幂律相干性度量的分形方法

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英文标题：
《Fractal approach towards power-law coherency to measure
  cross-correlations between time series》
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作者：
Ladislav Kristoufek
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We focus on power-law coherency as an alternative approach towards studying power-law cross-correlations between simultaneously recorded time series. To be able to study empirical data, we introduce three estimators of the power-law coherency parameter $H_{\\rho}$ based on popular techniques usually utilized for studying power-law cross-correlations -- detrended cross-correlation analysis (DCCA), detrending moving-average cross-correlation analysis (DMCA) and height cross-correlation analysis (HXA). In the finite sample properties study, we focus on the bias, variance and mean squared error of the estimators. We find that the DMCA-based method is the safest choice among the three. The HXA method is reasonable for long time series with at least $10^4$ observations, which can be easily attainable in some disciplines but problematic in others. The DCCA-based method does not provide favorable properties which even deteriorate with an increasing time series length. The paper opens a new venue towards studying cross-correlations between time series.
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中文摘要：
我们关注幂律相干性，作为研究同时记录的时间序列之间幂律互相关的另一种方法。为了能够研究经验数据，我们引入了三种幂律相干参数的估计量$H\\u{\\ rho}$，它们基于研究幂律互相关常用的技术——去趋势互相关分析（DCCA）、去趋势移动平均互相关分析（DMCA）和高度互相关分析（HXA）。在有限样本性质研究中，我们关注估计量的偏差、方差和均方误差。我们发现，基于DMCA的方法是三种方法中最安全的选择。HXA方法对于具有至少10.4美元观测值的长时间序列是合理的，这在某些学科中很容易实现，但在其他学科中存在问题。基于DCCA的方法不能提供良好的性能，甚至会随着时间序列长度的增加而恶化。本文为研究时间序列之间的相互关系开辟了一个新的途径。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Fractal_approach_towards_power-law_coherency_to_measure_cross-correlations_betwe.pdf (449.75 KB)

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关键词：correlations Quantitative Applications Econophysics SIMULTANEOUS

幂律相干性分形方法测量时间序列间的交叉相关性信息理论与自动化研究所，捷克科学院，Pod Vodarenskou Vezi 4，CZ-182 08，布拉格8，捷克共和国（Czech RepublicAbstractWe）将重点放在幂律一致性上，作为研究同时记录的时间序列之间幂律互相关的另一种方法。为了能够研究实证数据，我们介绍了三种幂律相干参数Hρ的估计器，它们基于研究幂律互相关的常用技术——去趋势互相关分析（DCCA）、去趋势移动平均互相关分析（DMCA）和高度互相关分析（HXA）。在有限样本性质研究中，我们关注估计量的偏差、方差和均方误差。我们发现，基于DMCA的方法是三种方法中最安全的选择。HXA方法适用于至少有10个观测值的长时间序列，这在某些学科中很容易实现，但在其他学科中存在问题。基于DCCA的方法不能提供良好的性能，甚至会随着时间序列长度的增加而恶化。本文为研究时间序列之间的相互关系开辟了一个新的途径。关键词：幂律相关性、幂律互相关、相关性电子邮件地址：kristouf@utia.cas.cz（Ladislav Kristoufek）预印本提交给《非线性科学与数值模拟通讯》20181年9月19日。简介分析时间序列的分形特性是物理学对其他学科的重要贡献【1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15】。在时间序列中，分形特性直接转化为特定的相关结构。

Hurstexponent H作为分形级数的一个特征参数，可以深入了解自相关函数的渐近标度，特别是其幂律衰减。对于平稳序列，我们有0≤ H<1，分离点H=0.5，不相关系列的特征。H>0.5的持续或长期相关序列遵循局部趋势，但仍保持均值回复和平稳，而H<0.5的反持续序列因其过度转换（相对于非相关过程）而与众不同【16】。最近，该方法框架已被推广到双变量环境中，因此不仅可以使用物理学中开发的方法研究长程相关性，还可以使用长程互相关[17、18、19、20、21、22、23]。最流行的是去趋势函数分析（DFA）[24，25]和去趋势交叉相关分析（DCCA或DXA）[26，27，28]作为其二元推广。DCCA的发展促使其他人引入替代方法，如趋势移动平均互相关分析（DMCA）[29，30]和高度互相关分析（HXA）[31]。这些二元Hurst指数hxy的估计提供了关于序列间互相关函数幂律标度的额外细节。通常通过将Hxy与单独序列的Hurst指数进行比较来解释Hxy，即Hx和Hy【31、32、33】。作为利用分形方法的下一步，提出了基于DCCA和DMCA的尺度相关系数[34、35、36]，以及特定尺度回归参数的估计值[37、38]。Podobnik等人[39]很少涉及但尚未进一步发展的一个重要主题是尺度特异性相关性的尺度化。

