非对称幂律的随机尾指数

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英文标题：
《Stochastic Tail Exponent For Asymmetric Power Laws》
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作者：
Nassim Nicholas Taleb
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We examine random variables in the power law/regularly varying class with stochastic tail exponent, the exponent $\\alpha$ having its own distribution. We show the effect of stochasticity of $\\alpha$ on the expectation and higher moments of the random variable. For instance, the moments of a right-tailed or right-asymmetric variable, when finite, increase with the variance of $\\alpha$; those of a left-asymmetric one decreases. The same applies to conditional shortfall (CVar), or mean-excess functions. We prove the general case and examine the specific situation of lognormally distributed $\\alpha \\in [b,\\infty), b>1$. The stochasticity of the exponent induces a significant bias in the estimation of the mean and higher moments in the presence of data uncertainty. This has consequences on sampling error as uncertainty about $\\alpha$ translates into a higher expected mean. The bias is conserved under summation, even upon large enough a number of summands to warrant convergence to the stable distribution. We establish inequalities related to the asymmetry. We also consider the situation of capped power laws (i.e. with compact support), and apply it to the study of violence by Cirillo and Taleb (2016). We show that uncertainty concerning the historical data increases the true mean.
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中文摘要：
我们用随机尾部指数检验幂律/规则变化类中的随机变量，指数$\\α$有自己的分布。我们展示了$\\α$的随机性对随机变量的期望和高阶矩的影响。例如，右尾或右不对称变量的矩，当有限时，随着$\\α$；左不对称的减少。这同样适用于条件短缺（CVar）或平均超额函数。我们证明了一般情况，并检验了对数正态分布$\\α\\ in的具体情况[b，\\infty），b>1$。指数的随机性导致在存在数据不确定性的情况下，在估计平均值和更高阶矩时产生重大偏差。这会对采样误差产生影响，因为大约$\\alpha$的不确定性会转化为更高的预期平均值。偏差在求和时保持不变，即使求和的数量足够大，以保证收敛到稳定距离分配。我们建立了与不对称性相关的不等式。我们还考虑了上限幂律的情况（即有契约支持），并将其应用于Cirillo和Taleb（2016）的暴力研究。我们表明，历史数据的不确定性增加了真实平均值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：Applications distribution inequalities Quantitative epidemiology

关于tailevents）随着分布方差的不确定性而增加的值，因为它们对标准偏差是凸的。这导致了一系列具有随机方差的布朗运动模型（见Gatheral[1]中的综述），并证明了跟踪潜在分布以及随机过程的非高斯特性对过程函数（如期权价格）的影响是有用的。正如选项对分布的规模是凸的一样，我们发现许多情况下，期望对幂律尾部指数是凸的。本说明研究了两种情况：o标准幂律，单尾或不对称（支持包括+∞ 或-∞.o pseu确实是幂律，其中一个随机变量看似幂律，但有着紧密的支持，如在Studyof暴力中，战争的伤亡人数达到最大值。二、具有随机性的单尾分布。一般情况定义1。设X是一个随机变量，属于一类具有“幂律”右尾的分布，它在[X]中得到支持+∞) , 十、∈ R： 子类P：{X:P（X>X）=L（X）X-α、 L′（x）=0}（1）类P：{x:P（x>x）~ L（x）x-α} （2）其中~ 意味着rhs与lhs之比的极限为1，即x→ ∞. L:[xmin+∞) → （0+∞) 是一个缓慢的v aryingfunction，定义为limx→+∞L（kx）L（x）=1表示任何k>0。常数α>0。我们进一步假设：limx→∞L′（x）x=0（3）limx→∞L′′（x）x=0（4）我们有 我们注意到，第一类对应于帕累托分布（具有适当的移位和缩放），其中L是常数，P是更一般的单侧、BetaPrime或半学生T。至于P，我们可以包括各种混合分布。B、 随机α不等式在本文的其余部分，我们用符号X′表示X的stoc-hasticα版本，即常数α情况。提案1。

