，b]由bap（w，t）dw给出。ADF的第零和第一时刻与代理人和财富的总数相对应，NP：=Z∞dw P（w，t），WP：=Z∞dw P（w，t）w。我们通常需要以下三个偏矩：AP（w，t）：=Z∞wdxP（x，t）NP，LP（w，t）：=ZwdxP（x，t）NPx，BP（w，t）：=ZwdxP（x，t）NPx。这里，AP（w）表示帕累托势，即财富至少为TW的代理的分数。此外，LP（w）是洛伦兹势，它表示财富达到w的代理所持有的财富份额。

在以下各节中，ADF上的函数期望值将表示为Ex[f（x）]：=R∞dxP（x，t）NPf（x）。为了描述财富分布的动态，我们使用了基于theYSM的随机游走，其中随机选择两个代理进行交易，交换的财富量是这两个代理的最小财富的一小部分。获胜者由随机变量η决定∈ {-1，+1}。如果我们关注一个代理人，其财富因交易而从z向w转移，这会导致随机游走w-z=η√t最小值（z，x），其中√t是事务时间尺度的度量，x是与所讨论的代理交互的“其他代理”的财富。我们现在介绍r分配：在每次交易后，对每个人征收财富税，并将收集的总金额重新分配给系统中的所有代理。单位时间内从财富为z的代理人处收集的分数用τ（z）表示，因此单位时间内收集的总税收为TP（t）=R∞dz P（z，t）τ（z）z。单位时间内每个代理人的平均未计算量为TP/NP，财富代理人的该平均金额的分数偏差将用σ（z）表示，因此返回给该代理人的金额为TP/NP+σ（z）z。因此，财富代理人所经历的净税收为τ（z）z-TPNP+σ（z）z= ρ（z）z-TPNP，其中我们定义了ρ（z）：=τ（z）- σ（z）。请注意，limz→∞σ（z）=0，soτ∞:=林茨→∞τ（z）=limz→∞ρ（z）=：ρ∞. 由于收集的总金额必须等于重新分配的总金额，因此与平均重新分配的偏差的预测值必须为零，其中0=Ez[σ（z）z]，tp（t）=z∞dz P（z，t）ρ（z）z.（3）例如，如果我们假设τ（z）是一个常数，与z无关，我们发现tp（t）=z∞dz P（z）τz=τwp是一个lso常数。

如果我们进一步取σ（z）=0，这样再分配是均匀的，我们可以看到总有效税率是τz-TPNP=τz-τWPNP=τZ-WPNP.这种再分配模型让人想起奥恩斯坦-乌伦贝克过程[14]，并已在最近的再分配YSM研究中使用[4]。再分配的增加决定了一个单独代理的新随机游走，由byw定义-z=-ρ（z）z-TPNPt+η√t最小值（z，x）。（4） 我们看到，只有差值ρ（z）：=τ（z）-σ（z）ma t ters，其中TP（t）由式（3）给出。在下面的内容中，我们将允许ρ为负，但我们将要求ρ以多项式为界。随机变量η可以公平分布（平均值E[η]=0），也可以有偏差。本文假设的偏差是，对于早期pa中描述的WAA模型，根据【4】，Specificallye【η】=ζNPWP√t（z- x） ，（5）式中，ζ是一个正参数，它使获胜概率偏向于更富有的代理人。因此，在这个模型中，偏差是由两个代理人的财富差异决定的。我们将从方程（4）开始计算，通过让ζ=0或τ（w）=0可以得到更简单的系统。我们将首先正式推导一个PDE，该PDE由限额内的随机游走所暗示，因为交易的财富比例变得非常小。我们支持跃迁的可能性（z，t）→ （w，t+t） 是pt（z→ Wz、 t），并且该概率分布是归一化的。这个随机游动的查普曼-科尔莫戈罗夫方程是thenP（w，t+t） =Z∞dz P（z，t）Pt（z→ Wz、 t）为了推导P所满足的相应FP方程，我们必须将上述内容转换为弱形式。