然而，相关性标度和双变量赫斯特指数之间的联系为时间序列之间的动力学提供了重要的见解。在这里，我们以平方谱相干性的概念为基础，将其转换为时间域，这在主题文献中更为常见，我们将详细讨论这一联系。基于populartime域幂律互相关方法，我们提出了幂律相干性Hρ的三个估计量——去趋势互相关分析、去趋势移动平均互相关分析和高度互相关分析，并分析了它们的有限样本特性。这种方法提供了一种新的方法，可以查看和分析同时记录的系列与跨多个学科的应用程序之间的依赖关系。2、幂律相干性我们从定义平方谱相干性开始。对于两个过程{xt}和{yt}，存在功率谱fx（ω）和fy（ω），以及频率0<ω的交叉功率谱fxy（ω）≤ π、 平方谱相干性定义为kxy（ω）=| fxy（ω）| fx（ω）fy（ω）。（1） 如果这两个过程是幂律相关的，那么fx（ω）∝ ω1-2hx和fy（ω）∝ ω1-2hy靠近原点（ω→ 此外，这些过程是幂律互相关的，因此| fxy（ω）|∝ ω1-2hxy接近原始值，使用二元Hurst指数Hxy，我们得到kxy（ω）∝ω2（1-2Hxy）ω1-2Hxω1-2Hy=ω-4（Hxy-Hx+Hy）≡ ω-4Hρ。（2） 当频率ω接近零时。我们通过参数Hρ将幂律相干性定义为Hρ=Hxy-Hx+Hyto尊重之前关于二元Hurst指数Hxy和单独Hurst指数平均值之间关系的讨论[40、41、32、42、33]。注意，平方谱相干Kxy（ω）的限制方式与平方相关相同，即0≤ Kxy（ω）≤ 1表示所有频率ω[43]。

这只产生指数的两种可能设置–Hρ=0或Hρ<0【33】。前者意味着平方相干性变为常数，Hxy=Hx+Hy。后者意味着，当ω接近零时，平方相干性也会变为零，但在这里，特别是以幂律的方式，它被称为幂律相干性，或反协整[32]，并且它具有Hxy<Hx+Hy。换句话说，这种幂律相干过程可能在短期内（在高频或低尺度下）是相关的，但从长期来看（在低频或高尺度下）是不相关的。频率ω的平方谱相干性可以很容易地从频域转换到时域，作为尺度s=πTωj的平方相关，平行于频率ωj=2πjt，j=1，2，Tasρxy（s）=|σxy（s）|σx（s）σy（s），（3）其中ρxy（s）是标度s的{xt}和{yt}之间的平方相关性，σxy（s）、σx（s）和σy（s）分别表示标度特定协方差和方差。然后，幂律相干性的概念得到了完美的解释，唯一的区别是它在高尺度上与低频平行。具体而言，我们有σx（s）∝ S2hx和σy（s）∝ s2hy对于幂律相关过程{xt}和{yt}[16，44]，如果过程是幂律交叉相关的，我们还有σxy（s）∝ s的S2HXY→ +∞ [45]。代入式3，得到ρxy（s）∝s4Hxys2Hxs2Hy=s4（Hxy-Hx公司-Hy）≡ s4Hρ，（4），即我们在两个时间（s）具有相同的标度指数→ +∞) 和频率（ω→ 0+域幂律相干性。3.

