期权定价的门控神经网络：设计合理性

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英文标题：
《Gated Neural Networks for Option Pricing: Rationality by Design》
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作者：
Yongxin Yang, Yu Zheng, Timothy M. Hospedales
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose a neural network approach to price EU call options that significantly outperforms some existing pricing models and comes with guarantees that its predictions are economically reasonable. To achieve this, we introduce a class of gated neural networks that automatically learn to divide-and-conquer the problem space for robust and accurate pricing. We then derive instantiations of these networks that are \'rational by design\' in terms of naturally encoding a valid call option surface that enforces no arbitrage principles. This integration of human insight within data-driven learning provides significantly better generalisation in pricing performance due to the encoded inductive bias in the learning, guarantees sanity in the model\'s predictions, and provides econometrically useful byproduct such as risk neutral density.
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中文摘要：
我们提出了一种为欧盟看涨期权定价的神经网络方法，该方法显著优于一些现有的定价模型，并保证其预测在经济上是合理的。为了实现这一点，我们引入了一类门控神经网络，它可以自动学习如何划分和克服问题空间，从而实现稳健而准确的定价。然后，我们推导出这些网络的实例，这些网络是“设计合理的”，自然地编码有效的看涨期权曲面，强制执行无套利原则。由于学习中的编码归纳偏差，这种将人类洞察力与数据驱动学习相结合的方式在定价绩效方面提供了更好的概括，保证了模型预测的合理性，并提供了经济上有用的副产品，如风险中性密度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Gated_Neural_Networks_for_Option_Pricing:_Rationality_by_Design.pdf (514.68 KB)

2022-5-25 16:47:04 上传

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关键词：神经网络 期权定价 合理性 神经网 Quantitative

期权定价的门控神经网络：设计合理性杨永新,+,, 于征（音）,+, 蒂莫西·M·霍斯佩代尔斯EECS，玛丽女王，伦敦大学, 伦敦帝国理工学院帝国商学院永新。yang@qmul.ac.uk，t。hospedales@qmul.ac.ukyzheng12@imperial.ac.ukAbstractWe提出一种神经网络方法来为欧盟看涨期权定价，该方法显著优于一些现有定价模型，并保证其预测在经济上是合理的。为了实现这一点，我们引入了一类门控神经网络，它们可以自动学习划分和克服问题空间，从而实现稳健和准确的定价。然后，我们根据强制执行无套利原则的avalid看涨期权表面的自然编码，导出这些网络的实例，这些网络是“设计合理的”。由于学习过程中的编码归纳偏差，这种数据驱动学习中人类洞察力的集成在定价性能方面提供了显著更好的泛化，保证了模型预测的合理性，并提供了经济上有用的副产品，如风险中性密度。期权定价模型一直是一个热门的研究领域。从理论角度来看，新的期权定价模型为学者们提供了一个检验金融市场机制的机会。从实际角度来看，做市商希望建立有效的定价模型，以设定衍生品市场中的买入价和卖出价。最早也是最简单的定价模型Black-Scholes（Black and Scholes 1973）给出了欧式期权价格的粗略理论估计。此后，许多研究试图通过放松Black-Scholes中的严格假设，找到更好的期权定价模型。