设p=1，2。。。，X′与P（单尾正则变量类）中的X相同，其中X≥ 0，除了所有实现>p且保持平均值‘α，E（X′p）的随机α≥ E（Xp）。在一些平均值近似下，结果推广到一般的P类。胖尾统计项目2职位2。设K为阈值。对于P类中的X，我们有预期的条件短缺（CVar）：limK→∞E（X′| X′>K）≥ 利姆→∞E（X | X>K）。证据我们注意到E（Xp）对α是凸的，在以下意义上：设αi>pi、 权重ωi:Piωi=1，0≤ |ωi|≤ 1，Piωiαi=(R)α，Jensen不等式表示为a s:XiωiE（Xαi）≥ E（Xi（ωiXαi））。我们首先需要求解密度：Д（x）=αx-α-1L（x，α）- 十、-αL（1,0）（x，α），得到归一化常数。L（x，α）=xα-2xL（1,0）（x，α）α- 1.-2xL（2,0）（x，α）（α- 1） （α- 2） ，（5）α6=1，2，其中时隙符号L（1,0）（x，α）是L（x，α）x | x=x。根据Karamata表示定理，[3]，[4]，[5]，函数L在[x+∞) 当且仅当它可以写成L（x）=expRxx（t）tdt+ η（x），其中η（.）是一个有界可测函数，收敛到一个数为x的单位→ +∞, （x）是一个有界可测函数，收敛为零→ +∞.因此，L′（x）变为0，即x→ ∞. （我们在3和4中进一步假设L′（x）比x快到0，L′（x）比x快到0。）按部分积分，E（Xp）=Xp+pZ∞xxp型-1d'F（x），其中'F是等式中的生存函数。1和2。按部件3附加次数积分并消除阶数大于2的导数：（6）E（Xp）=Xp-αL（x，α）p- α-xp系统-α+1L（1,0）（x，α）（p- α） （p- α+1）+xp-α+2L（2,0）（x，α）（p- α） （p- α+1）（p- α+2），对于X in的特殊情况，产生：（7）E（Xp）=Xpα- 对于命题2，我们可以简单地从limx→∞L′（x）=0。

这可以证明Var der Mijk定律，即Paretian不等式对于尾部的阈值是不变的，即isE（X | X>K）K收敛到常数。方程6给出了L（x）函数形式上凸性扩展到P的子类的确切条件。我们的结果显示了通过移位和缩放变换的分布，其排序为：x 7→ 十、-u+x（帕累托II），或进一步转换为帕累托II型和IV型。我们注意到，对于比例和m最小值，表示采用相同的参数x作为简化。我们可以验证式7中的期望值凸于α：E（Xp）α=xp（α-1） 。C、 对于类Pf的近似，当我们可以将X的期望写成常数乘以X的积分时，我们的结果成立-α、 名称（X）≈ kν（α）α- 1（8）式中，k是不依赖于α和ν（.）近似为α的线性函数（加上athreshold）。期望值将凸到α。示例：Student T分布：对于尾部为α的Student T分布，定量金融中对称幂律常用的“复杂”缓变函数，单侧分布的半平均值或平均值（即，支持R+变为2ν（α）=2√αΓα+1√πΓα≈ α（1+log（4））π，其中Γ（.）是gamma函数。三、 幂律和当我们从这里开始讨论稳定分布的收敛性时，我们考虑1<α<2，hencep=1的情况，并且只考虑平均值。我们观察到，平均值的凸性对于上述幂律分布变量的求和是不变的。稳定分布的平均值在传统参数化中似乎不依赖于α，但实际上依赖于α。设Y按照密度为f（Y），αλαY的帕累托分布分布-α-1，y≥ λ>0，且其尾指数1<α<2。