为此，我们将ψ设为域[0]上的n个解析Schwartz函数，∞), 并使用P/t如下所示，ψ，PT=Zψ（w）P（w，t）t=直线电机T→0TZdwψ（w）P（w，t+t）-Zdwψ（w）P（w，t）= lim公司T→0tZdz P（z，t）Zdw Pt（z→ Wz、 t）[ψ（w）- ψ（z）]=limT→0tZdz P（z，t）Zdw Pt（z→ Wz、 t）∞Xn=1（w-z） nn！nψ（z）锌=∞Xn=1n！Zdz-Mn（z，t）P（z，t）nψ（z）zn（6），其中我们定义了Mn（z，t）：=limT→0tZdw pt（z→ Wz、 t）（w- z） n=Ex，η（w）-z） n个T.上述结果可以写入ψ，PT=∞Xn=1n！Mn（z，t）P（z，t），nψ（z）锌. （7） 因此，使用分部积分恢复到强形式，我们得到Pt型=∞Xn=1(-1） nn！nz[Mn（z，t）P（z，t）]，（8）因此，代理密度函数满足由极小时间尺度上的随机游动矩确定的偏微分方程。A、 福克-普朗克方程。（4）和（5），我们可以计算M，M（z，t）=limt→0Eη，x（w）-z）T= Ex公司TP（t）NP- zρ（z）+ζNPWP（z- x） 最小值（w，x）=TP（t）NP- zρ（z）-ζNPWPBP（z，t）- 2zLP（z，t）- zNPWPAP（z，t）+z. （9） 接下来，因为η∈ {-1，+1}，我们有Eη[η]=1，这允许我们计算M，M（z，t）=limt→0Eη，x（w）-z）T= 限制→0Eη，x“TTP（t）NP- zρ（z）+TP（t）NP- zρ（z）ηmin（z，x）(t） 1/2+ηmin（z，x）= Eη，xηmin（z，x）=Z∞dxP（x，t）NPmin（z，x）=2BP（z，t）+zAP（z，t）。（10） 最后，我们注意到，η的高次方期望Eη[ηk]≤ 1代表k≥ 因此，因为上述方程展开式中的每一项都包含了√t、 k的所有矩都接近零≥ 3，Mk（z，t）=极限→0tEη，x“TTP（t）NP- zρ（z）+ η√t最小值（w，x）k#=0。（11） 替换公式。（9） （10）和（11）转化为公式（8），我们发现我们的财富分配服从以下二次非线性积分微分FP方程，Pt型+WTP（t）NP- wρ（w）P=WBP+wAPP+WζNPWP2BP- 2wLP- wNPWPAP+wP.

（12） 该系统保存了财富和财富，如本文附录o所示，该系统是首次衍生出来的[4]。在t不存在再分配和WAA的情况下，τ=ζ=0，因此试剂密度函数满足Pt型=WBP（w，t）+wAP（w，t）P. （13） B.寡头政治作为一种分配解决方案等式（12）的稳态解决方案可能涉及将系统财富的一小部分浓缩到数量不多的代理人手中。事实上，在没有再分配的情况下，正如等式（13）所示，所有财富都将以这种方式浓缩。为了描述这一点，我们必须扩展我们的函数空间，以包括某些奇异分布。如果我们的系统是离散的，那么财富的完全集中可以用P（w）=（NP）来描述- 1） δ（w）+δ（w- WP），其中NP- 代理人没有财富，只有一个代理人拥有全部财富。然而，在连续统限制中，代理的数量不必是整数。因此，财富凝聚可以不确定地继续下去，“半管理者”持有两倍于系统财富的财富，分布P（w）=（NP-/2） δ（w）+/2δ（w- 2WP）。更一般地，我们可以将分布设为P（w）=（NP- ）δ（w）+δ（w- WP/），其中是任意小的正数。用WP代替，并将其限制为→ 0 yieldsP（w）=NPδ（w）+WPΞ（w），（14），其中我们定义了Ξ（w）=lim→0δ（w- 1/4英寸）。更准确地说，应将Ξ定义为其作用于测试函数φishΞ，φi=lim的奇异分布→0δW-, φ= lim→0φ= lims公司→∞φ（s）s.（15）这里φ所属的测试函数空间是-2S={φ（w）=ψ（w）+γ+uw：ψ（w）∈ S（[0，∞)), γ、 u∈ R} ，其中S（[0，∞) 表示[0]上的Schwartz函数，∞).三、 WAA高于临界值在本节中，我们使用公式（15）提供的Ξ定义。在早期的工作【4】中，Offp方程。