估计器在本节中，我们回顾了感兴趣的二元Hurst指数估计器的要点——去趋势互相关分析（DCCA）、去趋势移动平均互相关分析（DMCA）和高度互相关分析（HXA）——并在此基础上介绍了估计幂律相干参数Hρ的过程。3.1。二元Hurst指数估计在DCCA程序中【26】，让我们考虑两个时间序列{xt}和{yt}，t=1，T它们各自的属性{Xt}和{Yt}，定义为Xt=Pti=1（xi- (R)x）andYt=Pti=1（yi- y），对于t=1，将T划分为长度为s（刻度）的重叠框，以便T- 建造s+1箱。在j和j+s之间的每个框中- 1，线性时间趋势被确定，因此我们得到dxk，janddYk，jfor j≤ k≤ j+s- 1、每个方框中的时间趋势偏差之间的协方差定义为FDCCA（s，j）=Pj+s-1k=j（Xk-dXk，j）（Yk-dYk，j）s- 1.（5）在相同标度s的块上对协方差进行最终平均，并在FDCCA（s）=PT时获得去趋势方差-s+1j=1fDCCA（s，j）T- s、 （6）对于长程互相关过程，协方差尺度为FDCCA（s）∝ s2Hxy。（7） 幂律标度渐近有效，即对于高标度s。如果我们设置{xt}={yt}，则得到标准去趋势函数分析（DFA）[24，25]。上述步骤仅提供了一种可能的设置，因为可以使用各种去趋势方法以及非重叠框。在我们稍后介绍的模拟中，我们选择线性去趋势，并使用非重叠框，由于计算的可行性，步骤为10。DMCA程序【29，30】与DCCA相似，但在两个重要方面有所不同。首先，它不是基于框拆分过程。其次，它假设协方差的幂律标度随移动平均窗口大小κ的增大而增大。

移动平均值程序可以采取多种形式（居中、向后、向前、加权或不加权）。我们坚持以文献[46]中的观点为中心。具体而言，对于时间序列{xt}和{yt}及其各自的属性{xt}和{yt}，DetrendDC方差FDM CA（κ）定义为FDM CA（κ）=T- κ+1T-bκ/2cXi=bκ/2c+1xi-^Xi（κ）易-]Yi（κ）, （8） 式中，^Xi（κ）和]Yi（κ）分别是时间点i的非加权中心移动平均值，移动平均窗长度（标度）κ=1、3、5、，κmax。由于centeredmoving average过程，scaleκmax需要为奇数整数。对于幂律互相关过程{xt}和{yt}，去趋势协方差标度asFDM CA（κ）∝ κ2Hxy。（9） 幂律标度同样适用于由移动平均窗口κ表示的高标度。如果我们设置{xt}={yt}，则得到标准去趋势移动平均值（DMA）[47，48]。HXA方法【31】基于对两个同时记录序列重新定义的高度-高度方差函数的缩放。让我们考虑两个参数{Xt}和{Yt}，时间分辨率为ν，t=ν，2ν。。。，νbTνc，其中bc是一个较低的整数运算符。我们表示T*= νbTνc随ν变化，我们将τ-滞后差异标记为τXt≡ Xt+τ-Xtand公司τ（XtYt）≡ τXtτYt。高度-高度协方差函数定义为kxy（τ）=νT*T*/νXt=1τ（XtYt）（10），其中时间间隔τ通常介于ν=τmin，τmax.Kxy，q（τ）与广义二元Hurst指数Hxy（q）之间的标度关系为Kxy（τ）∝ τ2Hxy。（11） 与DCCA和DMCA相反，幂律标度适用于低水平的差异参数τ[49、50、51]。对于所有t=1，…，对于{Xt}={Yt}，HXA减少到高度-高度相关分析（HHCA）[52，53]，T.3.2。

幂律相干性估计器时域中的幂律相干性可以看作是高尺度s的零平方相关的收敛，如等式所示。3-4。遵循参考文献的观点。【34，36】，基于DCCA、DMCA和HXA的尺度特定协方差σxy（s）和方差σx（s）和σy（s）可直接由FDCCA（s）或FDM CA（κ）或Kxy（τ）替代，分别转化为等式3，以便我们获得每个方法的尺度特定平方相关，如ρDCCA（s）=FDCCA（s）| FDF a，x（s）FDF a，y（s），ρDM CA（κ）=FDM CA（κk）| FDM a，x（κ）FDM a，y（κ），ρHXA（τ）=Kxy（τ）| Kx（τ）Ky（τ）。（12） 替换公式。7、9和11到上述平方相关性中，我们得到以下标度律：ρDCCA（s）∝s4Hxys2Hxs2Hy=s4Hxy-2小时x-2Hy=s4HρDM CA（κ）∝κ4Hxyκ2Hxκ2Hy=κ4Hxy-2小时x-2Hy=κ4HρHXA（τ）∝τ4Hxyτ2Hxτ2Hy=τ4Hxy-2小时x-2Hy=τ4Hρ（13）幂律相干参数Hρ的估计值可通过对数回归获得。在等式12中，分子中的平方协方差确保了稳定的幂律标度。对于DCCA和DMCA，标度分别适用于高标度s和κ，对于HXA适用于低差异水平τ。因此，从幂律相关性和互相关到幂律相干性的过渡非常简单。注意，ρDCCA（s）和ρDM CA（κ）直接作为平方标度相关系数出现在早期文献[35，36]中。有限样本属性4。1、模拟设置我们对提出的幂律相干性估计器的性能感兴趣。为此，我们利用混合相关ARFIMA过程框架【42】，该框架通过控制Hx、hy和Hxy来控制参数Hρ。

