列维-瓦西塞克模型与长期债券收益过程

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《L\\\'evy-Vasicek Models and the Long-Bond Return Process》
---
作者：
Dorje C. Brody, Lane P. Hughston, and David M. Meier
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  The classical derivation of the well-known Vasicek model for interest rates is reformulated in terms of the associated pricing kernel. An advantage of the pricing kernel method is that it allows one to generalize the construction to the L\\\'evy-Vasicek case, avoiding issues of market incompleteness. In the L\\\'evy-Vasicek model the short rate is taken in the real-world measure to be a mean-reverting process with a general one-dimensional L\\\'evy driver admitting exponential moments. Expressions are obtained for the L\\\'evy-Vasicek bond prices and interest rates, along with a formula for the return on a unit investment in the long bond, defined by $L_t = \\lim_{T \\rightarrow \\infty} P_{tT} / P_{0T}$, where $P_{tT}$ is the price at time $t$ of a $T$-maturity discount bond. We show that the pricing kernel of a L\\\'evy-Vasicek model is uniformly integrable if and only if the long rate of interest is strictly positive.
---
中文摘要：
著名的Vasicek利率模型的经典推导是根据相关的定价核进行重新表述的。定价核方法的一个优点是，它允许我们将构造推广到L挈evy-Vasicek情况，避免了市场不完全性的问题。在勒维-瓦西塞克模型中，实际测量中的短期利率是一个均值回复过程，一般的一维勒维驱动因素承认指数矩。获得了列维-瓦西塞克债券价格和利率的表达式，以及长期债券单位投资回报率的公式，由美元L\\u t=\\lim\\u{t\\rightarrow\\infty}P\\u{tT}/P\\u{0T}美元定义，其中美元P\\u{tT}美元是美元t$到期贴现债券的价格。我们证明了当且仅当长期利率严格为正时，Levy-Vasicek模型的定价核是一致可积的。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：长期债券 Mathematical Quantitative Differential Construction

Levy Vasicek Models and the Long-B on d Return ProcessDorje C.Brody1,2，Lane P.Hughston，and David M.MeierDepartment of Mathematics，Brunel University London，Uxbridge UB8 3PH，UKSt Petersburg National Research University of Information Technologies，Mechanics and Optics，49 Kronverksky Avenue，St Petersburg 197101，俄罗斯（日期：2016年9月14日）著名的Vasicek模型f或利率的经典推导是根据相关的定价规则重新制定的。定价核方法的一个优点是，它可以将构造推广到列维·瓦西塞克案例，避免市场不完全性问题。在L'evy-Vasicek模型中，实际测量中的短期利率是一个均值回复过程，广义L'evy-iver博士承认指数矩。获得了列维·瓦西塞克债券价格和利率的表达式，以及长期债券单位投资回报率的公式，由Lt=limT定义→∞PtT/P0T，其中PtT是t到期贴现债券在时间t的价格。我们证明了L'evy-Vasicek模型的定价核是一致可积的当且仅当长期利率为严格正时。一、 定价核心Vasicek模型（Vasicek 1977）是数学金融文献中最古老、研究最充分的模型之一，人们可能会认为，关于它，几乎没有什么新的说法。但事实证明，Vasicek模型在长期利率方面有一些令人惊讶的特点，在对长期利率进行总体建模时，这些特点非常具有启发性。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）过滤{Ft}t≥时间0表示现在。概率测度P是物理测度，{Ft}表示市场信息的流动。

我们引入了一个适当的计算单位，对于T和T，0≤ t<t我们让ptt表示贴现债券在t时的价值，它在t到期时支付一个单位的账款。接下来，我们使用定价核方法构建Vasicek模型。这不是Vasicek模型通常在文献中呈现的方式。然而，定价核心方法非常有效。特别是，经典Vasicek模型的定价核直接引导我们构建相应的L’evy Vasicek模型，扩展了Cairns（1999）、Eberlein&Raible（1999）、Norberg（2004）等的结果。我们首先谈一下内核的定价，然后讨论Vasicekmodel的情况。让我们回顾一下资产价格的基本几何布朗运动（GBM）模型中定价核是如何工作的。我们假设布朗运动{Wt}t≥0开(Ohm, F、 P），并使其适应{Ft}。GBM模型的特点是规定了一个或多个所谓的投资级资产，以及一个或多个所谓的投资级资产。为简单起见，我们假设资产在考虑的时间范围内不支付股息。投资级资产的理念是，它应该提供高于利率的正超额回报率。从这个意义上讲，普通股和债券属于投资级，而普通股和债券则不是。对于GBM模型中的定价核，我们假设有一个形式为πt=e的表达式-rte公司-λWt-λt，（1）其中r是利率，且λ>0是风险规避参数。我们要求定价核和资产价格的乘积应该是P-鞅。因此，让我们假设对于某些β≥ -λ乘积的形式为πtSt=SeβWt-βt，（2）其中St表示时间t时的资产价值。