现在，le t Y，Y。Ynbe等同于Y的独立副本。设χ（t）为f（y）的特征函数。我们有χ（t）=α(-it）αΓ(-α，-it），其中γ（，.）是不完全伽马函数。我们可以从nsummand sn（Y+Y+…Yn）的平均值的特征函数中得到平均值，即χ（tn）n。取其导数：-我χ（tn）nt=(-i） α（n-1） n1型-αnαnλα（n-1） tα（n-（1）-1Γ-α，-itλnN-1.(-i） ααλαtαΓ-α，-itλn- nαeiλtn（9） 安德林→∞-我χ（tn）nTt=0=λαα- 1（10）因此，我们可以看到平均值的收敛渐近分布如何表示标度乘以αα-1，不依赖于n。设χS（t）为对应的稳定分布Sα、β、u、σ的特征函数，由Y的不完全求和副本的分布得出。通过Lévy连续性定理，我们得到了厚尾统计项目3on∑i≤纽约市ID-→ S、 分布Sα、β、u、σ，其中-→表示分布的收敛性，且oχS（t）=limn→∞χ（t/n）nare当量。因此，我们正在处理精确帕累托和的标准结果[6]，[7]，用上面的平均值替换传统的u：χS（t）=exp我λαtα- 1+| t |αβ-棕褐色παsgn（t）+i.四、 不对称稳定分布我们可以通过对称性来验证，对称性可以有效地抑制和替代周围的分布+∞ 具有-∞ 产生平均值和更高（现有）矩的负值，因此随机α会产生退化效应。中心问题变成：备注1（不对称性的保留）。具有依赖于式8中形式的α的期望的归一化sumin Pone-tailed分布必然会在分布上收敛到不对称稳定分布Sα，β，u，1，β6=0。备注2。设Y′在均值保持随机α下为Y。凸性效应，或sgn（E（Y′）- E（Y））=sgn（β）。证据考虑两个缓慢移动的函数，如1所示，每个函数位于尾部的一侧。

我们有L（y）=y<yθL-（y） +y≥yθL+（y）：L+（y），L：[yθ+∞], 石灰→∞L+（y）=cL-（y） ，L：[-∞, yθ]，石灰→-∞L-（y） =从[7]开始的d，如果P（X>X）~ cx公司-α、 x个→ +∞P（X<X）~ d | x|-α、 x个→ +∞,然后Y收敛到Sα，β，u，1的不分布，系数β=c-dc+d。我们可以将平均值表示为（λ+-λ-)αα-1其中：λ+≥ λ-ifZ公司∞yθL+（y）dy，≥Zyθ-∞L-（y） dyV。对数正态分布α的PARETO分布现在假设α遵循均值α和最小值b的移位对数正态分布，即α- b符合对数正态LN对数（α）-σ、 σ. 参数b允许我们使用尾部指数的下限，以满足有限的期望。我们知道尾部指数最终会收敛到b，但过程可能相当缓慢。提案3。假设X’的有限期望和对数正态分布位移变量α的前指数- bwith law LN公司对数（α）-σ、 σ, B≥ α的最小值为1，scaleλ：（11）E（Y′）=E（Y）+λ（Eσ- b） α- b我们需要b≥ 1避免出现无限期望的问题。设φ（y，α）为随机尾指数t的密度w。α>0，α>b，b≥ 1，σ>0，Y≥ λ>0，E（Y）=Z∞bZ公司∞Lyφ（y；α）dy dα=Z∞bλαα- 1.√2πσ（α- b） 经验值-对数（α- （b）- 对数（α- b） +σ2σdα=λα+eσ- Bα- b、 （12）近似密度b=1（这是b的下界），我们得到随机α的密度：φ（y；α，σ）=limk→∞YkXi=0i！L（α- 1） iei（i-1） σ（对数（λ）- 对数（y））i-1（i+对数（λ）- log（y））（13）该结果是通过围绕其下界b展开α（我们将其简化为b=1）并对每个摘要进行积分得到的。六、 伽马分布的帕累托分布阿尔法位置4。