定义an（di）=Γ（n+di）Γ（n+1）Γ（di），对于特定di=Hi- 0.5，混合相关ARFIMA过程定义为=+∞Xn=0an（d）ε1，t-n个++∞Xn=0an（d）ε2，t-纽约时报=+∞Xn=0an（d）ε3，t-n个++∞Xn=0an（d）ε4，t-对于i=1、2、3、4hεi，nhεi，ti=0，对于i=1、2、3、4hεi，tεj，t-对于n 6=0和i，ni=0，j=1，2，3，4hεi，tεj，ti=σij，j=1，2，3，4和i 6=j。（14）当{ε}和{ε}相关，其他对不相关时，获得幂律相干性。此外，我们需要d>d>d>dso，我们得到Hxy<Hx+Hy[54，55]。具体来说，我们有Hx=d+0.5，Hy=d+0.5和Hxy=0.5+（d+d），或者换言之，Hx=H，Hy=手Hxy=（H+H）。在模拟中，我们确定d=d=0.4和d=d=0.2，理论Hurst指数与Hx=Hy=0.9和Hxy=0.7相同。我们研究了三种不同的时间序列长度–T=500、1000、5000–并且我们对误差项{ε}和{ε}之间的相关性强度的影响感兴趣。为此，我们检查相关水平0.1、0.5和0.9的有限样本属性。对于每个设置，我们重复1000次。由于幂律相干性参数Hρ的估计基于对数回归，因此我们需要指定回归中包含的尺度范围。对于DCCA，我们设定smax=T/5，这在文献中是标准的，我们操纵smin=10，20，50（对于T=500）和smin=10，50，100（对于其他两种情况），T=1000，5000。对于MCA，将最小移动平均窗口大小设置为κmin=3，并研究三个级别的最大值κmax=21、51、101。对于HXA，我们对使用各种最大尺度τmax的初始性能感兴趣。根据文献[49、50、51、31]，我们使用τmax=20作为起点，为了获得更稳定的估计，我们采用刀切程序，根据τmin=1和τ*最大值=5。

，τmax。此外，我们还检查了50和100的最大刻度。4.2。结果我们给出了基于上述设置的模拟结果，观察了估计器的偏差、方差和均方误差（MSE，偏差和方差的平方和）。基于DCCA的方法无法获得表1所示的理想特性。对于误差项ε和ε之间的低相关性，偏差达到0.4以上的值，对于高相关性，情况没有太大改善，主要是因为估计量的方差非常高。即使是最好的情况，即smin=10且新值之间的相关性等于0.9的最短序列，我们的偏差相对较低，为0.03，但估计值的标准偏差仍约为0.2。尽管如此，随着创新之间相关性的增强，偏差和方差显著减少。偏差和方差均随最小尺度smin的增大而增大。我们通常不能说偏差和方差会随着时间序列长度的增加而减少，因为这些结果会因SMI的不同组合以及ε和ε之间的相关性而变化。总之，基于DCCA的Hρ估计不能给出令人满意的结果。表2总结了基于HXA的幂律相干性估计器的性能。尽管ε和ε之间的低水平相关性的估计器实际上以类似于基于DCCA的估计器的方式崩溃，但高水平相关性的情况迅速改善。非常重要的是，估计器的偏差随着时间序列长度的增加而减小，这是对DCCA BasedDestinator的巨大改进。估计值的方差也随着时间序列长度的增加而减小，这支持了之前的发现。在大多数情况下，增大最大尺度会增加偏差，但会减小估计量的方差。