因此，对于GBM模型中的典型投资级资产，我们有st=Se（r+λσ）teσWt-σt，（3），其中σ=β+λ。λσ这一术语被称为风险溢价或超额收益率，在我们所做的假设下，它是正的。“定价内核”的概念可以追溯到20世纪70年代，Ross（1978）就是一个例子。Gar ma n（1976）使用了另一个术语“市场核心”。作者使用了各种术语来表示本质上相同的概念。经济学家谈到“边际替代率”。“国家价格密度”一词出现在Dothan&Williams（1978）中。Cox&Martin（1983）中使用了术语“随机贴现因子”。D u fie（1992）中使用了术语“州价格浮动”。例如，Cochrane（20 05）和Hunt&Kennedy（2004）详细讨论了定价核心模型。如果考虑中的风险资产是欧洲风格的衍生工具，其最终收益为HT，则t<t时衍生工具的价值由HT=πtEt[πTHT]给出。（4） 特别是，如果衍生工具支付一个账户单位，使HT=1，那么我们可以恢复贴现债券的价格公式，由ptt=πtEt[πt]给出。（5） 我们引用进程{nt}t≥0定义为“自然数字”（Flesaker&Hughston 1997）或“增长最优投资组合”。它是一个基准，与之相关的其他非股息支付资产是鞅。作为GBM模型中衍生工具定价的一个例子，可以考虑在自然计价基础上对数字看跌期权进行估值，包括单位名义价值、行使κ和到期日T。在这种情况下，我们有t=1{nT<κ}，（6），其中1{·}表示指示函数。使用定价核（1），straig htforwardcalculation givesH=e-rTN“日志E-rTκ+λTλT1/2#，（7），其中N[·]是正态分布函数。

我们提到了一个数字放在自然数字上的例子，因为它后来证明与我们考虑定价核的一致可积性有关。二、VASICEK定价核我们将通过保持风险厌恶水平不变，但允许利率随机来扩展几何布朗运动模型。然后，定价核可以用πt=exp的形式表示-Ztrsds公司- λWt-λt. （8） 在Vasicek模型中，短速率过程{rt}t≥0被认为是Ornstein-Uhlenbeck（OU）类型的均值回复过程，满足DRT=k（θ- rt）dt- σdWt。（9） 这里k、θ和σ表示平均反转率、平均反转水平和空头利率的绝对波动率。我们选择σ为正。利率动力学中σ前面的负号是一种惯例，它确保贴现债券的波动率为正。请注意，此处的波动率参数的单位为T-3/2，与GBM模型的σo相反，GBM模型的单位为T-1/2。利率的初始值为r。然后，可以使用积分因子来求解动力学方程（9），给出r=θ+（r- θ） e类-千吨级- σZtek（s-t） dWs。（10） 为了确定定价核心，我们需要一个综合短期利率的表达式，它=Ztrsds。（11） 将（10）代入（11）givesIt=θt+k1.- E-千吨级（r）- θ）- σZts=0Zsu=0ek（u-s） dWuds。（12） 二重积分可以根据schemeZts=0Zsu=0ek（u）重新排列-s） dWuds=Ztu=0Zts=uek（u-s） dsdWu=kZt（1- ek（u-t） ）dWu，（13），由此得出it=θt+k1.- E-千吨级（r）- θ）-σkZt（1- ek（u-t） ）dWu。（14） 根据f（10），我们可以用一个关于短期利率的表达式来代替随机积分，得到它=θt+k（r- rt）-σkWt。（15） 因此，Vasicek定价核可以用πt=exp的形式表示-θ+λt型+σk- λWt公司-k（r- rt）.