经济学家提出的模型通常从一组经济假设开始，最终得到一个确定性公式，该公式将一些市场信号（例如货币性、到期时间和无风险利率）作为输入。相反，机器学习研究以adata驱动的方式解决期权定价问题：作为一个回归问题，与计量经济学模型的输入相似，而实际市场期权价格作为输出。投入与产出之间的复杂关系（例如，Black-Scholes式公式）是从大量数据中学习到的，而不是从计量经济学中推导出来的。数据驱动期权定价的进展可以通过改进模型的表达能力，以及将选定的计量经济学公理作为归纳偏差集成到数据驱动模型中来驱动。在本文中，我们通过在这两条线上做出贡献，实现了出色的期权定价结果。+表示贡献相等；指示相应的作者。版权C 2017年，艺术情报促进协会（www.aaai.org）。保留所有权利。通过机器学习技术（如核机器和神经网络）训练的回归模型，只要训练数据足够，就可以很好地推广到样本外的情况。这种数据驱动的方法给出了很好的期权价格估计（Malliaris和Salchenberger 1993），甚至可以超过从经济学原理推导出来的公式。现有数据驱动方法的一个缺点是，它们为所有选项提供了独特的解决方案。然而，学习到的定价模型在某些期权上失败了，例如，一些人高估了现金期权（Bennell和Sutcliffe 2004），或者低估了非常接近到期的期权（Dugas et al.2000）。为了缓解这些问题，（Gradojevic、Gencay和Kukolj，2009年）提出了“分而治之”战略，首先将期权分为子类别，并为每个子类别建立不同的定价模型。

然而，这种分类是通过手动定义的启发式进行的，可能与市场条件及其时间变化不一致。在本文中，我们提出了一类新的神经网络用于期权定价。这些实现了一种“分而治之”的方法，其中选项分组是自动的，并从数据中学习，而不是手动启发式。因此，随着市场随时间的变化，它可以动态调整期权分类并重新定义每类定价模型。对标准普尔500指数期权的实验表明，我们的方法明显优于其他方法。上述所有基于机器学习的方法的一个局限性是，虽然它们可能很好地拟合数据（例如均方误差），但它们没有执行一些经济原则，因此排除了它们在实践中适用于定价的可能性。E、 例如，期权价格有理论上的界限，违反这一界限会使投资者获得无风险收益（所谓的套利）。这激发了另一种研究较少的改进数据驱动期权定价的方法：打开黑箱模型，将经济公理作为约束条件集成到学习算法中（Dugas et al.2000）。从经济学的角度来看，这是设计一个神经网络来进行有经济意义的预测，从学习的角度来看，它提供了特定领域的归纳偏差，以提高普遍性并避免过度拟合。在本文中，我们得到了一类比现有工作具有更强经济合理性保证的网关神经网络。

特别是，我们的神经价格预测器是第一个基于学习的方法，可以携带有效的风险中性密度函数，即风险中性概率空间中未来资产价格的有效概率分布。术语“风险中性”大致意味着无套利，但其严格定义超出了本工作的范围，详情请参见（Jeanblanc、Yor和Chesney 2009）。我们的贡献有三个方面：（1）我们提出了一种具有优异期权定价性能的神经网络。（2） 我们在一个大规模数据集上对照多个基线评估我们的方法：它包括5139个交易日和3029327份期权合同——这比以前的研究大70倍（Dugas等人，2000年；Gradojevic、Gencay和Kukolj，2009年）。（3） 我们的神经网络模型很有意义，因为它执行了经济有效（无套利）看涨期权定价模型的所有必要要求。这就产生了一个有效的风险中性密度函数，用户可以从中提取许多对风险管理至关重要的指标，例如方差、峰度和偏度。相关工作计量经济学方法资产定价是金融学和数学金融学中一个非常活跃的研究领域。最古老和最著名的期权定价模型是Black-Scholes（Black和Scholes 1973）。对该模型最大的批评是，由于其波动率不变的假设，它与真实市场中的波动率微笑行为不相容。波动率微笑的存在是因为现实世界的分布往往是厚尾和不对称的。随机波动率模型（例如（Heston 1993））旨在通过允许波动率的随机性来建模上述微笑行为，并通过引入随机波动率过程进行补偿（Heston 1993）。另一系列研究表明，在缓解微笑问题的基本过程中，包括代表罕见事件的跳跃。

