列维-瓦西塞克模型与长期债券收益过程

为了继续，我们需要以下关于随机变量ztαstdξs（120）在P*. 如果R∞= 0，那么对于大t，我们有*Ztαstdξs- B（t，ωt）=Ct+o（t），（121），其中c=σk- λψ′σk- λ- ψσk- λ（122）是一个正常数*Ztαstdξs= O（t）。（123）要看到（121）、（122）和（123），请注意，对于充分接近零的u，我们有*经验值uZtαstdξs= 经验值Zt（ψ（（1+u）αst）- ψ（αst））ds. （124）在该方程的两侧取关于u的导数，并设置u=0*Ztαstdξs=Ztψ′（αst）αstds。（125）计算结果表明*Ztαstdξs= α0tψ′（α0t），（126），因此，根据l\'Hospital的规则，limt→∞tE公司*Ztαstdξs= 限制→∞α0tψ′（α0t）=σk- λψ′σk- λ. （127）如下所示*Ztαstdξs=σk- λψ′σk- λt+o（t）（128）表示大t。从（117）回忆起，B（t，δ）增长到像ψ（σ/k）这样的前导顺序- λ） t小时∞= 如果我们用ωt代替δ，情况仍然如此，因为对数ωt的增长比线性增长慢。也就是说，E*Ztαstdξs- B（t，ωt）=hσk- λψ′σk- λ- ψσk- λ对于大t，it+o（t）（129）。右侧t系数的正性来自引理2。因此，我们得出了方程式（121）和（122）。仍需显示方程式（123）。取（124）对u的二阶导数，并设置u=0，我们得出*“”Ztαstdξs#=Ztψ′（αst）αstds+Ztψ′（αst）αstds。（130）使用（126），我们得到*Ztαstdξs= E*“”Ztαstdξs#-E*Ztαstdξs=Ztψ′（αst）αstds。（131）限制→∞tVar公司*Ztαstdξs= 限制→∞tZtψ′（αst）αstds（132）是有限的，这可以使用l\'Hospital规则看到。因此，（123）如下。现在让我们定义（t）=E*Ztαstdξs- B（t，ωt），（133）并从（121）中回忆起，对于大t，c（t）线性增长。让t足够大，使c（t）>0。如果X是一个随机变量，那么Var[X]<∞, 对于任何常数c>0，我们有切比雪夫不等式[| X- E[X]|≥ c]≤cVar【X】。

（134）在目前的情况下，它遵循*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs≥ c（t）≤c（t）Var*Ztαstdξs. （135）由于c（t）和方差在t中线性增长（121）–（123），我们看到→∞P*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs≥ c（t）= 0。（136）对于足够大的t，使得c（t）>0，我们有*Ztαstdξs>B（t，ωt）= P*Ztαstdξs>B（t，ωt）≥ P*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs< c（t）= 1.- P*Ztαstdξs- E*Ztαstdξs≥ c（t）. （137）当t变大时，取两侧的极限，并使用方程式（136），得出极限→∞E*Ztαstdξs>B（t，ωt）= 1.（138）继续，从（36）和（119）中回忆一下，为了表明当R∞= 0需要证明limδ→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，δ）> 0。（139）要查看（139）是否成立，请注意limδ→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，δ）= 限制→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，ωt）= lim支持→∞支持P0tE*Ztαstdξs>B（t，ωt）≥ lim支持→∞P0TE*ZTαsTdξs>B（T，ωT）= lim支持→∞P0T，（140），其中最终等式由等式（138）得出。请记住，对于正在审议的案件，我们有R∞= 0，从（95）和（9 8）中得出，p0t=exp-k（r- θ）1.- E-千吨级+ f（T）（141）对于满足极限支持的某些函数f（T）→∞|f（T）|<∞ . （142）我们推断→∞P0T=经验值-k（r- θ）lim支持→∞exp（f（T））>0。（143）因此，（140）的右边是严格正的，因此我们已经证明（139）成立，这就结束了证明。十、 Levy-VASICEK模型中的长期债券收益我们继续确定Levy-Vasicekmodel中长期债券的单位投资收益。注意限制→∞logPtTP0T=极限→∞[-RtT（T- t） +R0TT]，（144），由此得出lt=（θ+ψ(-λ） ）t+k（r）- rt）- 限制→∞Ztψ（αsT）ds=（θ+ψ）(-λ） ）t+k（r）- rt）- ψσk- λt=R∞t+k（r- rt）。

（145）人们自然会问，是否有可能将长期债券收益过程转变为几何价格过程。如果我们考虑综合短期利率的关系式（77）和超额收益率的定义（73），那么在经过一些代数之后，我们推导出lt=expZt公司卢比+卢比λ、 σkds+σkξt- ψσkT. （146）因此，长期债券收益率的形式确实是几何资产价格的形式，即aL'evy Vasicek短期利率rt、风险规避λ和波动率σ/k。如果我们将此表达式乘以定价核，则在取消后，我们得到几何L'evy鞅mt=exphσk- λξt- ψσk- λti。（147）这给出了罗斯恢复在L'evy-Vasicek模型中成立的结果，当且仅当λ=σk，（148）就像在布朗环境中一样。虽然在实践中，利率市场风险价格似乎不太可能等于长期债券波动率，但将Carr&Yu（2012）、Boroviˇcka et al（2014）、Qin et al（2016）和其他的分析扩展到Levy模型（如本文开发的模型）的背景下还是很有意思的。

如果完全按照实际情况运作，罗斯复苏的一个版本是否会继续存在，这仍然是一个悬而未决的问题。然而，显而易见的是，本文所研究的问题，尤其是定价核的一致可积性和长期债券回报过程的性质，是重要的研究领域，并且在不同背景下对其进行的研究可能有助于进一步深入了解长期金融模型的行为。致谢我们感谢里约热内卢B'uzios期权研究会议（2014年12月）、布鲁内尔大学数学金融研讨会（2014年12月）、Londo n第四届WBS利率会议（2015年3月）和纽约第九届Bachelier Finance Society世界大会（2016年7月）的与会者，会上介绍了这项工作的早期版本，获取有用的评论。这项研究得到了布鲁内尔研究倡议和企业基金奖的支持。这项工作的一部分在阿斯彭物理中心完成，该中心得到了国家科学基金会拨款PHY-10 66293的支持。DC感谢俄罗斯科学基金会的支持（项目16-11-10218）。[1] Boroviˇcka，J.、Hansen，L.P.&Scheinkman，A.J.（2014）错误分类报告。arXiv:1412.0042。[2] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Mackie，E.（2012）动态资产定价几何L'evy模型的一般理论。《伦敦皇家学会会刊》A4681778-1798。[3] Brody，D.C.和Hughston，L.P.（2016）《社会贴现和长期利率》。数学金融。内政部10.1111/ma-12122（1-29）。[4] Cairn s，A.J.G.（1999）Vasicek模型的另一种推导。赫里奥特·瓦特大学精算数学与统计系，技术注释99/13。[5] Carr，P.&Yu，J.（2012）《风险、回报和Ross r收益》。J、 衍生物20、38-59。[6] 科克伦，J。

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