（16）注意定价核心公式中出现的“裸”WT。通常情况下，Vasicek模型只有一个状态变量，即短期利率。这个数据有点误导人。因为正如我们很快就会看到的那样，虽然到期贴现债券在t时的价格仅取决于状态变量rtinsofar a s，但就其随机性而言，定价内核在t时取决于一对状态变量，即rtan和Wt。同样，单位初始化货币市场账户BT=expZtrsds（17）的价值取决于RTA和Wt。我们认为，需要指定一个财务模型，以给出模型基本资产的价格过程以及定价核心过程。在利率模型中，这意味着给出所有到期债券的贴现过程、货币市场账户和定价核心。因此，pricingkernel是模型的一部分，而不是从基本资产流程的规定中以某种方式得出的次要对象。通过将（14）替换为（8），得到了Vasicek pr结冰内核的另一个表达式，该表达式对我们的目的也很有用。那么我们有πt=exp-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-t）dWu公司. （18） 在这种情况下，我们似乎已经成功地根据单个状态变量指定了定价核，即（18）右侧第三项中出现的随机积分的值。确实如此，但它与短期利率不同，因此整个模型需要两个状态变量。三、 贴现债券我们继续推导PtT的表达式。在推导过程中，我们发现使用对数ithms比使用指数更方便。因此，我们将gπt=-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-t）dWu。

（19） 它遵循对数πT=-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dWu+ZTtσk- λ-σkek（u-T）dWu，（20），因此对于t<t，我们haveEt[πt]=exp-θ+λT-K1.- E-千吨级（r）- θ） +Ztσk- λ-σkek（u-T）dWu公司×EtexpZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dWu公司. （21）标准结果是f或任何Borel函数{αt}满足Zttyαudu<∞ （22）我们有经验值ZTtαudWu= 经验值ZTtαudu. （23）因此，我们获得了经验ZTt公司σk- λ-σkek（u-T）dWu公司= 经验值ZTt公司σk- λ-σkek（u-T）杜邦. （24）因此，在（5）之前，我们有记录PtT=-θ+λ（T- t）-KE-千吨级- E-千吨级（r）- θ） +ZTtσk- λ-σkek（u-T）du+σk1.- ek（t-T）Ztek（u-t） dWu。（25）通过使用（10），在上述最后一项中，我们可以写出σZtek（u-t） dWu=θ+（r- θ） e类-千吨级- rt.（26）则（25）中涉及r的条款- θcancel，我们只剩下以下内容：log PtT=-θ+λ（T- t） +ZTtσk- λ-σkek（u-T）du+k1.- ek（t-T）（θ- rt）。（27）因此，我们已经分离出ptt对状态变量rt的依赖关系。接下来，为了得到右边的中间项，我们注意到对于a，b常数，我们有ztt一- 贝库语du=a（T- t）-2abk公司ekT公司- ekt公司+黑色e2kT- e2kt. （28）因此，ZTtσk- λ-σkek（u-T）杜邦=σk- λ（T- t）- 2.σk-λσk1.- ek（t-T）+σk1.- e2k（t-T）. （29）将该表达式插入（27）中，我们看到涉及λ的条款取消，经过一些简化后，我们得到了以下T-到期贴现债券价值的表达式：PtT=exp-R∞（T- t） +千1.- ek（t-T）（R）∞- rt）-σk1.- ek（t-T）, （30）其中∞= θ+λσk-σk.（31）R的重要性∞它代表的是由r定义的渐近最终收益率或指数长期利率∞= - 限制→∞T- tlog PtT。

（32）R∞不依赖于t是贴现函数为指数的利率模型的特征，可以视为所谓DIR定理的一种表现形式（Dybvig、Ingersoll&Ross 199 6、Hubalek、Klein&Teichman 2002、Goldammer&Schmock 2012、Kardaras&Platen 2012、Brody&Hughston 2016）。四、 定价核的一致可积性我们注意到Vasicek模型的一个奇怪特征，这显然是以前没有注意到的，即R∞> 0当且仅当定价核一致可积。在我们建立这个结果并将其推广到L’evy Vasicek模型之前，我们讨论了定价核一致可积性的一些财务方面。我们记得（Williams 1991），如果每>0存在一个δ，则称随机变量集合C为统一整数（UI）≥ 0，这样对于所有X∈ C我们有[| X | 1{| X |>δ}]<。（33）在C上表示UI条件的等效方法是thenlimδ→∞supX公司∈CE[| X | 1{| X |>δ}]=0。（34）（34）左侧的限制自supX起存在∈CE[| X | 1{| X |>δ}]在δ中递减，并从下方以零为界。随机过程{Xt}t≥如果对于每一个>0，有一个δ>0，使得E[| Xt | 1{| Xt |>δ}]<所有t≥ 0或等效线性δ→∞suptE[| Xt | 1{| Xt |>δ}]=0。（35）对于定价核，我们可以去掉绝对值符号，UI条件是每>0应该存在一个δ≥ 0使得E[πt1{πt>δ}]<对于all t≥ 0，orlimδ→∞suptE[πt1{πt>δ}]=0。（36）或者，可以通过要求每个>0都应该存在一个κ>0来施加UI条件，使得对于所有t≥ 这里我们再次介绍了自然数字{nt}t≥0定义为nt=1/πt，我们设置了κ=1/δ。