这些模型被称为Levy模型（Merton 1976；Kou 2002；Madan、Carr和Chang 1998；Barndorff-Nielsen 1997；Carr和Geman 2002），能够产生波动性，如微笑或微笑。资产定价模型的全面理论解释见（Jeanblanc、Yor和Chesney，2009）。本文以一种更为数据驱动的方式解决了倾斜/微笑问题：它从市场价格中学习，因此，一个能够很好地拟合市场价格的模型预计会产生相同的微笑结构。实现期权定价模型的方法有很多，包括：基于傅立叶（Carr和Madan 1999）、基于树（Cox、Ross和Rubinstein 1979）、有限差分（Schwartz 1977）和蒙特卡罗方法（Boyle1977）。在本文中，我们将分数FFT方法（Cooley和Tukey 1965）用于我们的基准期权定价模型，因为它们的特征函数是已知的。神经网络方法长期以来，计算机科学家试图利用神经网络解决期权定价问题（Malliaris和Salchenberger 1993）。期权定价可以看作是一项标准的回归任务，有许多已建立的方法，而神经网络（rebrandeddeep learning）是最流行的选择之一。一些研究人员声称，神经网络（neuralnetwork，NN）方法的一个优点是，它们不像计量经济学方法那样做出那么多的假设。然而，NNs与计量经济学方法并不正交。事实上，一些NN方法利用了经典的计量经济学观点。例如，（Garcia和Genc,ay 2000）提出了一个具有Black-Scholes公式的神经期权定价模型。（Dugas等人，2000）选择了特定的激活函数和正八参数约束，使其模型具有经济公理所要求的二阶导数特性。

这些研究表明，与普通的前馈神经网络相比，引入计量经济学约束可以产生更好的期权定价模型。在（Garcia、Ghysels和Renault 2010）中可以找到对这一工作领域的良好调查。虽然一些神经网络方法得益于计量经济学的见解，但这些方法始终试图为市场上的所有期权找到一个通用的定价模型。然而，研究表明，对于资金严重短缺的期权或长期到期的期权，神经网络方法的表现非常糟糕（Bennell和Sutcliffe，2004）。这并不奇怪，因为NNmethods通常会产生一个平滑的定价面，无法捕捉到市场中这些尴尬和低交易量的部分。（Gradojevic、Gencay和Kukolj，2009）试图通过根据期权的金额和到期时间对其进行分类，并为每一类期权培训独立的NN来解决这一问题。他们的期权分组基于次优的人工启发式，不适应随时间变化的市场数据。我们的方法是一种利用类似分而治之思想的神经网络，但它联合学习将期权分组并为每组定价的相互关联问题。提供这种增加的模型表达能力挑战了我们之前在计量经济学公理中构建的目标，以确保有意义的预测，因为理性约束在这个更复杂的模型中更难实施。因此，我们付出了巨大的努力，既有助于培养更具表现力的神经学习者，又有助于为现有工作提供更强的理性约束保证。MethodologyBackgrounds关注欧盟看涨期权。

看涨期权是一种合同，它赋予买方在未来某一日期（称为到期日）以特定价格（称为基准价格）购买标的资产（如股票）的权利，而非义务。例如，在时间t=0（今天）时，一家公司的股票价值100美元，交易员支付一定金额（期权成本）购买执行价110美元、到期日t=5（五天后）的看涨期权。五天后，如果公司的股票价格是120美元，他可以通过支付110美元的执行价来行使购买股票的选择权。如果他立即以120美元的价格出售股票，他将得到10美元（忽略期权成本）。如果该公司的股价低于110美元，交易者将不会行使期权，他只会损失购买期权合同所付的钱。期权定价问题是：在t=0时，该期权的价格应该是多少？我们将市场的真实期权价格表示为c，期权定价模型的估计值表示为^c。履约价格（上例中为110美元）为K，到期时间为τ（τ=T- t） 。时间t的标的资产价格为标准时间t的标的资产价格为标准时间t（上例中为120美元，但时间t=0时未知）。对于具有三个输入K、St和τ的看涨期权定价模型^c（·），在无套利假设下，^c（K、St、τ）=e-rτZ∞最大值（0，ST- K） f（ST | ST，τ）dST。这里r是无风险的速率常数，e-rτ用作折扣条件。f（x | St，τ）是时间T（即St）资产价格的条件风险中性概率密度函数，给定其在时间T（即St）的价格和时间差（即τ=T- t） 。