假设X′标度λ和指数aγ分布位移变量α的有限期望- 1有法律规定（.），平均α和方差s，α大于1的所有值：E（X′）=E（X′）+s（α- 1） （α- s- 1） （α+s- 1） （14）证明。Д（α）=e-（α-1） （α-1） ss（α-1） （α-（1）-（α-1） s（α-1） Γ（α-1） s, α>1（15）Z∞αλαx-α-1Д（α）dα（16）=Z∞αe-（α-1） （α-1） ss（α-1） （α-（1）-（α-1） s！（α- （1）（α- 1） Γ（α-1） sdα=α+s- 1+α- s- 1+2胖尾统计项目4VII。CIRILLO和TALEB（2016）在[2]a和[9]中提出的有界幂律，研究利用了有界幂律，分别应用于暴力和操作风险。尽管α<1，但由于上限，变量Z的期望值有限。提供的方法是对变量进行平滑转换，如下所示：我们从z开始∈ [L，H），L>0并将其转换为x∈ [L，∞), 后者是根据权力法合法分配的。所以平滑对数变换）：x=Д（z）=L- H日志H- xH公司- L,andf（x）=十、-Lασ+1-α-1σ。因此，我们得到了Z的分布，它将对α的所有正值有一个明确的预期。E（Z）α=H（H- L）eασH2HG4,03,4ασH |α+1，α+1，α+11，α，α，α- 2H（H+σ）G3,02,3ασH |α+1，α+11，α，α+σασ+（α+1）H+2αHσEαασH-Hσ（H+σ）（17） 在[2]中的数值扰动序列中，哪个是正的。在如此低的α水平下，大约，预测是非常凸的，偏差将非常大。这种凸性具有以下实际含义。过去两千年来有关暴力的历史数据基本上是不可靠的。因此，由于数据中嵌入的错误，计算中需要存在关于尾部指数的不精确性。

以上表明，α的不确定性更可能使“真实”统计平均值（即过程的平均值，而非样本平均值）高于更低，因此支持不确定性越大，暴力估计值越高的说法。八、其他注释当数据不足、不可靠或容易伪造时，可将尾部指数不确定性导致的估计偏差和不足添加到分析中。除了统计推断之外，这些结果还可以扩展到过程，无论是具有幂律从属关系的复合泊松过程（即泊松到达时间和幂律分布的跳跃）还是Lévy过程。后一种情况可以通过考虑连续的“切片分布”orG4,03,4进行分析ασH |α+1，α+1，α+11，α，α，α是Meijer G函数。过程离散化【11】。由于asum跳跃的期望值是期望值的总和，因此将出现与我们从公式8中得到的相同的凸度。九、 致谢马科·阿维拉内达、罗伯特·弗雷、拉斐尔·杜亚迪、帕斯夸莱奇里罗。参考文献[1]J.Gatherel，《波动率表面：从业者指南》。John Wiley&Sons，2006年。[2] P.Cirillo和N.N.Taleb，“关于暴力冲突的统计特性和尾部风险”，Physica A：统计力学及其应用，第452卷，第29–45页，2016年。[3] J.Karamata，“Sur une inégalitérelative aux fonctions convexes”，《数学研究所》（Publications de l\'Institut mathematique），第1卷，第1期，第145-147页，1932年。[4] N.H.Bingham、C.M.Goldie和J.L.Teugels，《规则变化》。剑桥大学出版社，1989年，第27卷。[5] J.L。Teugels，“次指数分布的类别”，《概率年鉴》，第3卷，第6期，第1000–10111975页。[6] 第五条。

佐洛塔列夫，“关于考虑大偏差的极限定理的新观点”，摘自《数理统计与概率》，第9卷，第153页，1971年。[7] G.Samorodnitsky和M.S.Taqqu，《稳定的非高斯随机过程：具有有限方差的随机模型》。CRC出版社，1994年，第1卷。[8] I.Zaliapin、Y.Y.Kagan和F.P.Schoenberg，“帕累托和的近似分布”，《纯粹和应用地球物理学》，第162卷，第6-7期，第1187-12282005页。[9] P.Cirillo和N.N.Taleb，“运营风险明显不确定平均模型的预期缺口估计”，量化金融，第1-10页，2016年。[10] A.Stam，“从属概率分布尾部的规则变化”，《应用概率进展》，第308–3271973页。[11] R.Cont和P.Tankov，《带跳跃过程的金融建模》。CRCpress，2003年，第2卷。