但（37）的左侧是欧洲式数字看跌期权在0时的价格，该价格以具有罢工κ和到期日t的自然数字为单位。因此，我们有以下几点：命题1定价核是一致l y可积的，当且仅当对于任何价格水平>0，存在罢工κ>0，使得自然数字看跌期权在所有到期日的价值都小于。从直觉上看，每个经济上可接受的定价内核都应该具有UI属性，这似乎是合理的，因此这是一个诱人的猜测。例如，如果pricingkernel是D型电位（Hunt&Kennedy 2 004，Rogers 1 997，Rutkowski 1997），则为UI（Meyer 1966）。我们继续为Vasicek模型建立以下内容。提案2如果R∞> 0则{πt}是一致可积的。证据我们将使用Lptest。我们说，如果存在一个常数γ>0，使得所有X的E[| X | p]<γ，则随机变量集合C在lp中有界∈ C、 现在，如果p>1和x≥ x的δ>0，δ∈ R、 那么很明显x≤ δ1-pxp。因此，如果C在lp中有界，那么对于所有X∈ 它认为e[| X | 1{| X |>δ}]≤ δ1-pE[| Xp | 1{| X |>δ}]<γδ1-p、 （38）因此，如果我们设置δ，则任何>0=γ1/（1）-p） （39）那么我们构造了一个δ，使得（33）对所有X都成立∈ C、 所以，若一组随机变量在某些p>1的情况下在LPS中有界，那个么它就是UI。因此，定价核成为UI的一个有效条件是，应该存在一个p>1和一个γ>0，这样所有t的E[πpt]<γ。现在，从（18）开始的计算给出了G E[πpt]=-Pθ+λ- Pσk- λt+pkhθ- R- pσkσk- λ我1.- E-千吨级+pσ4k1.- E-2吨. （40）钻机ht的第二和第三个术语是固定的，因此我们的目标是表明如果R∞> 0如果存在p>1的值，则（40）右侧第一项中的t系数小于或等于零。因此，假设R∞> 0

那么我们有θ>σk-λσk.（41）完成右边的平方，我们得到θ+λ>σk- λ. （42）因此，如果我们设置p=θ+λσk- λ, （43）然后，t p>1，（40）右侧的第一项消失。由于其他两项是有界的，这表明如果R∞> 0则满足Lptest，定价核心是UI。提案3如果R∞< 0则{πt}不是一致可积的。证据众所周知（Williams 1991），如果随机变量的集合是UI，那么它在L中是有界的。因为假设C具有每>0存在一个δ的性质≥ 0，使（33）适用于所有X∈ C、 然后存在一个常数δ，使得所有X的e[| X | 1{| X |>δ}]<1∈ C、 因此[| X |]=E[| X | 1{| X |>δ}]+E[| X | 1{| X |≤ δ} ]<1+δ（44）所有X∈ C、 由此可知，C以L为基础。因此，为了建立命题的陈述，它必须表明，如果R∞< 0那么{πt}在L中没有界。记住E[πt]=P0t，我们将证明如果R∞< 0，则对于γ>0的任何选择，都存在时间t*使得所有t的P0t>γ≥ T*. 根据（40），我们得到p0t=exp-R∞t+k1.- E-千吨级（R）∞- r）-σk1.- E-千吨级. （45）以下是日志P0t≥ -R∞t+k（R∞- r） {r∞- R≤ 0}-σk.（46）因此，让我们定义*按设置- R∞T*+k（R∞- r） {r∞- r≤ 0}-σk=对数γ，（47）或等效y*=R∞k（R∞- r） {r∞- R≤ 0}-σk- 对数γ. （48）因此，如果R∞< 0，则对于所有t>t*我们有P0t>γ。这表明如果R∞< 0则定价内核不是UI。提案4如果R∞= 0则{πt}不是一致可积的。证据当R∞= 0更精细。定价内核使Lptestif R失败∞= 0，所以我们不能断定它是UI。另一方面，定价核是有界的∞= 0，因此我们不能断定它不是UI。