幂律相干性度量的分形方法

然而，方差的减少并不影响偏差的增加，因为均方误差随着最大标度的增加而增加（除了相关性最小的情况）。对于基于DMCA的方法，我们观察到偏差和方差随着时间序列长度的增加而减少，但随着κmax的增加而增加。偏差也随着误差项ε和ε之间相关性的增加而减少，而方差略有增加。DMCA方法在这方面的表现明显优于DCCA和HXA方法（表3）。尽管增加的尺度κmax对偏差有非单调的影响（例如，比较ρ=0.9与κmax=21、κmax=51和κmax=101），但很明显，对于最小的最大尺度，均方误差是最低的（除了ρ=0.1的极弱相关序列）。为了对这些方法进行额外的比较，我们再次使用d=d=0.4，d=d=0.2的混合相关ARFIMA过程，但我们设置了完全相关的ε和ε以及不相关的其他对。这给出了Hρ=-0.2。对于特定方法，我们使用的参数设置在之前的模拟中证明是最好的–smin=10，κmax=21和τmax=20。此外，时间序列的长度跨度被扩展到T=10（即跨度在500到100000个观测值之间），以便更好地讨论方法向真值或方差衰减的收敛性。图1总结了模拟结果，即偏差、方差和均方误差对时间序列长度的依赖关系。HXA和DMCA方法显示稳定的向上偏差约为0.05和0。1，而不考虑时间序列长度。DCCA的偏差随着时间序列长度的增加而增加。由于时间序列长度轴以对数标度表示，而估计器的平均值以线性标度表示，因此基于DCCA的方法的偏差以近似对数的方式增加。

就方差而言，DMCA幂律相干估计量明显优于其他两种估计量。在图1的右侧面板中，我们观察到一个关于时间序列长度的方差对数图。DMCA方法出现了明显的幂律标度，斜率为-1，即估计量的方差衰减asT，这是一致估计量的目标速率。当T<10000时，HXA和DCCA估计量的方差水平非常相似。对于较长的时间序列，HXA方法主导DCCA方法。这反映在每种方法的不同十年期中。对于基于DCCA的幂律相干估计器，我们发现幂律标度指数为0.2，即其方差以0的速率缓慢衰减。2、基于HXA的估计量介于其他两个估计量之间，比率为0.5，即其方差以√T、 将偏差和方差放在一起，均方误差显示了一个有趣的行为。对于T<5000的短序列，基于DMCA的方法显然占主导地位。然而，随着时间序列长度的变化，其均方误差相当稳定，仅出现非常轻微的下降。这只反映了这样一个事实，即其偏差相当稳定，即使对于较短的时间序列长度，其方差也非常低。对于几乎所有检查的时间序列长度，基于DCCA的方法是三种方法中最差的一种。在T<1000的极短系列出现下降趋势后，MSE在1000≤ T≤ 5000和更长的时间序列长度增加，这是非常不可取的。对于T<3000的短序列，基于HXA的估计器显示出与基于DCCA的估计器相似的MSE水平。与DCCAestimator相反，即使对于较高的T，它也遵循MSE的下降趋势，对于T>10000.5，它甚至优于基于DMCA的方法。

结论我们关注幂律相干性，作为研究同时记录的时间序列之间幂律互相关的另一种方法。为了能够研究经验数据，我们引入了三种基于研究幂律互相关常用技术的幂律相干性参数Hρ估计量——去趋势互相关分析、去趋势移动平均互相关分析和高度互相关分析。在专注于估计量偏差、方差和均方误差的有限样本性质研究中，我们发现了几个重要的调查结果。首先，基于DCCA的估计器在三种研究方法中表现最差。具体而言，其偏差随着时间序列长度的增加而增加，但其缓慢衰减的方差还不够。其次，其他两种方法（基于HXA和DMCA）具有稳定的偏差，该偏差不随时间序列长度变化。第三，被检验方法的方差衰减差异很大。DMCA方法的表现明显优于其他两种方法，因为它从较低的方差水平开始，并以最快的速度衰减。其他两种方法的方差水平相似，但HXA方法的方差衰减速度更快。总的来说，基于DMCA的方法是三种方法中安全的选择。HXA方法适用于至少具有观测的长时间序列，这在某些学科中很容易实现，但在其他学科中存在问题。基于DCCA的方法不能提供良好的性能，甚至会随着时间序列长度的增加而恶化。感谢捷克科学基金会在第14-11402P号项目下提供的支持。参考文献【1】G.F.Zebende和A.Machado Filho。车辆和乘客时间序列之间的互相关。Physica A，388:4863–48662009。[2] X.Zhao，P.Shang，A。

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基于DCCA的方法对短时间序列的偏差最小，但其偏差随时间序列长度对数增加。另外两种方法显示稳定的偏差实际上与时间序列长度无关。从方差角度来看，基于theDMCA的方法主导了其他两种方法，方差以-1的速度快速衰减。当偏差和方差组合成均方误差时，基于DCCA的方法是三者中最差的。DMCA方法优于HXA方法，T=5000时，后者超过。