这个方程可以直观地解释为：max（0，ST- K） 是在时间T拥有该选项的潜在收入，f（ST | ST，τ）是该收入的概率密度，因此积分项实际上是在风险中性概率空间中给定当前状态（Standτ）的时间T的预期收益。由于无套利假设，未来的预期收入应以无风险利率贴现，以获得时间t的价格（注意，为了简单起见，我们不考虑股息）。由于无风险利率和贴现项是独立获得的，期权定价方法实际建模的是积分项，表示为▄c，▄c（K，St，τ）=Z∞最大值（0，ST- K） f（ST | ST，τ）dST。c可以作为回归问题从数据中学习，但这不一定会产生有意义的预测模型，除非f（·）是有效的概率密度函数。理性预测的要求我们接下来列出了有意义的期权定价模型应该满足的六个条件（F¨ollmer和Schied 2004）。cK≤ 0（C1）cK=RKf（ST | ST，τ）dST- 1 andRKf（ST | ST，τ）dSTisa累积分布函数P（ST≤ K） 因此，其值不能大于1。cK≥ 0（C2）cK=f（ST | ST，τ）是一个概率密度函数，因此其值不能小于零。cτ≥ 0（C3）这是很直观的：等待时间越长（τ越大），基础资产价格最终将比执行价格更高。因此，随着到期时间的推移，价格应该不会下降。利姆→∞~c（K，St，τ）=~c(∞, St，τ）=0（C4）如果执行价格是确定的，则期权价格应为零，因为基础资产价格始终小于执行价格。

交易期权没有意义。~c（K，St，0）=最大值（0，St- K） 当τ=0（C5）时，当τ=0时，期权可立即执行，因此其价格应正好为max（0，St- K） 因为St=St.max（0，St- K）≤ ~c（K，St，τ）≤ St（C6）这个边界可以很容易地从看涨期权的看跌期权平价和收益中推导出来。看涨期权价格不能超过基础价格，否则投资者可以通过在同一时间买入股票并出售期权，并在期权到期时平仓进行套利。注意，上界意味着当K=0时，我们应该有▄c（0，St，τ）=R∞STf（ST | ST，τ）dST=erτST（同样，^c（0，ST，τ）=ST）。一些研究（Roper 2010）倾向于使用积分公式，而不是上界，而实际上它们是一样的。对于下限，看涨期权价格必须超过最大值（0，St- K） as选项具有时间值。在上述假设中，我们做出了以下假设：（i）存在▄c对toK的一阶和二阶导数。（ii）c相对于τ的一阶导数存在。在介绍我们提出的期权定价模型之前，我们做了最后一个假设：定价模型是可扩展的w.r.t.St：~c（KSt，1，τ）：=~c（K，St，τ）St（1），其中分数项KSt通常称为（逆）货币性，表示为m=KSt。单一模型我们期权定价模型y（m，τ）的核心部分是y（m，τ）≡ ~c（m，1，τ）：=~c（K，St，τ）St.（2）它需要两个输入：货币性m和到期时间τ。然后，目标是最小化期权c的真实市场价格与定价模型得出的估计值^c之间的差异，其中^c=e-rτИc=e-rτSty。我们的定价函数y（m，τ）由图1所示的神经网络建模，并由公式（m，τ）=JXj=1σ（～bj）规定- me▄wj）σ（▄bj+τe▄wj）e^wj。（3） 这里σ（x）=log（1+ex）（softplus函数）和σ（x）=1+e-x（sigmoid函数）。